Дискриминант при натуральных m и n: наименьший — задание 20 ЕГЭ по профильной математике
Алгебраическая теория чисел. 5 примера с ответом и проверкой.
Пример 1
Рассматриваются квадратные трёхчлены с натуральными коэффициентами.
а) Существуют ли натуральные числа m и n, такие, что дискриминант квадратного трёхчлена x2 + mx + n равен 24?
б) Существуют ли натуральные числа m и n, такие, что дискриминант квадратного трёхчлена x2 + mx + n равен 10?
в) Какое наименьшее значение принимает дискриминант D квадратного трёхчлена x2 + (2m + n)x + (2n + m), если известно, что числа m, n и D — натуральные?
а) Существуют ли натуральные числа m и n, такие, что дискриминант квадратного трёхчлена x2 + mx + n равен 24?
б) Существуют ли натуральные числа m и n, такие, что дискриминант квадратного трёхчлена x2 + mx + n равен 10?
в) Какое наименьшее значение принимает дискриминант D квадратного трёхчлена x2 + (2m + n)x + (2n + m), если известно, что числа m, n и D — натуральные?
Показать ответ
а) да: например m = 6, n = 3, тогда 6² − 4·3 = 24
б) нет: дискриминант равен m² − 4n, поэтому он сравним с m² по модулю 4; квадрат целого числа даёт при делении на 4 остаток 0 или 1, а 10 даёт остаток 2
в) 5; достигается при m = 1, n = 5; меньше нельзя — при m = 1 дискриминант равен (n − 2)² − 4, и чтобы он был натуральным, нужно (n − 2)² ≥ 5, то есть |n − 2| ≥ 3 и D ≥ 5; при m ≥ 2 дискриминант ещё больше
Решение
Дискриминант трёхчлена x2 + mx + n равен m2 − 4n, поэтому он сравним с m2 по модулю 4. Квадраты дают остатки 0 и 1, значит остатки 2 и 3 недостижимы — это ответ на пункт б). Наоборот, для любого D с остатком 0 или 1 подойдёт достаточно большое m нужной чётности и n = (m2 − D)/4.
В пункте в) D = (2m + n)2 − 4(2n + m). При m = 1 это (2 + n)2 − 4(2n + 1) = (n − 2)2 − 4, и натуральность требует (n − 2)2 ≥ 5, откуда D ≥ 5. При m ≥ 2 первое слагаемое растёт быстрее вычитаемого, и дискриминант только увеличивается.
Минимум D = 5 достигается при m = 1, n = 5.
В пункте в) D = (2m + n)2 − 4(2n + m). При m = 1 это (2 + n)2 − 4(2n + 1) = (n − 2)2 − 4, и натуральность требует (n − 2)2 ≥ 5, откуда D ≥ 5. При m ≥ 2 первое слагаемое растёт быстрее вычитаемого, и дискриминант только увеличивается.
Минимум D = 5 достигается при m = 1, n = 5.
Пример 2
Рассматриваются квадратные трёхчлены с натуральными коэффициентами.
а) Существуют ли натуральные числа m и n, такие, что дискриминант квадратного трёхчлена x2 + mx + n равен 29?
б) Существуют ли натуральные числа m и n, такие, что дискриминант квадратного трёхчлена x2 + mx + n равен 102?
в) Какое наименьшее значение принимает дискриминант D квадратного трёхчлена x2 + (5m + n)x + (5n + m), если известно, что числа m, n и D — натуральные?
а) Существуют ли натуральные числа m и n, такие, что дискриминант квадратного трёхчлена x2 + mx + n равен 29?
б) Существуют ли натуральные числа m и n, такие, что дискриминант квадратного трёхчлена x2 + mx + n равен 102?
в) Какое наименьшее значение принимает дискриминант D квадратного трёхчлена x2 + (5m + n)x + (5n + m), если известно, что числа m, n и D — натуральные?
Показать ответ
а) да: например m = 7, n = 5, тогда 7² − 4·5 = 29
б) нет: дискриминант равен m² − 4n, поэтому он сравним с m² по модулю 4; квадрат целого числа даёт при делении на 4 остаток 0 или 1, а 102 даёт остаток 2
в) 5; достигается при m = 1, n = 2; меньше нельзя — при m = 1 дискриминант равен (n − 5)² − 4, и чтобы он был натуральным, нужно (n − 5)² ≥ 5, то есть |n − 5| ≥ 3 и D ≥ 5; при m ≥ 2 дискриминант ещё больше
Решение
Дискриминант трёхчлена x2 + mx + n равен m2 − 4n, поэтому он сравним с m2 по модулю 4. Квадраты дают остатки 0 и 1, значит остатки 2 и 3 недостижимы — это ответ на пункт б). Наоборот, для любого D с остатком 0 или 1 подойдёт достаточно большое m нужной чётности и n = (m2 − D)/4.
В пункте в) D = (5m + n)2 − 4(5n + m). При m = 1 это (5 + n)2 − 4(5n + 1) = (n − 5)2 − 4, и натуральность требует (n − 5)2 ≥ 5, откуда D ≥ 5. При m ≥ 2 первое слагаемое растёт быстрее вычитаемого, и дискриминант только увеличивается.
Минимум D = 5 достигается при m = 1, n = 2.
В пункте в) D = (5m + n)2 − 4(5n + m). При m = 1 это (5 + n)2 − 4(5n + 1) = (n − 5)2 − 4, и натуральность требует (n − 5)2 ≥ 5, откуда D ≥ 5. При m ≥ 2 первое слагаемое растёт быстрее вычитаемого, и дискриминант только увеличивается.
Минимум D = 5 достигается при m = 1, n = 2.
Пример 3
Рассматриваются квадратные трёхчлены с натуральными коэффициентами.
а) Существуют ли натуральные числа m и n, такие, что дискриминант квадратного трёхчлена x2 + mx + n равен 77?
б) Существуют ли натуральные числа m и n, такие, что дискриминант квадратного трёхчлена x2 + mx + n равен 58?
в) Какое наименьшее значение принимает дискриминант D квадратного трёхчлена x2 + (3m + n)x + (3n + m), если известно, что числа m, n и D — натуральные?
а) Существуют ли натуральные числа m и n, такие, что дискриминант квадратного трёхчлена x2 + mx + n равен 77?
б) Существуют ли натуральные числа m и n, такие, что дискриминант квадратного трёхчлена x2 + mx + n равен 58?
в) Какое наименьшее значение принимает дискриминант D квадратного трёхчлена x2 + (3m + n)x + (3n + m), если известно, что числа m, n и D — натуральные?
Показать ответ
а) да: например m = 9, n = 1, тогда 9² − 4·1 = 77
б) нет: дискриминант равен m² − 4n, поэтому он сравним с m² по модулю 4; квадрат целого числа даёт при делении на 4 остаток 0 или 1, а 58 даёт остаток 2
в) 5; достигается при m = 1, n = 6; меньше нельзя — при m = 1 дискриминант равен (n − 3)² − 4, и чтобы он был натуральным, нужно (n − 3)² ≥ 5, то есть |n − 3| ≥ 3 и D ≥ 5; при m ≥ 2 дискриминант ещё больше
Решение
Дискриминант трёхчлена x2 + mx + n равен m2 − 4n, поэтому он сравним с m2 по модулю 4. Квадраты дают остатки 0 и 1, значит остатки 2 и 3 недостижимы — это ответ на пункт б). Наоборот, для любого D с остатком 0 или 1 подойдёт достаточно большое m нужной чётности и n = (m2 − D)/4.
В пункте в) D = (3m + n)2 − 4(3n + m). При m = 1 это (3 + n)2 − 4(3n + 1) = (n − 3)2 − 4, и натуральность требует (n − 3)2 ≥ 5, откуда D ≥ 5. При m ≥ 2 первое слагаемое растёт быстрее вычитаемого, и дискриминант только увеличивается.
Минимум D = 5 достигается при m = 1, n = 6.
В пункте в) D = (3m + n)2 − 4(3n + m). При m = 1 это (3 + n)2 − 4(3n + 1) = (n − 3)2 − 4, и натуральность требует (n − 3)2 ≥ 5, откуда D ≥ 5. При m ≥ 2 первое слагаемое растёт быстрее вычитаемого, и дискриминант только увеличивается.
Минимум D = 5 достигается при m = 1, n = 6.
Пример 4
Рассматриваются квадратные трёхчлены с натуральными коэффициентами.
а) Существуют ли натуральные числа m и n, такие, что дискриминант квадратного трёхчлена x2 + mx + n равен 73?
б) Существуют ли натуральные числа m и n, такие, что дискриминант квадратного трёхчлена x2 + mx + n равен 27?
в) Какое наименьшее значение принимает дискриминант D квадратного трёхчлена x2 + (2m + n)x + (2n + m), если известно, что числа m, n и D — натуральные?
а) Существуют ли натуральные числа m и n, такие, что дискриминант квадратного трёхчлена x2 + mx + n равен 73?
б) Существуют ли натуральные числа m и n, такие, что дискриминант квадратного трёхчлена x2 + mx + n равен 27?
в) Какое наименьшее значение принимает дискриминант D квадратного трёхчлена x2 + (2m + n)x + (2n + m), если известно, что числа m, n и D — натуральные?
Показать ответ
а) да: например m = 9, n = 2, тогда 9² − 4·2 = 73
б) нет: дискриминант равен m² − 4n, поэтому он сравним с m² по модулю 4; квадрат целого числа даёт при делении на 4 остаток 0 или 1, а 27 даёт остаток 3
в) 5; достигается при m = 1, n = 5; меньше нельзя — при m = 1 дискриминант равен (n − 2)² − 4, и чтобы он был натуральным, нужно (n − 2)² ≥ 5, то есть |n − 2| ≥ 3 и D ≥ 5; при m ≥ 2 дискриминант ещё больше
Решение
Дискриминант трёхчлена x2 + mx + n равен m2 − 4n, поэтому он сравним с m2 по модулю 4. Квадраты дают остатки 0 и 1, значит остатки 2 и 3 недостижимы — это ответ на пункт б). Наоборот, для любого D с остатком 0 или 1 подойдёт достаточно большое m нужной чётности и n = (m2 − D)/4.
В пункте в) D = (2m + n)2 − 4(2n + m). При m = 1 это (2 + n)2 − 4(2n + 1) = (n − 2)2 − 4, и натуральность требует (n − 2)2 ≥ 5, откуда D ≥ 5. При m ≥ 2 первое слагаемое растёт быстрее вычитаемого, и дискриминант только увеличивается.
Минимум D = 5 достигается при m = 1, n = 5.
В пункте в) D = (2m + n)2 − 4(2n + m). При m = 1 это (2 + n)2 − 4(2n + 1) = (n − 2)2 − 4, и натуральность требует (n − 2)2 ≥ 5, откуда D ≥ 5. При m ≥ 2 первое слагаемое растёт быстрее вычитаемого, и дискриминант только увеличивается.
Минимум D = 5 достигается при m = 1, n = 5.
Пример 5
Рассматриваются квадратные трёхчлены с натуральными коэффициентами.
а) Существуют ли натуральные числа m и n, такие, что дискриминант квадратного трёхчлена x2 + mx + n равен 37?
б) Существуют ли натуральные числа m и n, такие, что дискриминант квадратного трёхчлена x2 + mx + n равен 150?
в) Какое наименьшее значение принимает дискриминант D квадратного трёхчлена x2 + (3m + n)x + (3n + m), если известно, что числа m, n и D — натуральные?
а) Существуют ли натуральные числа m и n, такие, что дискриминант квадратного трёхчлена x2 + mx + n равен 37?
б) Существуют ли натуральные числа m и n, такие, что дискриминант квадратного трёхчлена x2 + mx + n равен 150?
в) Какое наименьшее значение принимает дискриминант D квадратного трёхчлена x2 + (3m + n)x + (3n + m), если известно, что числа m, n и D — натуральные?
Показать ответ
а) да: например m = 7, n = 3, тогда 7² − 4·3 = 37
б) нет: дискриминант равен m² − 4n, поэтому он сравним с m² по модулю 4; квадрат целого числа даёт при делении на 4 остаток 0 или 1, а 150 даёт остаток 2
в) 5; достигается при m = 1, n = 6; меньше нельзя — при m = 1 дискриминант равен (n − 3)² − 4, и чтобы он был натуральным, нужно (n − 3)² ≥ 5, то есть |n − 3| ≥ 3 и D ≥ 5; при m ≥ 2 дискриминант ещё больше
Решение
Дискриминант трёхчлена x2 + mx + n равен m2 − 4n, поэтому он сравним с m2 по модулю 4. Квадраты дают остатки 0 и 1, значит остатки 2 и 3 недостижимы — это ответ на пункт б). Наоборот, для любого D с остатком 0 или 1 подойдёт достаточно большое m нужной чётности и n = (m2 − D)/4.
В пункте в) D = (3m + n)2 − 4(3n + m). При m = 1 это (3 + n)2 − 4(3n + 1) = (n − 3)2 − 4, и натуральность требует (n − 3)2 ≥ 5, откуда D ≥ 5. При m ≥ 2 первое слагаемое растёт быстрее вычитаемого, и дискриминант только увеличивается.
Минимум D = 5 достигается при m = 1, n = 6.
В пункте в) D = (3m + n)2 − 4(3n + m). При m = 1 это (3 + n)2 − 4(3n + 1) = (n − 3)2 − 4, и натуральность требует (n − 3)2 ≥ 5, откуда D ≥ 5. При m ≥ 2 первое слагаемое растёт быстрее вычитаемого, и дискриминант только увеличивается.
Минимум D = 5 достигается при m = 1, n = 6.
Другие темы задания №20
1Каждый следующий в 10 раз больше или меньше: наибольшее число членов2Сумма соседей — одна из трёх: наименьшее число членов3Вдвое меньше либо больше на D: наименьший максимум4Средние без k-го члена: наибольшее M₃5Возрастающая с шагом ≤ 10: наибольшее среднее всех членов6Член больше среднего соседей: наименьшая сумма при n членах7Концы нулевые: наименьший второй член8Числа 1–4 и степенные суммы S₁…S₄9Целые числа: средние всех / положительных / отрицательных10Средние арифметические набора11Средние арифметические набора12Деление на три группы: наименьшее из наибольших средних
Нужен репетитор по математике?
Посмотрите репетиторов, которые ведут занятия в Precettore, или оставьте заявку — подберём сами.
Готовьтесь к ЕГЭ по профильной математике в Precettore
Варианты с автопроверкой, домашние задания от репетитора, онлайн-доска и разбор ошибок — в одном кабинете. Регистрация бесплатная.