Единичные дроби; все пары 1/m + 1/n = 1/N — задание 20 ЕГЭ по профильной математике
Алгебраическая теория чисел. 5 примера с ответом и проверкой.
Пример 1
Рассматриваются суммы дробей, у которых все числители равны единице, а знаменатели — попарно различные натуральные числа.
а) Представьте число 7193432 в виде суммы нескольких дробей, все числители которых — единица, а знаменатели — попарно различные натуральные числа.
б) Представьте число 4170 в виде суммы нескольких дробей, все числители которых — единица, а знаменатели — попарно различные натуральные числа.
в) Найдите все возможные пары натуральных чисел m и n, для которых m ≤ n и 1/m + 1/n = 1/16.
а) Представьте число 7193432 в виде суммы нескольких дробей, все числители которых — единица, а знаменатели — попарно различные натуральные числа.
б) Представьте число 4170 в виде суммы нескольких дробей, все числители которых — единица, а знаменатели — попарно различные натуральные числа.
в) Найдите все возможные пары натуральных чисел m и n, для которых m ≤ n и 1/m + 1/n = 1/16.
Показать ответ
а) 1/11 + 1/13 + 1/24 = 719/3432
б) 1/4 + 1/5 + 1/10 + 1/28 = 41/70
в) (17; 272), (18; 144), (20; 80), (24; 48), (32; 32)
Решение
а) и б) Достаточно предъявить разложение: 1/11 + 1/13 + 1/24 = 719/3432 и 1/4 + 1/5 + 1/10 + 1/28 = 41/70. Знаменатели попарно различны, числители равны единице.
в) Из 1/m + 1/n = 1/16 следует 16(m + n) = mn, то есть mn − 16m − 16n = 0 и (m − 16)(n − 16) = 256.
Значит m − 16 и n − 16 — пара взаимно дополняющих делителей числа 256 = 162, причём m ≤ n. Перебирая делители, получаем пары (17; 272), (18; 144), (20; 80), (24; 48), (32; 32).
в) Из 1/m + 1/n = 1/16 следует 16(m + n) = mn, то есть mn − 16m − 16n = 0 и (m − 16)(n − 16) = 256.
Значит m − 16 и n − 16 — пара взаимно дополняющих делителей числа 256 = 162, причём m ≤ n. Перебирая делители, получаем пары (17; 272), (18; 144), (20; 80), (24; 48), (32; 32).
Пример 2
Рассматриваются суммы дробей, у которых все числители равны единице, а знаменатели — попарно различные натуральные числа.
а) Представьте число 4612184 в виде суммы нескольких дробей, все числители которых — единица, а знаменатели — попарно различные натуральные числа.
б) Представьте число 172585 в виде суммы нескольких дробей, все числители которых — единица, а знаменатели — попарно различные натуральные числа.
в) Найдите все возможные пары натуральных чисел m и n, для которых m ≤ n и 1/m + 1/n = 1/11.
а) Представьте число 4612184 в виде суммы нескольких дробей, все числители которых — единица, а знаменатели — попарно различные натуральные числа.
б) Представьте число 172585 в виде суммы нескольких дробей, все числители которых — единица, а знаменатели — попарно различные натуральные числа.
в) Найдите все возможные пары натуральных чисел m и n, для которых m ≤ n и 1/m + 1/n = 1/11.
Показать ответ
а) 1/8 + 1/21 + 1/26 = 461/2184
б) 1/5 + 1/18 + 1/26 = 172/585
в) (12; 132), (22; 22)
Решение
а) и б) Достаточно предъявить разложение: 1/8 + 1/21 + 1/26 = 461/2184 и 1/5 + 1/18 + 1/26 = 172/585. Знаменатели попарно различны, числители равны единице.
в) Из 1/m + 1/n = 1/11 следует 11(m + n) = mn, то есть mn − 11m − 11n = 0 и (m − 11)(n − 11) = 121.
Значит m − 11 и n − 11 — пара взаимно дополняющих делителей числа 121 = 112, причём m ≤ n. Перебирая делители, получаем пары (12; 132), (22; 22).
в) Из 1/m + 1/n = 1/11 следует 11(m + n) = mn, то есть mn − 11m − 11n = 0 и (m − 11)(n − 11) = 121.
Значит m − 11 и n − 11 — пара взаимно дополняющих делителей числа 121 = 112, причём m ≤ n. Перебирая делители, получаем пары (12; 132), (22; 22).
Пример 3
Рассматриваются суммы дробей, у которых все числители равны единице, а знаменатели — попарно различные натуральные числа.
а) Представьте число 2891560 в виде суммы нескольких дробей, все числители которых — единица, а знаменатели — попарно различные натуральные числа.
б) Представьте число 4491872 в виде суммы нескольких дробей, все числители которых — единица, а знаменатели — попарно различные натуральные числа.
в) Найдите все возможные пары натуральных чисел m и n, для которых m ≤ n и 1/m + 1/n = 1/7.
а) Представьте число 2891560 в виде суммы нескольких дробей, все числители которых — единица, а знаменатели — попарно различные натуральные числа.
б) Представьте число 4491872 в виде суммы нескольких дробей, все числители которых — единица, а знаменатели — попарно различные натуральные числа.
в) Найдите все возможные пары натуральных чисел m и n, для которых m ≤ n и 1/m + 1/n = 1/7.
Показать ответ
а) 1/13 + 1/15 + 1/24 = 289/1560
б) 1/12 + 1/16 + 1/18 + 1/26 = 449/1872
в) (8; 56), (14; 14)
Решение
а) и б) Достаточно предъявить разложение: 1/13 + 1/15 + 1/24 = 289/1560 и 1/12 + 1/16 + 1/18 + 1/26 = 449/1872. Знаменатели попарно различны, числители равны единице.
в) Из 1/m + 1/n = 1/7 следует 7(m + n) = mn, то есть mn − 7m − 7n = 0 и (m − 7)(n − 7) = 49.
Значит m − 7 и n − 7 — пара взаимно дополняющих делителей числа 49 = 72, причём m ≤ n. Перебирая делители, получаем пары (8; 56), (14; 14).
в) Из 1/m + 1/n = 1/7 следует 7(m + n) = mn, то есть mn − 7m − 7n = 0 и (m − 7)(n − 7) = 49.
Значит m − 7 и n − 7 — пара взаимно дополняющих делителей числа 49 = 72, причём m ≤ n. Перебирая делители, получаем пары (8; 56), (14; 14).
Пример 4
Рассматриваются суммы дробей, у которых все числители равны единице, а знаменатели — попарно различные натуральные числа.
а) Представьте число 928 в виде суммы нескольких дробей, все числители которых — единица, а знаменатели — попарно различные натуральные числа.
б) Представьте число 2831080 в виде суммы нескольких дробей, все числители которых — единица, а знаменатели — попарно различные натуральные числа.
в) Найдите все возможные пары натуральных чисел m и n, для которых m ≤ n и 1/m + 1/n = 1/28.
а) Представьте число 928 в виде суммы нескольких дробей, все числители которых — единица, а знаменатели — попарно различные натуральные числа.
б) Представьте число 2831080 в виде суммы нескольких дробей, все числители которых — единица, а знаменатели — попарно различные натуральные числа.
в) Найдите все возможные пары натуральных чисел m и n, для которых m ≤ n и 1/m + 1/n = 1/28.
Показать ответ
а) 1/4 + 1/14 = 9/28
б) 1/8 + 1/10 + 1/27 = 283/1080
в) (29; 812), (30; 420), (32; 224), (35; 140), (36; 126), (42; 84), (44; 77), (56; 56)
Решение
а) и б) Достаточно предъявить разложение: 1/4 + 1/14 = 9/28 и 1/8 + 1/10 + 1/27 = 283/1080. Знаменатели попарно различны, числители равны единице.
в) Из 1/m + 1/n = 1/28 следует 28(m + n) = mn, то есть mn − 28m − 28n = 0 и (m − 28)(n − 28) = 784.
Значит m − 28 и n − 28 — пара взаимно дополняющих делителей числа 784 = 282, причём m ≤ n. Перебирая делители, получаем пары (29; 812), (30; 420), (32; 224), (35; 140), (36; 126), (42; 84), (44; 77), (56; 56).
в) Из 1/m + 1/n = 1/28 следует 28(m + n) = mn, то есть mn − 28m − 28n = 0 и (m − 28)(n − 28) = 784.
Значит m − 28 и n − 28 — пара взаимно дополняющих делителей числа 784 = 282, причём m ≤ n. Перебирая делители, получаем пары (29; 812), (30; 420), (32; 224), (35; 140), (36; 126), (42; 84), (44; 77), (56; 56).
Пример 5
Рассматриваются суммы дробей, у которых все числители равны единице, а знаменатели — попарно различные натуральные числа.
а) Представьте число 55126 в виде суммы нескольких дробей, все числители которых — единица, а знаменатели — попарно различные натуральные числа.
б) Представьте число 223612 в виде суммы нескольких дробей, все числители которых — единица, а знаменатели — попарно различные натуральные числа.
в) Найдите все возможные пары натуральных чисел m и n, для которых m ≤ n и 1/m + 1/n = 1/8.
а) Представьте число 55126 в виде суммы нескольких дробей, все числители которых — единица, а знаменатели — попарно различные натуральные числа.
б) Представьте число 223612 в виде суммы нескольких дробей, все числители которых — единица, а знаменатели — попарно различные натуральные числа.
в) Найдите все возможные пары натуральных чисел m и n, для которых m ≤ n и 1/m + 1/n = 1/8.
Показать ответ
а) 1/3 + 1/18 + 1/21 = 55/126
б) 1/5 + 1/17 + 1/18 + 1/20 = 223/612
в) (9; 72), (10; 40), (12; 24), (16; 16)
Решение
а) и б) Достаточно предъявить разложение: 1/3 + 1/18 + 1/21 = 55/126 и 1/5 + 1/17 + 1/18 + 1/20 = 223/612. Знаменатели попарно различны, числители равны единице.
в) Из 1/m + 1/n = 1/8 следует 8(m + n) = mn, то есть mn − 8m − 8n = 0 и (m − 8)(n − 8) = 64.
Значит m − 8 и n − 8 — пара взаимно дополняющих делителей числа 64 = 82, причём m ≤ n. Перебирая делители, получаем пары (9; 72), (10; 40), (12; 24), (16; 16).
в) Из 1/m + 1/n = 1/8 следует 8(m + n) = mn, то есть mn − 8m − 8n = 0 и (m − 8)(n − 8) = 64.
Значит m − 8 и n − 8 — пара взаимно дополняющих делителей числа 64 = 82, причём m ≤ n. Перебирая делители, получаем пары (9; 72), (10; 40), (12; 24), (16; 16).
Другие темы задания №20
1Каждый следующий в 10 раз больше или меньше: наибольшее число членов2Сумма соседей — одна из трёх: наименьшее число членов3Вдвое меньше либо больше на D: наименьший максимум4Средние без k-го члена: наибольшее M₃5Возрастающая с шагом ≤ 10: наибольшее среднее всех членов6Член больше среднего соседей: наименьшая сумма при n членах7Концы нулевые: наименьший второй член8Числа 1–4 и степенные суммы S₁…S₄9Целые числа: средние всех / положительных / отрицательных10Средние арифметические набора11Средние арифметические набора12Деление на три группы: наименьшее из наибольших средних
Нужен репетитор по математике?
Посмотрите репетиторов, которые ведут занятия в Precettore, или оставьте заявку — подберём сами.
Готовьтесь к ЕГЭ по профильной математике в Precettore
Варианты с автопроверкой, домашние задания от репетитора, онлайн-доска и разбор ошибок — в одном кабинете. Регистрация бесплатная.