Дни: сумма растёт, количество убывает — задание 20 ЕГЭ по профильной математике
Средние в контейнере. 5 примера с ответом и проверкой.
Пример 1
В течение n дней каждый день на доску записывают натуральные числа, каждое из которых меньше 6. При этом каждый день (кроме первого) сумма чисел, записанных на доску в этот день, больше, а количество чисел меньше, чем в предыдущий день.
а) Известно, что сумма чисел, записанных в первый день, равна 7. Может ли n быть больше 6?
б) Может ли среднее арифметическое чисел, записанных в первый день, быть меньше 2, а среднее арифметическое всех чисел, записанных за все дни, быть больше 2,5?
в) Известно, что n = 6. Какое наименьшее количество чисел могло быть записано за все эти дни?
а) Известно, что сумма чисел, записанных в первый день, равна 7. Может ли n быть больше 6?
б) Может ли среднее арифметическое чисел, записанных в первый день, быть меньше 2, а среднее арифметическое всех чисел, записанных за все дни, быть больше 2,5?
в) Известно, что n = 6. Какое наименьшее количество чисел могло быть записано за все эти дни?
Показать ответ
а) нет: числа натуральные, поэтому k₁ ≤ s₁ = 7, а количество чисел убывает, значит kₙ ≤ 7 − (n − 1). С другой стороны sₙ ≥ 7 + (n − 1) и sₙ ≤ 5kₙ, откуда 7 + (n − 1) ≤ 5(7 − (n − 1)) и n ≤ 5
б) да, например в 1-й день 5 чисел с суммой 9, в 2-й день 4 числа с суммой 20: среднее первого дня 1,8 < 2, а среднее всех чисел 3 2/9 > 2,5
в) 33; например в 1-й день 8 чисел с суммой 8, в 2-й день 7 чисел с суммой 9, в 3-й день 6 чисел с суммой 10, в 4-й день 5 чисел с суммой 11, в 5-й день 4 числа с суммой 12, в 6-й день 3 числа с суммой 13
Решение
Пусть в день i записано kᵢ чисел с суммой sᵢ. Все числа натуральные и меньше 6, поэтому kᵢ ≤ sᵢ ≤ 5kᵢ.
а) Так как k строго убывает, kₙ ≤ k1 − (n − 1) ≤ 7 − (n − 1); так как s строго растёт, sₙ ≥ 7 + (n − 1). Из sₙ ≤ 5kₙ получаем 7 + (n − 1) ≤ 5(7 − (n − 1)), то есть n ≤ 5. Значит n больше 6 быть не может.
б) Пример: в 1-й день 5 чисел с суммой 9, в 2-й день 4 числа с суммой 20. Среднее первого дня равно 1,8, а всех чисел — 3 2/9.
в) Цепочка 5kₙ ≥ sₙ ≥ s1 + (n − 1) ≥ k1 + (n − 1) ≥ kₙ + 2(n − 1) даёт kₙ ≥ 3. Тогда количества не меньше 8, 7, 6, 5, 4, 3, а всего чисел не меньше 33. Пример: в 1-й день 8 чисел с суммой 8, в 2-й день 7 чисел с суммой 9, в 3-й день 6 чисел с суммой 10, в 4-й день 5 чисел с суммой 11, в 5-й день 4 числа с суммой 12, в 6-й день 3 числа с суммой 13.
Ответ: 33.
а) Так как k строго убывает, kₙ ≤ k1 − (n − 1) ≤ 7 − (n − 1); так как s строго растёт, sₙ ≥ 7 + (n − 1). Из sₙ ≤ 5kₙ получаем 7 + (n − 1) ≤ 5(7 − (n − 1)), то есть n ≤ 5. Значит n больше 6 быть не может.
б) Пример: в 1-й день 5 чисел с суммой 9, в 2-й день 4 числа с суммой 20. Среднее первого дня равно 1,8, а всех чисел — 3 2/9.
в) Цепочка 5kₙ ≥ sₙ ≥ s1 + (n − 1) ≥ k1 + (n − 1) ≥ kₙ + 2(n − 1) даёт kₙ ≥ 3. Тогда количества не меньше 8, 7, 6, 5, 4, 3, а всего чисел не меньше 33. Пример: в 1-й день 8 чисел с суммой 8, в 2-й день 7 чисел с суммой 9, в 3-й день 6 чисел с суммой 10, в 4-й день 5 чисел с суммой 11, в 5-й день 4 числа с суммой 12, в 6-й день 3 числа с суммой 13.
Ответ: 33.
Пример 2
В течение n дней каждый день на доску записывают натуральные числа, каждое из которых меньше 6. При этом каждый день (кроме первого) сумма чисел, записанных на доску в этот день, больше, а количество чисел меньше, чем в предыдущий день.
а) Известно, что сумма чисел, записанных в первый день, равна 9. Может ли n быть больше 8?
б) Может ли среднее арифметическое чисел, записанных в первый день, быть меньше 2, а среднее арифметическое всех чисел, записанных за все дни, быть больше 2,5?
в) Известно, что n = 5. Какое наименьшее количество чисел могло быть записано за все эти дни?
а) Известно, что сумма чисел, записанных в первый день, равна 9. Может ли n быть больше 8?
б) Может ли среднее арифметическое чисел, записанных в первый день, быть меньше 2, а среднее арифметическое всех чисел, записанных за все дни, быть больше 2,5?
в) Известно, что n = 5. Какое наименьшее количество чисел могло быть записано за все эти дни?
Показать ответ
а) нет: числа натуральные, поэтому k₁ ≤ s₁ = 9, а количество чисел убывает, значит kₙ ≤ 9 − (n − 1). С другой стороны sₙ ≥ 9 + (n − 1) и sₙ ≤ 5kₙ, откуда 9 + (n − 1) ≤ 5(9 − (n − 1)) и n ≤ 7
б) да, например в 1-й день 5 чисел с суммой 9, в 2-й день 4 числа с суммой 20: среднее первого дня 1,8 < 2, а среднее всех чисел 3 2/9 > 2,5
в) 20; например в 1-й день 6 чисел с суммой 6, в 2-й день 5 чисел с суммой 7, в 3-й день 4 числа с суммой 8, в 4-й день 3 числа с суммой 9, в 5-й день 2 числа с суммой 10
Решение
Пусть в день i записано kᵢ чисел с суммой sᵢ. Все числа натуральные и меньше 6, поэтому kᵢ ≤ sᵢ ≤ 5kᵢ.
а) Так как k строго убывает, kₙ ≤ k1 − (n − 1) ≤ 9 − (n − 1); так как s строго растёт, sₙ ≥ 9 + (n − 1). Из sₙ ≤ 5kₙ получаем 9 + (n − 1) ≤ 5(9 − (n − 1)), то есть n ≤ 7. Значит n больше 8 быть не может.
б) Пример: в 1-й день 5 чисел с суммой 9, в 2-й день 4 числа с суммой 20. Среднее первого дня равно 1,8, а всех чисел — 3 2/9.
в) Цепочка 5kₙ ≥ sₙ ≥ s1 + (n − 1) ≥ k1 + (n − 1) ≥ kₙ + 2(n − 1) даёт kₙ ≥ 2. Тогда количества не меньше 6, 5, 4, 3, 2, а всего чисел не меньше 20. Пример: в 1-й день 6 чисел с суммой 6, в 2-й день 5 чисел с суммой 7, в 3-й день 4 числа с суммой 8, в 4-й день 3 числа с суммой 9, в 5-й день 2 числа с суммой 10.
Ответ: 20.
а) Так как k строго убывает, kₙ ≤ k1 − (n − 1) ≤ 9 − (n − 1); так как s строго растёт, sₙ ≥ 9 + (n − 1). Из sₙ ≤ 5kₙ получаем 9 + (n − 1) ≤ 5(9 − (n − 1)), то есть n ≤ 7. Значит n больше 8 быть не может.
б) Пример: в 1-й день 5 чисел с суммой 9, в 2-й день 4 числа с суммой 20. Среднее первого дня равно 1,8, а всех чисел — 3 2/9.
в) Цепочка 5kₙ ≥ sₙ ≥ s1 + (n − 1) ≥ k1 + (n − 1) ≥ kₙ + 2(n − 1) даёт kₙ ≥ 2. Тогда количества не меньше 6, 5, 4, 3, 2, а всего чисел не меньше 20. Пример: в 1-й день 6 чисел с суммой 6, в 2-й день 5 чисел с суммой 7, в 3-й день 4 числа с суммой 8, в 4-й день 3 числа с суммой 9, в 5-й день 2 числа с суммой 10.
Ответ: 20.
Пример 3
В течение n дней каждый день на доску записывают натуральные числа, каждое из которых меньше 6. При этом каждый день (кроме первого) сумма чисел, записанных на доску в этот день, больше, а количество чисел меньше, чем в предыдущий день.
а) Известно, что сумма чисел, записанных в первый день, равна 9. Может ли n быть больше 9?
б) Может ли среднее арифметическое чисел, записанных в первый день, быть меньше 2, а среднее арифметическое всех чисел, записанных за все дни, быть больше 2,5?
в) Известно, что n = 6. Какое наименьшее количество чисел могло быть записано за все эти дни?
а) Известно, что сумма чисел, записанных в первый день, равна 9. Может ли n быть больше 9?
б) Может ли среднее арифметическое чисел, записанных в первый день, быть меньше 2, а среднее арифметическое всех чисел, записанных за все дни, быть больше 2,5?
в) Известно, что n = 6. Какое наименьшее количество чисел могло быть записано за все эти дни?
Показать ответ
а) нет: числа натуральные, поэтому k₁ ≤ s₁ = 9, а количество чисел убывает, значит kₙ ≤ 9 − (n − 1). С другой стороны sₙ ≥ 9 + (n − 1) и sₙ ≤ 5kₙ, откуда 9 + (n − 1) ≤ 5(9 − (n − 1)) и n ≤ 7
б) да, например в 1-й день 5 чисел с суммой 9, в 2-й день 4 числа с суммой 20: среднее первого дня 1,8 < 2, а среднее всех чисел 3 2/9 > 2,5
в) 33; например в 1-й день 8 чисел с суммой 8, в 2-й день 7 чисел с суммой 9, в 3-й день 6 чисел с суммой 10, в 4-й день 5 чисел с суммой 11, в 5-й день 4 числа с суммой 12, в 6-й день 3 числа с суммой 13
Решение
Пусть в день i записано kᵢ чисел с суммой sᵢ. Все числа натуральные и меньше 6, поэтому kᵢ ≤ sᵢ ≤ 5kᵢ.
а) Так как k строго убывает, kₙ ≤ k1 − (n − 1) ≤ 9 − (n − 1); так как s строго растёт, sₙ ≥ 9 + (n − 1). Из sₙ ≤ 5kₙ получаем 9 + (n − 1) ≤ 5(9 − (n − 1)), то есть n ≤ 7. Значит n больше 9 быть не может.
б) Пример: в 1-й день 5 чисел с суммой 9, в 2-й день 4 числа с суммой 20. Среднее первого дня равно 1,8, а всех чисел — 3 2/9.
в) Цепочка 5kₙ ≥ sₙ ≥ s1 + (n − 1) ≥ k1 + (n − 1) ≥ kₙ + 2(n − 1) даёт kₙ ≥ 3. Тогда количества не меньше 8, 7, 6, 5, 4, 3, а всего чисел не меньше 33. Пример: в 1-й день 8 чисел с суммой 8, в 2-й день 7 чисел с суммой 9, в 3-й день 6 чисел с суммой 10, в 4-й день 5 чисел с суммой 11, в 5-й день 4 числа с суммой 12, в 6-й день 3 числа с суммой 13.
Ответ: 33.
а) Так как k строго убывает, kₙ ≤ k1 − (n − 1) ≤ 9 − (n − 1); так как s строго растёт, sₙ ≥ 9 + (n − 1). Из sₙ ≤ 5kₙ получаем 9 + (n − 1) ≤ 5(9 − (n − 1)), то есть n ≤ 7. Значит n больше 9 быть не может.
б) Пример: в 1-й день 5 чисел с суммой 9, в 2-й день 4 числа с суммой 20. Среднее первого дня равно 1,8, а всех чисел — 3 2/9.
в) Цепочка 5kₙ ≥ sₙ ≥ s1 + (n − 1) ≥ k1 + (n − 1) ≥ kₙ + 2(n − 1) даёт kₙ ≥ 3. Тогда количества не меньше 8, 7, 6, 5, 4, 3, а всего чисел не меньше 33. Пример: в 1-й день 8 чисел с суммой 8, в 2-й день 7 чисел с суммой 9, в 3-й день 6 чисел с суммой 10, в 4-й день 5 чисел с суммой 11, в 5-й день 4 числа с суммой 12, в 6-й день 3 числа с суммой 13.
Ответ: 33.
Пример 4
В течение n дней каждый день на доску записывают натуральные числа, каждое из которых меньше 6. При этом каждый день (кроме первого) сумма чисел, записанных на доску в этот день, больше, а количество чисел меньше, чем в предыдущий день.
а) Известно, что сумма чисел, записанных в первый день, равна 13. Может ли n быть больше 11?
б) Может ли среднее арифметическое чисел, записанных в первый день, быть меньше 2, а среднее арифметическое всех чисел, записанных за все дни, быть больше 2,5?
в) Известно, что n = 6. Какое наименьшее количество чисел могло быть записано за все эти дни?
а) Известно, что сумма чисел, записанных в первый день, равна 13. Может ли n быть больше 11?
б) Может ли среднее арифметическое чисел, записанных в первый день, быть меньше 2, а среднее арифметическое всех чисел, записанных за все дни, быть больше 2,5?
в) Известно, что n = 6. Какое наименьшее количество чисел могло быть записано за все эти дни?
Показать ответ
а) нет: числа натуральные, поэтому k₁ ≤ s₁ = 13, а количество чисел убывает, значит kₙ ≤ 13 − (n − 1). С другой стороны sₙ ≥ 13 + (n − 1) и sₙ ≤ 5kₙ, откуда 13 + (n − 1) ≤ 5(13 − (n − 1)) и n ≤ 9
б) да, например в 1-й день 5 чисел с суммой 9, в 2-й день 4 числа с суммой 20: среднее первого дня 1,8 < 2, а среднее всех чисел 3 2/9 > 2,5
в) 33; например в 1-й день 8 чисел с суммой 8, в 2-й день 7 чисел с суммой 9, в 3-й день 6 чисел с суммой 10, в 4-й день 5 чисел с суммой 11, в 5-й день 4 числа с суммой 12, в 6-й день 3 числа с суммой 13
Решение
Пусть в день i записано kᵢ чисел с суммой sᵢ. Все числа натуральные и меньше 6, поэтому kᵢ ≤ sᵢ ≤ 5kᵢ.
а) Так как k строго убывает, kₙ ≤ k1 − (n − 1) ≤ 13 − (n − 1); так как s строго растёт, sₙ ≥ 13 + (n − 1). Из sₙ ≤ 5kₙ получаем 13 + (n − 1) ≤ 5(13 − (n − 1)), то есть n ≤ 9. Значит n больше 11 быть не может.
б) Пример: в 1-й день 5 чисел с суммой 9, в 2-й день 4 числа с суммой 20. Среднее первого дня равно 1,8, а всех чисел — 3 2/9.
в) Цепочка 5kₙ ≥ sₙ ≥ s1 + (n − 1) ≥ k1 + (n − 1) ≥ kₙ + 2(n − 1) даёт kₙ ≥ 3. Тогда количества не меньше 8, 7, 6, 5, 4, 3, а всего чисел не меньше 33. Пример: в 1-й день 8 чисел с суммой 8, в 2-й день 7 чисел с суммой 9, в 3-й день 6 чисел с суммой 10, в 4-й день 5 чисел с суммой 11, в 5-й день 4 числа с суммой 12, в 6-й день 3 числа с суммой 13.
Ответ: 33.
а) Так как k строго убывает, kₙ ≤ k1 − (n − 1) ≤ 13 − (n − 1); так как s строго растёт, sₙ ≥ 13 + (n − 1). Из sₙ ≤ 5kₙ получаем 13 + (n − 1) ≤ 5(13 − (n − 1)), то есть n ≤ 9. Значит n больше 11 быть не может.
б) Пример: в 1-й день 5 чисел с суммой 9, в 2-й день 4 числа с суммой 20. Среднее первого дня равно 1,8, а всех чисел — 3 2/9.
в) Цепочка 5kₙ ≥ sₙ ≥ s1 + (n − 1) ≥ k1 + (n − 1) ≥ kₙ + 2(n − 1) даёт kₙ ≥ 3. Тогда количества не меньше 8, 7, 6, 5, 4, 3, а всего чисел не меньше 33. Пример: в 1-й день 8 чисел с суммой 8, в 2-й день 7 чисел с суммой 9, в 3-й день 6 чисел с суммой 10, в 4-й день 5 чисел с суммой 11, в 5-й день 4 числа с суммой 12, в 6-й день 3 числа с суммой 13.
Ответ: 33.
Пример 5
В течение n дней каждый день на доску записывают натуральные числа, каждое из которых меньше 6. При этом каждый день (кроме первого) сумма чисел, записанных на доску в этот день, больше, а количество чисел меньше, чем в предыдущий день.
а) Известно, что сумма чисел, записанных в первый день, равна 7. Может ли n быть больше 6?
б) Может ли среднее арифметическое чисел, записанных в первый день, быть меньше 2, а среднее арифметическое всех чисел, записанных за все дни, быть больше 2,5?
в) Известно, что n = 7. Какое наименьшее количество чисел могло быть записано за все эти дни?
а) Известно, что сумма чисел, записанных в первый день, равна 7. Может ли n быть больше 6?
б) Может ли среднее арифметическое чисел, записанных в первый день, быть меньше 2, а среднее арифметическое всех чисел, записанных за все дни, быть больше 2,5?
в) Известно, что n = 7. Какое наименьшее количество чисел могло быть записано за все эти дни?
Показать ответ
а) нет: числа натуральные, поэтому k₁ ≤ s₁ = 7, а количество чисел убывает, значит kₙ ≤ 7 − (n − 1). С другой стороны sₙ ≥ 7 + (n − 1) и sₙ ≤ 5kₙ, откуда 7 + (n − 1) ≤ 5(7 − (n − 1)) и n ≤ 5
б) да, например в 1-й день 5 чисел с суммой 9, в 2-й день 4 числа с суммой 20: среднее первого дня 1,8 < 2, а среднее всех чисел 3 2/9 > 2,5
в) 42; например в 1-й день 9 чисел с суммой 9, в 2-й день 8 чисел с суммой 10, в 3-й день 7 чисел с суммой 11, в 4-й день 6 чисел с суммой 12, в 5-й день 5 чисел с суммой 13, в 6-й день 4 числа с суммой 14, в 7-й день 3 числа с суммой 15
Решение
Пусть в день i записано kᵢ чисел с суммой sᵢ. Все числа натуральные и меньше 6, поэтому kᵢ ≤ sᵢ ≤ 5kᵢ.
а) Так как k строго убывает, kₙ ≤ k1 − (n − 1) ≤ 7 − (n − 1); так как s строго растёт, sₙ ≥ 7 + (n − 1). Из sₙ ≤ 5kₙ получаем 7 + (n − 1) ≤ 5(7 − (n − 1)), то есть n ≤ 5. Значит n больше 6 быть не может.
б) Пример: в 1-й день 5 чисел с суммой 9, в 2-й день 4 числа с суммой 20. Среднее первого дня равно 1,8, а всех чисел — 3 2/9.
в) Цепочка 5kₙ ≥ sₙ ≥ s1 + (n − 1) ≥ k1 + (n − 1) ≥ kₙ + 2(n − 1) даёт kₙ ≥ 3. Тогда количества не меньше 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, а всего чисел не меньше 42. Пример: в 1-й день 9 чисел с суммой 9, в 2-й день 8 чисел с суммой 10, в 3-й день 7 чисел с суммой 11, в 4-й день 6 чисел с суммой 12, в 5-й день 5 чисел с суммой 13, в 6-й день 4 числа с суммой 14, в 7-й день 3 числа с суммой 15.
Ответ: 42.
а) Так как k строго убывает, kₙ ≤ k1 − (n − 1) ≤ 7 − (n − 1); так как s строго растёт, sₙ ≥ 7 + (n − 1). Из sₙ ≤ 5kₙ получаем 7 + (n − 1) ≤ 5(7 − (n − 1)), то есть n ≤ 5. Значит n больше 6 быть не может.
б) Пример: в 1-й день 5 чисел с суммой 9, в 2-й день 4 числа с суммой 20. Среднее первого дня равно 1,8, а всех чисел — 3 2/9.
в) Цепочка 5kₙ ≥ sₙ ≥ s1 + (n − 1) ≥ k1 + (n − 1) ≥ kₙ + 2(n − 1) даёт kₙ ≥ 3. Тогда количества не меньше 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, а всего чисел не меньше 42. Пример: в 1-й день 9 чисел с суммой 9, в 2-й день 8 чисел с суммой 10, в 3-й день 7 чисел с суммой 11, в 4-й день 6 чисел с суммой 12, в 5-й день 5 чисел с суммой 13, в 6-й день 4 числа с суммой 14, в 7-й день 3 числа с суммой 15.
Ответ: 42.
Другие темы задания №20
1Каждый следующий в 10 раз больше или меньше: наибольшее число членов2Сумма соседей — одна из трёх: наименьшее число членов3Вдвое меньше либо больше на D: наименьший максимум4Средние без k-го члена: наибольшее M₃5Возрастающая с шагом ≤ 10: наибольшее среднее всех членов6Член больше среднего соседей: наименьшая сумма при n членах7Концы нулевые: наименьший второй член8Числа 1–4 и степенные суммы S₁…S₄9Целые числа: средние всех / положительных / отрицательных10Средние арифметические набора11Средние арифметические набора12Деление на три группы: наименьшее из наибольших средних
Нужен репетитор по математике?
Посмотрите репетиторов, которые ведут занятия в Precettore, или оставьте заявку — подберём сами.
Готовьтесь к ЕГЭ по профильной математике в Precettore
Варианты с автопроверкой, домашние задания от репетитора, онлайн-доска и разбор ошибок — в одном кабинете. Регистрация бесплатная.