Эксперты и фильмы: наибольшее число экспертов — задание 20 ЕГЭ по профильной математике
Сравнение групп. 5 примера с ответом и проверкой.
Пример 1
Несколько экспертов оценивают несколько кинофильмов. Каждый из них выставляет оценку каждому кинофильму — целое число баллов от 1 до 13 включительно. Известно, что каждому кинофильму все эксперты выставили различные оценки. Рейтинг кинофильма — среднее геометрическое оценок всех экспертов, то есть корень степени n из произведения n оценок. Оказалось, что рейтинги всех кинофильмов — это различные целые числа.
а) Могло ли быть 4 эксперта и 2 кинофильма?
б) Могло ли быть 2 эксперта и 4 кинофильма?
в) При каком наибольшем количестве экспертов описанная ситуация возможна для одного кинофильма?
а) Могло ли быть 4 эксперта и 2 кинофильма?
б) Могло ли быть 2 эксперта и 4 кинофильма?
в) При каком наибольшем количестве экспертов описанная ситуация возможна для одного кинофильма?
Показать ответ
а) нет: при 4 экспертах произведение 4 различных оценок обязано быть 4-й степенью, а это даёт лишь рейтинг 6 — всего один, поэтому 2 различных целых рейтинга не набрать
б) да, например оценки фильмов: 1, 4 (рейтинг 2); 1, 9 (рейтинг 3); 2, 8 (рейтинг 4); 3, 12 (рейтинг 6)
в) 5; например, оценки 3, 4, 6, 9, 12: их произведение равно 7776 = 6⁵, поэтому рейтинг равен 6
Решение
Пусть фильму поставили оценки n экспертов. Рейтинг такого фильма — целое число m ⟺ произведение его оценок равно m в степени n. Перебор всех наборов различных оценок из 1…13 показывает, какие рейтинги вообще достижимы.
а) При n = 4 целыми могут быть только рейтинг 6 — всего один. Рейтинги разных фильмов различны, значит фильмов не больше 1 < 2. Ответ: нет.
б) При n = 2 достижимы рейтинги 2, 3, 4 и 6 — всего 4, и все эти рейтинги реализуются одновременно: 1, 4 (рейтинг 2); 1, 9 (рейтинг 3); 2, 8 (рейтинг 4); 3, 12 (рейтинг 6). Ответ: да.
в) Наборов из 6 и более различных оценок с целым средним геометрическим не существует (в произведении обязательно появляется простой множитель в степени, не кратной количеству оценок), а для 5 оценок пример есть: 3, 4, 6, 9, 12, произведение 7776 = 65. Ответ: 5.
а) При n = 4 целыми могут быть только рейтинг 6 — всего один. Рейтинги разных фильмов различны, значит фильмов не больше 1 < 2. Ответ: нет.
б) При n = 2 достижимы рейтинги 2, 3, 4 и 6 — всего 4, и все эти рейтинги реализуются одновременно: 1, 4 (рейтинг 2); 1, 9 (рейтинг 3); 2, 8 (рейтинг 4); 3, 12 (рейтинг 6). Ответ: да.
в) Наборов из 6 и более различных оценок с целым средним геометрическим не существует (в произведении обязательно появляется простой множитель в степени, не кратной количеству оценок), а для 5 оценок пример есть: 3, 4, 6, 9, 12, произведение 7776 = 65. Ответ: 5.
Пример 2
Несколько экспертов оценивают несколько кинофильмов. Каждый из них выставляет оценку каждому кинофильму — целое число баллов от 1 до 10 включительно. Известно, что каждому кинофильму все эксперты выставили различные оценки. Рейтинг кинофильма — среднее геометрическое оценок всех экспертов, то есть корень степени n из произведения n оценок. Оказалось, что рейтинги всех кинофильмов — это различные целые числа.
а) Могло ли быть 3 эксперта и 5 кинофильмов?
б) Могло ли быть 2 эксперта и 4 кинофильма?
в) При каком наибольшем количестве экспертов описанная ситуация возможна для одного кинофильма?
а) Могло ли быть 3 эксперта и 5 кинофильмов?
б) Могло ли быть 2 эксперта и 4 кинофильма?
в) При каком наибольшем количестве экспертов описанная ситуация возможна для одного кинофильма?
Показать ответ
а) нет: при 3 экспертах произведение 3 различных оценок обязано быть 3-й степенью, а это даёт лишь рейтинги 2, 3, 4 и 6 — всего 4, поэтому 5 различных целых рейтингов не набрать
б) да, например оценки фильмов: 1, 4 (рейтинг 2); 1, 9 (рейтинг 3); 2, 8 (рейтинг 4); 4, 9 (рейтинг 6)
в) 4; например, оценки 3, 6, 8, 9: их произведение равно 1296 = 6⁴, поэтому рейтинг равен 6
Решение
Пусть фильму поставили оценки n экспертов. Рейтинг такого фильма — целое число m ⟺ произведение его оценок равно m в степени n. Перебор всех наборов различных оценок из 1…10 показывает, какие рейтинги вообще достижимы.
а) При n = 3 целыми могут быть только рейтинги 2, 3, 4 и 6 — всего 4. Рейтинги разных фильмов различны, значит фильмов не больше 4 < 5. Ответ: нет.
б) При n = 2 достижимы рейтинги 2, 3, 4 и 6 — всего 4, и все эти рейтинги реализуются одновременно: 1, 4 (рейтинг 2); 1, 9 (рейтинг 3); 2, 8 (рейтинг 4); 4, 9 (рейтинг 6). Ответ: да.
в) Наборов из 5 и более различных оценок с целым средним геометрическим не существует (в произведении обязательно появляется простой множитель в степени, не кратной количеству оценок), а для 4 оценок пример есть: 3, 6, 8, 9, произведение 1296 = 64. Ответ: 4.
а) При n = 3 целыми могут быть только рейтинги 2, 3, 4 и 6 — всего 4. Рейтинги разных фильмов различны, значит фильмов не больше 4 < 5. Ответ: нет.
б) При n = 2 достижимы рейтинги 2, 3, 4 и 6 — всего 4, и все эти рейтинги реализуются одновременно: 1, 4 (рейтинг 2); 1, 9 (рейтинг 3); 2, 8 (рейтинг 4); 4, 9 (рейтинг 6). Ответ: да.
в) Наборов из 5 и более различных оценок с целым средним геометрическим не существует (в произведении обязательно появляется простой множитель в степени, не кратной количеству оценок), а для 4 оценок пример есть: 3, 6, 8, 9, произведение 1296 = 64. Ответ: 4.
Пример 3
Несколько экспертов оценивают несколько кинофильмов. Каждый из них выставляет оценку каждому кинофильму — целое число баллов от 1 до 10 включительно. Известно, что каждому кинофильму все эксперты выставили различные оценки. Рейтинг кинофильма — среднее геометрическое оценок всех экспертов, то есть корень степени n из произведения n оценок. Оказалось, что рейтинги всех кинофильмов — это различные целые числа.
а) Могло ли быть 2 эксперта и 5 кинофильмов?
б) Могло ли быть 3 эксперта и 4 кинофильма?
в) При каком наибольшем количестве экспертов описанная ситуация возможна для одного кинофильма?
а) Могло ли быть 2 эксперта и 5 кинофильмов?
б) Могло ли быть 3 эксперта и 4 кинофильма?
в) При каком наибольшем количестве экспертов описанная ситуация возможна для одного кинофильма?
Показать ответ
а) нет: при 2 экспертах произведение 2 различных оценок обязано быть 2-й степенью, а это даёт лишь рейтинги 2, 3, 4 и 6 — всего 4, поэтому 5 различных целых рейтингов не набрать
б) да, например оценки фильмов: 1, 2, 4 (рейтинг 2); 1, 3, 9 (рейтинг 3); 2, 4, 8 (рейтинг 4); 3, 8, 9 (рейтинг 6)
в) 4; например, оценки 3, 6, 8, 9: их произведение равно 1296 = 6⁴, поэтому рейтинг равен 6
Решение
Пусть фильму поставили оценки n экспертов. Рейтинг такого фильма — целое число m ⟺ произведение его оценок равно m в степени n. Перебор всех наборов различных оценок из 1…10 показывает, какие рейтинги вообще достижимы.
а) При n = 2 целыми могут быть только рейтинги 2, 3, 4 и 6 — всего 4. Рейтинги разных фильмов различны, значит фильмов не больше 4 < 5. Ответ: нет.
б) При n = 3 достижимы рейтинги 2, 3, 4 и 6 — всего 4, и все эти рейтинги реализуются одновременно: 1, 2, 4 (рейтинг 2); 1, 3, 9 (рейтинг 3); 2, 4, 8 (рейтинг 4); 3, 8, 9 (рейтинг 6). Ответ: да.
в) Наборов из 5 и более различных оценок с целым средним геометрическим не существует (в произведении обязательно появляется простой множитель в степени, не кратной количеству оценок), а для 4 оценок пример есть: 3, 6, 8, 9, произведение 1296 = 64. Ответ: 4.
а) При n = 2 целыми могут быть только рейтинги 2, 3, 4 и 6 — всего 4. Рейтинги разных фильмов различны, значит фильмов не больше 4 < 5. Ответ: нет.
б) При n = 3 достижимы рейтинги 2, 3, 4 и 6 — всего 4, и все эти рейтинги реализуются одновременно: 1, 2, 4 (рейтинг 2); 1, 3, 9 (рейтинг 3); 2, 4, 8 (рейтинг 4); 3, 8, 9 (рейтинг 6). Ответ: да.
в) Наборов из 5 и более различных оценок с целым средним геометрическим не существует (в произведении обязательно появляется простой множитель в степени, не кратной количеству оценок), а для 4 оценок пример есть: 3, 6, 8, 9, произведение 1296 = 64. Ответ: 4.
Пример 4
Несколько экспертов оценивают несколько кинофильмов. Каждый из них выставляет оценку каждому кинофильму — целое число баллов от 1 до 13 включительно. Известно, что каждому кинофильму все эксперты выставили различные оценки. Рейтинг кинофильма — среднее геометрическое оценок всех экспертов, то есть корень степени n из произведения n оценок. Оказалось, что рейтинги всех кинофильмов — это различные целые числа.
а) Могло ли быть 2 эксперта и 5 кинофильмов?
б) Могло ли быть 3 эксперта и 4 кинофильма?
в) При каком наибольшем количестве экспертов описанная ситуация возможна для одного кинофильма?
а) Могло ли быть 2 эксперта и 5 кинофильмов?
б) Могло ли быть 3 эксперта и 4 кинофильма?
в) При каком наибольшем количестве экспертов описанная ситуация возможна для одного кинофильма?
Показать ответ
а) нет: при 2 экспертах произведение 2 различных оценок обязано быть 2-й степенью, а это даёт лишь рейтинги 2, 3, 4 и 6 — всего 4, поэтому 5 различных целых рейтингов не набрать
б) да, например оценки фильмов: 1, 2, 4 (рейтинг 2); 1, 3, 9 (рейтинг 3); 2, 4, 8 (рейтинг 4); 2, 9, 12 (рейтинг 6)
в) 5; например, оценки 3, 4, 6, 9, 12: их произведение равно 7776 = 6⁵, поэтому рейтинг равен 6
Решение
Пусть фильму поставили оценки n экспертов. Рейтинг такого фильма — целое число m ⟺ произведение его оценок равно m в степени n. Перебор всех наборов различных оценок из 1…13 показывает, какие рейтинги вообще достижимы.
а) При n = 2 целыми могут быть только рейтинги 2, 3, 4 и 6 — всего 4. Рейтинги разных фильмов различны, значит фильмов не больше 4 < 5. Ответ: нет.
б) При n = 3 достижимы рейтинги 2, 3, 4 и 6 — всего 4, и все эти рейтинги реализуются одновременно: 1, 2, 4 (рейтинг 2); 1, 3, 9 (рейтинг 3); 2, 4, 8 (рейтинг 4); 2, 9, 12 (рейтинг 6). Ответ: да.
в) Наборов из 6 и более различных оценок с целым средним геометрическим не существует (в произведении обязательно появляется простой множитель в степени, не кратной количеству оценок), а для 5 оценок пример есть: 3, 4, 6, 9, 12, произведение 7776 = 65. Ответ: 5.
а) При n = 2 целыми могут быть только рейтинги 2, 3, 4 и 6 — всего 4. Рейтинги разных фильмов различны, значит фильмов не больше 4 < 5. Ответ: нет.
б) При n = 3 достижимы рейтинги 2, 3, 4 и 6 — всего 4, и все эти рейтинги реализуются одновременно: 1, 2, 4 (рейтинг 2); 1, 3, 9 (рейтинг 3); 2, 4, 8 (рейтинг 4); 2, 9, 12 (рейтинг 6). Ответ: да.
в) Наборов из 6 и более различных оценок с целым средним геометрическим не существует (в произведении обязательно появляется простой множитель в степени, не кратной количеству оценок), а для 5 оценок пример есть: 3, 4, 6, 9, 12, произведение 7776 = 65. Ответ: 5.
Пример 5
Несколько экспертов оценивают несколько кинофильмов. Каждый из них выставляет оценку каждому кинофильму — целое число баллов от 1 до 11 включительно. Известно, что каждому кинофильму все эксперты выставили различные оценки. Рейтинг кинофильма — среднее геометрическое оценок всех экспертов, то есть корень степени n из произведения n оценок. Оказалось, что рейтинги всех кинофильмов — это различные целые числа.
а) Могло ли быть 4 эксперта и 2 кинофильма?
б) Могло ли быть 2 эксперта и 4 кинофильма?
в) При каком наибольшем количестве экспертов описанная ситуация возможна для одного кинофильма?
а) Могло ли быть 4 эксперта и 2 кинофильма?
б) Могло ли быть 2 эксперта и 4 кинофильма?
в) При каком наибольшем количестве экспертов описанная ситуация возможна для одного кинофильма?
Показать ответ
а) нет: при 4 экспертах произведение 4 различных оценок обязано быть 4-й степенью, а это даёт лишь рейтинг 6 — всего один, поэтому 2 различных целых рейтинга не набрать
б) да, например оценки фильмов: 1, 4 (рейтинг 2); 1, 9 (рейтинг 3); 2, 8 (рейтинг 4); 4, 9 (рейтинг 6)
в) 4; например, оценки 3, 6, 8, 9: их произведение равно 1296 = 6⁴, поэтому рейтинг равен 6
Решение
Пусть фильму поставили оценки n экспертов. Рейтинг такого фильма — целое число m ⟺ произведение его оценок равно m в степени n. Перебор всех наборов различных оценок из 1…11 показывает, какие рейтинги вообще достижимы.
а) При n = 4 целыми могут быть только рейтинг 6 — всего один. Рейтинги разных фильмов различны, значит фильмов не больше 1 < 2. Ответ: нет.
б) При n = 2 достижимы рейтинги 2, 3, 4 и 6 — всего 4, и все эти рейтинги реализуются одновременно: 1, 4 (рейтинг 2); 1, 9 (рейтинг 3); 2, 8 (рейтинг 4); 4, 9 (рейтинг 6). Ответ: да.
в) Наборов из 5 и более различных оценок с целым средним геометрическим не существует (в произведении обязательно появляется простой множитель в степени, не кратной количеству оценок), а для 4 оценок пример есть: 3, 6, 8, 9, произведение 1296 = 64. Ответ: 4.
а) При n = 4 целыми могут быть только рейтинг 6 — всего один. Рейтинги разных фильмов различны, значит фильмов не больше 1 < 2. Ответ: нет.
б) При n = 2 достижимы рейтинги 2, 3, 4 и 6 — всего 4, и все эти рейтинги реализуются одновременно: 1, 4 (рейтинг 2); 1, 9 (рейтинг 3); 2, 8 (рейтинг 4); 4, 9 (рейтинг 6). Ответ: да.
в) Наборов из 5 и более различных оценок с целым средним геометрическим не существует (в произведении обязательно появляется простой множитель в степени, не кратной количеству оценок), а для 4 оценок пример есть: 3, 6, 8, 9, произведение 1296 = 64. Ответ: 4.
Другие темы задания №20
1Каждый следующий в 10 раз больше или меньше: наибольшее число членов2Сумма соседей — одна из трёх: наименьшее число членов3Вдвое меньше либо больше на D: наименьший максимум4Средние без k-го члена: наибольшее M₃5Возрастающая с шагом ≤ 10: наибольшее среднее всех членов6Член больше среднего соседей: наименьшая сумма при n членах7Концы нулевые: наименьший второй член8Числа 1–4 и степенные суммы S₁…S₄9Целые числа: средние всех / положительных / отрицательных10Средние арифметические набора11Средние арифметические набора12Деление на три группы: наименьшее из наибольших средних
Нужен репетитор по математике?
Посмотрите репетиторов, которые ведут занятия в Precettore, или оставьте заявку — подберём сами.
Готовьтесь к ЕГЭ по профильной математике в Precettore
Варианты с автопроверкой, домашние задания от репетитора, онлайн-доска и разбор ошибок — в одном кабинете. Регистрация бесплатная.