Дробная часть среднего: наименьшее среднее — задание 20 ЕГЭ по профильной математике
Доска: набор чисел с ограничением на сумму. 5 примера с ответом и проверкой.
Пример 1
На доске написано несколько различных натуральных чисел. Дробная часть среднего арифметического этих чисел равна 0,36 (то есть если вычесть из среднего арифметического этих чисел 0,36, то получится целое число).
а) Могло ли на доске быть написано меньше 100 чисел?
б) Могло ли на доске быть написано меньше 16 чисел?
в) Найдите наименьшее возможное значение среднего арифметического этих чисел.
а) Могло ли на доске быть написано меньше 100 чисел?
б) Могло ли на доске быть написано меньше 16 чисел?
в) Найдите наименьшее возможное значение среднего арифметического этих чисел.
Показать ответ
а) да, например 25 чисел: 1, 2, 3, 4, …, 24, 34 (их сумма 334, среднее 13,36)
б) нет: если чисел n, а сумма равна S, то S/n − 0,36 — целое число, поэтому 25S = n·(25·целое + 9) и 25 делит n·9. Числа 9 и 25 взаимно просты, значит 25 делит n, и чисел не меньше 25 > 15
в) 13,36; например 1, 2, 3, 4, …, 24, 34
Решение
Пусть на доске n различных натуральных чисел с суммой S. По условию S/n − 0,36 — целое число, то есть 25S − 9n делится на 25n. В частности 25 делит 9n, а так как 9 и 25 взаимно просты, 25 делит n.
а) Можно взять ровно 25 чисел, это меньше 100.
б) Из делимости n на 25 следует n ≥ 25, а 25 ≥ 16, поэтому меньше 16 чисел быть не могло.
в) Среднее равно S/n, а сумма n различных натуральных чисел не меньше n(n + 1)/2, поэтому среднее не меньше (n + 1)/2. Значит выгодно брать наименьшее допустимое n = 25. Тогда сумма имеет вид 25m + 9 и не меньше 325, откуда m ≥ 13 и S ≥ 334. Такая сумма достигается на наборе 1, 2, …, 24, 34, и среднее равно 13,36.
Ответ: 13,36.
а) Можно взять ровно 25 чисел, это меньше 100.
б) Из делимости n на 25 следует n ≥ 25, а 25 ≥ 16, поэтому меньше 16 чисел быть не могло.
в) Среднее равно S/n, а сумма n различных натуральных чисел не меньше n(n + 1)/2, поэтому среднее не меньше (n + 1)/2. Значит выгодно брать наименьшее допустимое n = 25. Тогда сумма имеет вид 25m + 9 и не меньше 325, откуда m ≥ 13 и S ≥ 334. Такая сумма достигается на наборе 1, 2, …, 24, 34, и среднее равно 13,36.
Ответ: 13,36.
Пример 2
На доске написано несколько различных натуральных чисел. Дробная часть среднего арифметического этих чисел равна 0,44 (то есть если вычесть из среднего арифметического этих чисел 0,44, то получится целое число).
а) Могло ли на доске быть написано меньше 150 чисел?
б) Могло ли на доске быть написано меньше 18 чисел?
в) Найдите наименьшее возможное значение среднего арифметического этих чисел.
а) Могло ли на доске быть написано меньше 150 чисел?
б) Могло ли на доске быть написано меньше 18 чисел?
в) Найдите наименьшее возможное значение среднего арифметического этих чисел.
Показать ответ
а) да, например 25 чисел: 1, 2, 3, 4, …, 24, 36 (их сумма 336, среднее 13,44)
б) нет: если чисел n, а сумма равна S, то S/n − 0,44 — целое число, поэтому 25S = n·(25·целое + 11) и 25 делит n·11. Числа 11 и 25 взаимно просты, значит 25 делит n, и чисел не меньше 25 > 17
в) 13,44; например 1, 2, 3, 4, …, 24, 36
Решение
Пусть на доске n различных натуральных чисел с суммой S. По условию S/n − 0,44 — целое число, то есть 25S − 11n делится на 25n. В частности 25 делит 11n, а так как 11 и 25 взаимно просты, 25 делит n.
а) Можно взять ровно 25 чисел, это меньше 150.
б) Из делимости n на 25 следует n ≥ 25, а 25 ≥ 18, поэтому меньше 18 чисел быть не могло.
в) Среднее равно S/n, а сумма n различных натуральных чисел не меньше n(n + 1)/2, поэтому среднее не меньше (n + 1)/2. Значит выгодно брать наименьшее допустимое n = 25. Тогда сумма имеет вид 25m + 11 и не меньше 325, откуда m ≥ 13 и S ≥ 336. Такая сумма достигается на наборе 1, 2, …, 24, 36, и среднее равно 13,44.
Ответ: 13,44.
а) Можно взять ровно 25 чисел, это меньше 150.
б) Из делимости n на 25 следует n ≥ 25, а 25 ≥ 18, поэтому меньше 18 чисел быть не могло.
в) Среднее равно S/n, а сумма n различных натуральных чисел не меньше n(n + 1)/2, поэтому среднее не меньше (n + 1)/2. Значит выгодно брать наименьшее допустимое n = 25. Тогда сумма имеет вид 25m + 11 и не меньше 325, откуда m ≥ 13 и S ≥ 336. Такая сумма достигается на наборе 1, 2, …, 24, 36, и среднее равно 13,44.
Ответ: 13,44.
Пример 3
На доске написано несколько различных натуральных чисел. Дробная часть среднего арифметического этих чисел равна 0,35 (то есть если вычесть из среднего арифметического этих чисел 0,35, то получится целое число).
а) Могло ли на доске быть написано меньше 100 чисел?
б) Могло ли на доске быть написано меньше 20 чисел?
в) Найдите наименьшее возможное значение среднего арифметического этих чисел.
а) Могло ли на доске быть написано меньше 100 чисел?
б) Могло ли на доске быть написано меньше 20 чисел?
в) Найдите наименьшее возможное значение среднего арифметического этих чисел.
Показать ответ
а) да, например 20 чисел: 1, 2, 3, 4, …, 19, 37 (их сумма 227, среднее 11,35)
б) нет: если чисел n, а сумма равна S, то S/n − 0,35 — целое число, поэтому 20S = n·(20·целое + 7) и 20 делит n·7. Числа 7 и 20 взаимно просты, значит 20 делит n, и чисел не меньше 20 > 19
в) 11,35; например 1, 2, 3, 4, …, 19, 37
Решение
Пусть на доске n различных натуральных чисел с суммой S. По условию S/n − 0,35 — целое число, то есть 20S − 7n делится на 20n. В частности 20 делит 7n, а так как 7 и 20 взаимно просты, 20 делит n.
а) Можно взять ровно 20 чисел, это меньше 100.
б) Из делимости n на 20 следует n ≥ 20, а 20 ≥ 20, поэтому меньше 20 чисел быть не могло.
в) Среднее равно S/n, а сумма n различных натуральных чисел не меньше n(n + 1)/2, поэтому среднее не меньше (n + 1)/2. Значит выгодно брать наименьшее допустимое n = 20. Тогда сумма имеет вид 20m + 7 и не меньше 210, откуда m ≥ 11 и S ≥ 227. Такая сумма достигается на наборе 1, 2, …, 19, 37, и среднее равно 11,35.
Ответ: 11,35.
а) Можно взять ровно 20 чисел, это меньше 100.
б) Из делимости n на 20 следует n ≥ 20, а 20 ≥ 20, поэтому меньше 20 чисел быть не могло.
в) Среднее равно S/n, а сумма n различных натуральных чисел не меньше n(n + 1)/2, поэтому среднее не меньше (n + 1)/2. Значит выгодно брать наименьшее допустимое n = 20. Тогда сумма имеет вид 20m + 7 и не меньше 210, откуда m ≥ 11 и S ≥ 227. Такая сумма достигается на наборе 1, 2, …, 19, 37, и среднее равно 11,35.
Ответ: 11,35.
Пример 4
На доске написано несколько различных натуральных чисел. Дробная часть среднего арифметического этих чисел равна 0,36 (то есть если вычесть из среднего арифметического этих чисел 0,36, то получится целое число).
а) Могло ли на доске быть написано меньше 200 чисел?
б) Могло ли на доске быть написано меньше 15 чисел?
в) Найдите наименьшее возможное значение среднего арифметического этих чисел.
а) Могло ли на доске быть написано меньше 200 чисел?
б) Могло ли на доске быть написано меньше 15 чисел?
в) Найдите наименьшее возможное значение среднего арифметического этих чисел.
Показать ответ
а) да, например 25 чисел: 1, 2, 3, 4, …, 24, 34 (их сумма 334, среднее 13,36)
б) нет: если чисел n, а сумма равна S, то S/n − 0,36 — целое число, поэтому 25S = n·(25·целое + 9) и 25 делит n·9. Числа 9 и 25 взаимно просты, значит 25 делит n, и чисел не меньше 25 > 14
в) 13,36; например 1, 2, 3, 4, …, 24, 34
Решение
Пусть на доске n различных натуральных чисел с суммой S. По условию S/n − 0,36 — целое число, то есть 25S − 9n делится на 25n. В частности 25 делит 9n, а так как 9 и 25 взаимно просты, 25 делит n.
а) Можно взять ровно 25 чисел, это меньше 200.
б) Из делимости n на 25 следует n ≥ 25, а 25 ≥ 15, поэтому меньше 15 чисел быть не могло.
в) Среднее равно S/n, а сумма n различных натуральных чисел не меньше n(n + 1)/2, поэтому среднее не меньше (n + 1)/2. Значит выгодно брать наименьшее допустимое n = 25. Тогда сумма имеет вид 25m + 9 и не меньше 325, откуда m ≥ 13 и S ≥ 334. Такая сумма достигается на наборе 1, 2, …, 24, 34, и среднее равно 13,36.
Ответ: 13,36.
а) Можно взять ровно 25 чисел, это меньше 200.
б) Из делимости n на 25 следует n ≥ 25, а 25 ≥ 15, поэтому меньше 15 чисел быть не могло.
в) Среднее равно S/n, а сумма n различных натуральных чисел не меньше n(n + 1)/2, поэтому среднее не меньше (n + 1)/2. Значит выгодно брать наименьшее допустимое n = 25. Тогда сумма имеет вид 25m + 9 и не меньше 325, откуда m ≥ 13 и S ≥ 334. Такая сумма достигается на наборе 1, 2, …, 24, 34, и среднее равно 13,36.
Ответ: 13,36.
Пример 5
На доске написано несколько различных натуральных чисел. Дробная часть среднего арифметического этих чисел равна 0,15 (то есть если вычесть из среднего арифметического этих чисел 0,15, то получится целое число).
а) Могло ли на доске быть написано меньше 100 чисел?
б) Могло ли на доске быть написано меньше 18 чисел?
в) Найдите наименьшее возможное значение среднего арифметического этих чисел.
а) Могло ли на доске быть написано меньше 100 чисел?
б) Могло ли на доске быть написано меньше 18 чисел?
в) Найдите наименьшее возможное значение среднего арифметического этих чисел.
Показать ответ
а) да, например 20 чисел: 1, 2, 3, 4, …, 19, 33 (их сумма 223, среднее 11,15)
б) нет: если чисел n, а сумма равна S, то S/n − 0,15 — целое число, поэтому 20S = n·(20·целое + 3) и 20 делит n·3. Числа 3 и 20 взаимно просты, значит 20 делит n, и чисел не меньше 20 > 17
в) 11,15; например 1, 2, 3, 4, …, 19, 33
Решение
Пусть на доске n различных натуральных чисел с суммой S. По условию S/n − 0,15 — целое число, то есть 20S − 3n делится на 20n. В частности 20 делит 3n, а так как 3 и 20 взаимно просты, 20 делит n.
а) Можно взять ровно 20 чисел, это меньше 100.
б) Из делимости n на 20 следует n ≥ 20, а 20 ≥ 18, поэтому меньше 18 чисел быть не могло.
в) Среднее равно S/n, а сумма n различных натуральных чисел не меньше n(n + 1)/2, поэтому среднее не меньше (n + 1)/2. Значит выгодно брать наименьшее допустимое n = 20. Тогда сумма имеет вид 20m + 3 и не меньше 210, откуда m ≥ 11 и S ≥ 223. Такая сумма достигается на наборе 1, 2, …, 19, 33, и среднее равно 11,15.
Ответ: 11,15.
а) Можно взять ровно 20 чисел, это меньше 100.
б) Из делимости n на 20 следует n ≥ 20, а 20 ≥ 18, поэтому меньше 18 чисел быть не могло.
в) Среднее равно S/n, а сумма n различных натуральных чисел не меньше n(n + 1)/2, поэтому среднее не меньше (n + 1)/2. Значит выгодно брать наименьшее допустимое n = 20. Тогда сумма имеет вид 20m + 3 и не меньше 210, откуда m ≥ 11 и S ≥ 223. Такая сумма достигается на наборе 1, 2, …, 19, 33, и среднее равно 11,15.
Ответ: 11,15.
Другие темы задания №20
1Каждый следующий в 10 раз больше или меньше: наибольшее число членов2Сумма соседей — одна из трёх: наименьшее число членов3Вдвое меньше либо больше на D: наименьший максимум4Средние без k-го члена: наибольшее M₃5Возрастающая с шагом ≤ 10: наибольшее среднее всех членов6Член больше среднего соседей: наименьшая сумма при n членах7Концы нулевые: наименьший второй член8Числа 1–4 и степенные суммы S₁…S₄9Целые числа: средние всех / положительных / отрицательных10Средние арифметические набора11Средние арифметические набора12Деление на три группы: наименьшее из наибольших средних
Нужен репетитор по математике?
Посмотрите репетиторов, которые ведут занятия в Precettore, или оставьте заявку — подберём сами.
Готовьтесь к ЕГЭ по профильной математике в Precettore
Варианты с автопроверкой, домашние задания от репетитора, онлайн-доска и разбор ошибок — в одном кабинете. Регистрация бесплатная.