Дни: наибольшая общая сумма чисел — задание 20 ЕГЭ по профильной математике
Средние в контейнере. 5 примера с ответом и проверкой.
Пример 1
В течение n дней каждый день на доску записывают натуральные числа, каждое из которых меньше 6. При этом каждый день (кроме первого) сумма чисел, записанных на доску в этот день, больше, а количество чисел меньше, чем в предыдущий день.
а) Может ли n быть больше 4?
б) Может ли среднее арифметическое чисел, записанных в первый день, быть меньше 3, а среднее арифметическое всех чисел, записанных за все дни, быть больше 4?
в) Известно, что сумма чисел, записанных в первый день, равна 6. Какое наибольшее значение может принимать сумма всех чисел, записанных за все дни?
а) Может ли n быть больше 4?
б) Может ли среднее арифметическое чисел, записанных в первый день, быть меньше 3, а среднее арифметическое всех чисел, записанных за все дни, быть больше 4?
в) Известно, что сумма чисел, записанных в первый день, равна 6. Какое наибольшее значение может принимать сумма всех чисел, записанных за все дни?
Показать ответ
а) да, например в 1-й день 14 чисел с суммой 14, в 2-й день 13 чисел с суммой 15, в 3-й день 12 чисел с суммой 16, в 4-й день 11 чисел с суммой 17, в 5-й день 10 чисел с суммой 18
б) да, например в 1-й день 11 чисел с суммой 32, в 2-й день 10 чисел с суммой 44, в 3-й день 9 чисел с суммой 45: среднее первого дня 2 10/11 < 3, а среднее всех чисел 4 1/30 > 4
в) 48; например в 1-й день 6 чисел с суммой 6, в 2-й день 5 чисел с суммой 13, в 3-й день 4 числа с суммой 14, в 4-й день 3 числа с суммой 15
Решение
Пусть в день i записано kᵢ чисел с суммой sᵢ; тогда kᵢ ≤ sᵢ ≤ 5kᵢ.
а) Ограничения не запрещают длинных цепочек, если начинать с большого количества чисел: в 1-й день 14 чисел с суммой 14, в 2-й день 13 чисел с суммой 15, в 3-й день 12 чисел с суммой 16, в 4-й день 11 чисел с суммой 17, в 5-й день 10 чисел с суммой 18 — здесь 5 дней.
б) Пример: в 1-й день 11 чисел с суммой 32, в 2-й день 10 чисел с суммой 44, в 3-й день 9 чисел с суммой 45.
в) Числа натуральные, поэтому k1 ≤ s1 = 6. При фиксированных количествах суммы выгодно брать наибольшими: sₙ = 5kₙ, а каждая предыдущая — на единицу меньше следующей, но не больше 5kᵢ. Перебор убывающих наборов количеств даёт максимум 48: в 1-й день 6 чисел с суммой 6, в 2-й день 5 чисел с суммой 13, в 3-й день 4 числа с суммой 14, в 4-й день 3 числа с суммой 15.
Ответ: 48.
а) Ограничения не запрещают длинных цепочек, если начинать с большого количества чисел: в 1-й день 14 чисел с суммой 14, в 2-й день 13 чисел с суммой 15, в 3-й день 12 чисел с суммой 16, в 4-й день 11 чисел с суммой 17, в 5-й день 10 чисел с суммой 18 — здесь 5 дней.
б) Пример: в 1-й день 11 чисел с суммой 32, в 2-й день 10 чисел с суммой 44, в 3-й день 9 чисел с суммой 45.
в) Числа натуральные, поэтому k1 ≤ s1 = 6. При фиксированных количествах суммы выгодно брать наибольшими: sₙ = 5kₙ, а каждая предыдущая — на единицу меньше следующей, но не больше 5kᵢ. Перебор убывающих наборов количеств даёт максимум 48: в 1-й день 6 чисел с суммой 6, в 2-й день 5 чисел с суммой 13, в 3-й день 4 числа с суммой 14, в 4-й день 3 числа с суммой 15.
Ответ: 48.
Пример 2
В течение n дней каждый день на доску записывают натуральные числа, каждое из которых меньше 6. При этом каждый день (кроме первого) сумма чисел, записанных на доску в этот день, больше, а количество чисел меньше, чем в предыдущий день.
а) Может ли n быть больше 4?
б) Может ли среднее арифметическое чисел, записанных в первый день, быть меньше 3, а среднее арифметическое всех чисел, записанных за все дни, быть больше 4?
в) Известно, что сумма чисел, записанных в первый день, равна 7. Какое наибольшее значение может принимать сумма всех чисел, записанных за все дни?
а) Может ли n быть больше 4?
б) Может ли среднее арифметическое чисел, записанных в первый день, быть меньше 3, а среднее арифметическое всех чисел, записанных за все дни, быть больше 4?
в) Известно, что сумма чисел, записанных в первый день, равна 7. Какое наибольшее значение может принимать сумма всех чисел, записанных за все дни?
Показать ответ
а) да, например в 1-й день 14 чисел с суммой 14, в 2-й день 13 чисел с суммой 15, в 3-й день 12 чисел с суммой 16, в 4-й день 11 чисел с суммой 17, в 5-й день 10 чисел с суммой 18
б) да, например в 1-й день 11 чисел с суммой 32, в 2-й день 10 чисел с суммой 44, в 3-й день 9 чисел с суммой 45: среднее первого дня 2 10/11 < 3, а среднее всех чисел 4 1/30 > 4
в) 64; например в 1-й день 7 чисел с суммой 7, в 2-й день 6 чисел с суммой 18, в 3-й день 5 чисел с суммой 19, в 4-й день 4 числа с суммой 20
Решение
Пусть в день i записано kᵢ чисел с суммой sᵢ; тогда kᵢ ≤ sᵢ ≤ 5kᵢ.
а) Ограничения не запрещают длинных цепочек, если начинать с большого количества чисел: в 1-й день 14 чисел с суммой 14, в 2-й день 13 чисел с суммой 15, в 3-й день 12 чисел с суммой 16, в 4-й день 11 чисел с суммой 17, в 5-й день 10 чисел с суммой 18 — здесь 5 дней.
б) Пример: в 1-й день 11 чисел с суммой 32, в 2-й день 10 чисел с суммой 44, в 3-й день 9 чисел с суммой 45.
в) Числа натуральные, поэтому k1 ≤ s1 = 7. При фиксированных количествах суммы выгодно брать наибольшими: sₙ = 5kₙ, а каждая предыдущая — на единицу меньше следующей, но не больше 5kᵢ. Перебор убывающих наборов количеств даёт максимум 64: в 1-й день 7 чисел с суммой 7, в 2-й день 6 чисел с суммой 18, в 3-й день 5 чисел с суммой 19, в 4-й день 4 числа с суммой 20.
Ответ: 64.
а) Ограничения не запрещают длинных цепочек, если начинать с большого количества чисел: в 1-й день 14 чисел с суммой 14, в 2-й день 13 чисел с суммой 15, в 3-й день 12 чисел с суммой 16, в 4-й день 11 чисел с суммой 17, в 5-й день 10 чисел с суммой 18 — здесь 5 дней.
б) Пример: в 1-й день 11 чисел с суммой 32, в 2-й день 10 чисел с суммой 44, в 3-й день 9 чисел с суммой 45.
в) Числа натуральные, поэтому k1 ≤ s1 = 7. При фиксированных количествах суммы выгодно брать наибольшими: sₙ = 5kₙ, а каждая предыдущая — на единицу меньше следующей, но не больше 5kᵢ. Перебор убывающих наборов количеств даёт максимум 64: в 1-й день 7 чисел с суммой 7, в 2-й день 6 чисел с суммой 18, в 3-й день 5 чисел с суммой 19, в 4-й день 4 числа с суммой 20.
Ответ: 64.
Пример 3
В течение n дней каждый день на доску записывают натуральные числа, каждое из которых меньше 6. При этом каждый день (кроме первого) сумма чисел, записанных на доску в этот день, больше, а количество чисел меньше, чем в предыдущий день.
а) Может ли n быть больше 4?
б) Может ли среднее арифметическое чисел, записанных в первый день, быть меньше 3, а среднее арифметическое всех чисел, записанных за все дни, быть больше 4?
в) Известно, что сумма чисел, записанных в первый день, равна 8. Какое наибольшее значение может принимать сумма всех чисел, записанных за все дни?
а) Может ли n быть больше 4?
б) Может ли среднее арифметическое чисел, записанных в первый день, быть меньше 3, а среднее арифметическое всех чисел, записанных за все дни, быть больше 4?
в) Известно, что сумма чисел, записанных в первый день, равна 8. Какое наибольшее значение может принимать сумма всех чисел, записанных за все дни?
Показать ответ
а) да, например в 1-й день 14 чисел с суммой 14, в 2-й день 13 чисел с суммой 15, в 3-й день 12 чисел с суммой 16, в 4-й день 11 чисел с суммой 17, в 5-й день 10 чисел с суммой 18
б) да, например в 1-й день 11 чисел с суммой 32, в 2-й день 10 чисел с суммой 44, в 3-й день 9 чисел с суммой 45: среднее первого дня 2 10/11 < 3, а среднее всех чисел 4 1/30 > 4
в) 82; например в 1-й день 8 чисел с суммой 8, в 2-й день 7 чисел с суммой 17, в 3-й день 6 чисел с суммой 18, в 4-й день 5 чисел с суммой 19, в 5-й день 4 числа с суммой 20
Решение
Пусть в день i записано kᵢ чисел с суммой sᵢ; тогда kᵢ ≤ sᵢ ≤ 5kᵢ.
а) Ограничения не запрещают длинных цепочек, если начинать с большого количества чисел: в 1-й день 14 чисел с суммой 14, в 2-й день 13 чисел с суммой 15, в 3-й день 12 чисел с суммой 16, в 4-й день 11 чисел с суммой 17, в 5-й день 10 чисел с суммой 18 — здесь 5 дней.
б) Пример: в 1-й день 11 чисел с суммой 32, в 2-й день 10 чисел с суммой 44, в 3-й день 9 чисел с суммой 45.
в) Числа натуральные, поэтому k1 ≤ s1 = 8. При фиксированных количествах суммы выгодно брать наибольшими: sₙ = 5kₙ, а каждая предыдущая — на единицу меньше следующей, но не больше 5kᵢ. Перебор убывающих наборов количеств даёт максимум 82: в 1-й день 8 чисел с суммой 8, в 2-й день 7 чисел с суммой 17, в 3-й день 6 чисел с суммой 18, в 4-й день 5 чисел с суммой 19, в 5-й день 4 числа с суммой 20.
Ответ: 82.
а) Ограничения не запрещают длинных цепочек, если начинать с большого количества чисел: в 1-й день 14 чисел с суммой 14, в 2-й день 13 чисел с суммой 15, в 3-й день 12 чисел с суммой 16, в 4-й день 11 чисел с суммой 17, в 5-й день 10 чисел с суммой 18 — здесь 5 дней.
б) Пример: в 1-й день 11 чисел с суммой 32, в 2-й день 10 чисел с суммой 44, в 3-й день 9 чисел с суммой 45.
в) Числа натуральные, поэтому k1 ≤ s1 = 8. При фиксированных количествах суммы выгодно брать наибольшими: sₙ = 5kₙ, а каждая предыдущая — на единицу меньше следующей, но не больше 5kᵢ. Перебор убывающих наборов количеств даёт максимум 82: в 1-й день 8 чисел с суммой 8, в 2-й день 7 чисел с суммой 17, в 3-й день 6 чисел с суммой 18, в 4-й день 5 чисел с суммой 19, в 5-й день 4 числа с суммой 20.
Ответ: 82.
Пример 4
В течение n дней каждый день на доску записывают натуральные числа, каждое из которых меньше 6. При этом каждый день (кроме первого) сумма чисел, записанных на доску в этот день, больше, а количество чисел меньше, чем в предыдущий день.
а) Может ли n быть больше 5?
б) Может ли среднее арифметическое чисел, записанных в первый день, быть меньше 3, а среднее арифметическое всех чисел, записанных за все дни, быть больше 4?
в) Известно, что сумма чисел, записанных в первый день, равна 7. Какое наибольшее значение может принимать сумма всех чисел, записанных за все дни?
а) Может ли n быть больше 5?
б) Может ли среднее арифметическое чисел, записанных в первый день, быть меньше 3, а среднее арифметическое всех чисел, записанных за все дни, быть больше 4?
в) Известно, что сумма чисел, записанных в первый день, равна 7. Какое наибольшее значение может принимать сумма всех чисел, записанных за все дни?
Показать ответ
а) да, например в 1-й день 15 чисел с суммой 15, в 2-й день 14 чисел с суммой 16, в 3-й день 13 чисел с суммой 17, в 4-й день 12 чисел с суммой 18, в 5-й день 11 чисел с суммой 19, в 6-й день 10 чисел с суммой 20
б) да, например в 1-й день 11 чисел с суммой 32, в 2-й день 10 чисел с суммой 44, в 3-й день 9 чисел с суммой 45: среднее первого дня 2 10/11 < 3, а среднее всех чисел 4 1/30 > 4
в) 64; например в 1-й день 7 чисел с суммой 7, в 2-й день 6 чисел с суммой 18, в 3-й день 5 чисел с суммой 19, в 4-й день 4 числа с суммой 20
Решение
Пусть в день i записано kᵢ чисел с суммой sᵢ; тогда kᵢ ≤ sᵢ ≤ 5kᵢ.
а) Ограничения не запрещают длинных цепочек, если начинать с большого количества чисел: в 1-й день 15 чисел с суммой 15, в 2-й день 14 чисел с суммой 16, в 3-й день 13 чисел с суммой 17, в 4-й день 12 чисел с суммой 18, в 5-й день 11 чисел с суммой 19, в 6-й день 10 чисел с суммой 20 — здесь 6 дней.
б) Пример: в 1-й день 11 чисел с суммой 32, в 2-й день 10 чисел с суммой 44, в 3-й день 9 чисел с суммой 45.
в) Числа натуральные, поэтому k1 ≤ s1 = 7. При фиксированных количествах суммы выгодно брать наибольшими: sₙ = 5kₙ, а каждая предыдущая — на единицу меньше следующей, но не больше 5kᵢ. Перебор убывающих наборов количеств даёт максимум 64: в 1-й день 7 чисел с суммой 7, в 2-й день 6 чисел с суммой 18, в 3-й день 5 чисел с суммой 19, в 4-й день 4 числа с суммой 20.
Ответ: 64.
а) Ограничения не запрещают длинных цепочек, если начинать с большого количества чисел: в 1-й день 15 чисел с суммой 15, в 2-й день 14 чисел с суммой 16, в 3-й день 13 чисел с суммой 17, в 4-й день 12 чисел с суммой 18, в 5-й день 11 чисел с суммой 19, в 6-й день 10 чисел с суммой 20 — здесь 6 дней.
б) Пример: в 1-й день 11 чисел с суммой 32, в 2-й день 10 чисел с суммой 44, в 3-й день 9 чисел с суммой 45.
в) Числа натуральные, поэтому k1 ≤ s1 = 7. При фиксированных количествах суммы выгодно брать наибольшими: sₙ = 5kₙ, а каждая предыдущая — на единицу меньше следующей, но не больше 5kᵢ. Перебор убывающих наборов количеств даёт максимум 64: в 1-й день 7 чисел с суммой 7, в 2-й день 6 чисел с суммой 18, в 3-й день 5 чисел с суммой 19, в 4-й день 4 числа с суммой 20.
Ответ: 64.
Пример 5
В течение n дней каждый день на доску записывают натуральные числа, каждое из которых меньше 6. При этом каждый день (кроме первого) сумма чисел, записанных на доску в этот день, больше, а количество чисел меньше, чем в предыдущий день.
а) Может ли n быть больше 5?
б) Может ли среднее арифметическое чисел, записанных в первый день, быть меньше 3, а среднее арифметическое всех чисел, записанных за все дни, быть больше 4?
в) Известно, что сумма чисел, записанных в первый день, равна 8. Какое наибольшее значение может принимать сумма всех чисел, записанных за все дни?
а) Может ли n быть больше 5?
б) Может ли среднее арифметическое чисел, записанных в первый день, быть меньше 3, а среднее арифметическое всех чисел, записанных за все дни, быть больше 4?
в) Известно, что сумма чисел, записанных в первый день, равна 8. Какое наибольшее значение может принимать сумма всех чисел, записанных за все дни?
Показать ответ
а) да, например в 1-й день 15 чисел с суммой 15, в 2-й день 14 чисел с суммой 16, в 3-й день 13 чисел с суммой 17, в 4-й день 12 чисел с суммой 18, в 5-й день 11 чисел с суммой 19, в 6-й день 10 чисел с суммой 20
б) да, например в 1-й день 11 чисел с суммой 32, в 2-й день 10 чисел с суммой 44, в 3-й день 9 чисел с суммой 45: среднее первого дня 2 10/11 < 3, а среднее всех чисел 4 1/30 > 4
в) 82; например в 1-й день 8 чисел с суммой 8, в 2-й день 7 чисел с суммой 17, в 3-й день 6 чисел с суммой 18, в 4-й день 5 чисел с суммой 19, в 5-й день 4 числа с суммой 20
Решение
Пусть в день i записано kᵢ чисел с суммой sᵢ; тогда kᵢ ≤ sᵢ ≤ 5kᵢ.
а) Ограничения не запрещают длинных цепочек, если начинать с большого количества чисел: в 1-й день 15 чисел с суммой 15, в 2-й день 14 чисел с суммой 16, в 3-й день 13 чисел с суммой 17, в 4-й день 12 чисел с суммой 18, в 5-й день 11 чисел с суммой 19, в 6-й день 10 чисел с суммой 20 — здесь 6 дней.
б) Пример: в 1-й день 11 чисел с суммой 32, в 2-й день 10 чисел с суммой 44, в 3-й день 9 чисел с суммой 45.
в) Числа натуральные, поэтому k1 ≤ s1 = 8. При фиксированных количествах суммы выгодно брать наибольшими: sₙ = 5kₙ, а каждая предыдущая — на единицу меньше следующей, но не больше 5kᵢ. Перебор убывающих наборов количеств даёт максимум 82: в 1-й день 8 чисел с суммой 8, в 2-й день 7 чисел с суммой 17, в 3-й день 6 чисел с суммой 18, в 4-й день 5 чисел с суммой 19, в 5-й день 4 числа с суммой 20.
Ответ: 82.
а) Ограничения не запрещают длинных цепочек, если начинать с большого количества чисел: в 1-й день 15 чисел с суммой 15, в 2-й день 14 чисел с суммой 16, в 3-й день 13 чисел с суммой 17, в 4-й день 12 чисел с суммой 18, в 5-й день 11 чисел с суммой 19, в 6-й день 10 чисел с суммой 20 — здесь 6 дней.
б) Пример: в 1-й день 11 чисел с суммой 32, в 2-й день 10 чисел с суммой 44, в 3-й день 9 чисел с суммой 45.
в) Числа натуральные, поэтому k1 ≤ s1 = 8. При фиксированных количествах суммы выгодно брать наибольшими: sₙ = 5kₙ, а каждая предыдущая — на единицу меньше следующей, но не больше 5kᵢ. Перебор убывающих наборов количеств даёт максимум 82: в 1-й день 8 чисел с суммой 8, в 2-й день 7 чисел с суммой 17, в 3-й день 6 чисел с суммой 18, в 4-й день 5 чисел с суммой 19, в 5-й день 4 числа с суммой 20.
Ответ: 82.
Другие темы задания №20
1Каждый следующий в 10 раз больше или меньше: наибольшее число членов2Сумма соседей — одна из трёх: наименьшее число членов3Вдвое меньше либо больше на D: наименьший максимум4Средние без k-го члена: наибольшее M₃5Возрастающая с шагом ≤ 10: наибольшее среднее всех членов6Член больше среднего соседей: наименьшая сумма при n членах7Концы нулевые: наименьший второй член8Числа 1–4 и степенные суммы S₁…S₄9Целые числа: средние всех / положительных / отрицательных10Средние арифметические набора11Средние арифметические набора12Деление на три группы: наименьшее из наибольших средних
Нужен репетитор по математике?
Посмотрите репетиторов, которые ведут занятия в Precettore, или оставьте заявку — подберём сами.
Готовьтесь к ЕГЭ по профильной математике в Precettore
Варианты с автопроверкой, домашние задания от репетитора, онлайн-доска и разбор ошибок — в одном кабинете. Регистрация бесплатная.