Фотографии: делители разницы и наибольшая сумма — задание 20 ЕГЭ по профильной математике
Сюжетные задачи с перебором. 5 примера с ответом и проверкой.
Пример 1
Маша и Наташа делали фотографии в течение некоторого количества подряд идущих дней. В первый день Маша сделала m фотографий, а Наташа — n фотографий. В каждый следующий день каждая из девочек делала на одну фотографию больше, чем в предыдущий день. Известно, что Наташа за всё время сделала суммарно на 935 фотографий больше, чем Маша, и что фотографировали они больше одного дня.
а) Могли ли они фотографировать в течение 5 дней?
б) Могли ли они фотографировать в течение 7 дней?
в) Какое наибольшее суммарное число фотографий могла сделать Наташа за все дни фотографирования, если известно, что в последний день Маша сделала меньше 40 фотографий?
а) Могли ли они фотографировать в течение 5 дней?
б) Могли ли они фотографировать в течение 7 дней?
в) Какое наибольшее суммарное число фотографий могла сделать Наташа за все дни фотографирования, если известно, что в последний день Маша сделала меньше 40 фотографий?
Показать ответ
а) да: за 5 дней разница сумм равна 5(n − m) = 935, поэтому n − m = 187; например Маша начинала с 1 фотографии, а Наташа — с 188
б) нет: за k дней разница сумм равна k(n − m), поэтому k делит 935 = 5 · 11 · 17; число 7 делителем не является
в) 1462; достигается при 17 днях, когда Маша начинала с 23 фотографий (в последний день — 39), а Наташа — с 78
Решение
Пусть фотографировали k дней. Тогда Маша сделала km + k(k − 1)/2 фотографий, Наташа — kn + k(k − 1)/2, и разность равна k(n − m) = 935. Значит k — делитель числа 935 = 5 · 11 · 17.
а) 5 делит 935, поэтому такое возможно: n − m = 187.
б) 7 не делит 935, поэтому столько дней быть не могло.
в) Суммарное число фотографий Наташи равно kn + k(k − 1)/2 = km + 935 + k(k − 1)/2. Из условия «в последний день Маша сделала меньше 40» следует m + k − 1 ≤ 39, то есть m ≤ 40 − k. Значит сумма не больше k(40 − k) + 935 + k(k − 1)/2; перебирая делители 935, не превосходящие 39, получаем максимум 1462 при k = 17 и m = 23.
Ответ: 1462.
а) 5 делит 935, поэтому такое возможно: n − m = 187.
б) 7 не делит 935, поэтому столько дней быть не могло.
в) Суммарное число фотографий Наташи равно kn + k(k − 1)/2 = km + 935 + k(k − 1)/2. Из условия «в последний день Маша сделала меньше 40» следует m + k − 1 ≤ 39, то есть m ≤ 40 − k. Значит сумма не больше k(40 − k) + 935 + k(k − 1)/2; перебирая делители 935, не превосходящие 39, получаем максимум 1462 при k = 17 и m = 23.
Ответ: 1462.
Пример 2
Маша и Наташа делали фотографии в течение некоторого количества подряд идущих дней. В первый день Маша сделала m фотографий, а Наташа — n фотографий. В каждый следующий день каждая из девочек делала на одну фотографию больше, чем в предыдущий день. Известно, что Наташа за всё время сделала суммарно на 715 фотографий больше, чем Маша, и что фотографировали они больше одного дня.
а) Могли ли они фотографировать в течение 11 дней?
б) Могли ли они фотографировать в течение 10 дней?
в) Какое наибольшее суммарное число фотографий могла сделать Наташа за все дни фотографирования, если известно, что в последний день Маша сделала меньше 40 фотографий?
а) Могли ли они фотографировать в течение 11 дней?
б) Могли ли они фотографировать в течение 10 дней?
в) Какое наибольшее суммарное число фотографий могла сделать Наташа за все дни фотографирования, если известно, что в последний день Маша сделала меньше 40 фотографий?
Показать ответ
а) да: за 11 дней разница сумм равна 11(n − m) = 715, поэтому n − m = 65; например Маша начинала с 1 фотографии, а Наташа — с 66
б) нет: за k дней разница сумм равна k(n − m), поэтому k делит 715 = 5 · 11 · 13; число 10 делителем не является
в) 1144; достигается при 13 днях, когда Маша начинала с 27 фотографий (в последний день — 39), а Наташа — с 82
Решение
Пусть фотографировали k дней. Тогда Маша сделала km + k(k − 1)/2 фотографий, Наташа — kn + k(k − 1)/2, и разность равна k(n − m) = 715. Значит k — делитель числа 715 = 5 · 11 · 13.
а) 11 делит 715, поэтому такое возможно: n − m = 65.
б) 10 не делит 715, поэтому столько дней быть не могло.
в) Суммарное число фотографий Наташи равно kn + k(k − 1)/2 = km + 715 + k(k − 1)/2. Из условия «в последний день Маша сделала меньше 40» следует m + k − 1 ≤ 39, то есть m ≤ 40 − k. Значит сумма не больше k(40 − k) + 715 + k(k − 1)/2; перебирая делители 715, не превосходящие 39, получаем максимум 1144 при k = 13 и m = 27.
Ответ: 1144.
а) 11 делит 715, поэтому такое возможно: n − m = 65.
б) 10 не делит 715, поэтому столько дней быть не могло.
в) Суммарное число фотографий Наташи равно kn + k(k − 1)/2 = km + 715 + k(k − 1)/2. Из условия «в последний день Маша сделала меньше 40» следует m + k − 1 ≤ 39, то есть m ≤ 40 − k. Значит сумма не больше k(40 − k) + 715 + k(k − 1)/2; перебирая делители 715, не превосходящие 39, получаем максимум 1144 при k = 13 и m = 27.
Ответ: 1144.
Пример 3
Маша и Наташа делали фотографии в течение некоторого количества подряд идущих дней. В первый день Маша сделала m фотографий, а Наташа — n фотографий. В каждый следующий день каждая из девочек делала на одну фотографию больше, чем в предыдущий день. Известно, что Наташа за всё время сделала суммарно на 1001 фотографию больше, чем Маша, и что фотографировали они больше одного дня.
а) Могли ли они фотографировать в течение 7 дней?
б) Могли ли они фотографировать в течение 8 дней?
в) Какое наибольшее суммарное число фотографий могла сделать Наташа за все дни фотографирования, если известно, что в последний день Маша сделала меньше 40 фотографий?
а) Могли ли они фотографировать в течение 7 дней?
б) Могли ли они фотографировать в течение 8 дней?
в) Какое наибольшее суммарное число фотографий могла сделать Наташа за все дни фотографирования, если известно, что в последний день Маша сделала меньше 40 фотографий?
Показать ответ
а) да: за 7 дней разница сумм равна 7(n − m) = 1001, поэтому n − m = 143; например Маша начинала с 1 фотографии, а Наташа — с 144
б) нет: за k дней разница сумм равна k(n − m), поэтому k делит 1001 = 7 · 11 · 13; число 8 делителем не является
в) 1430; достигается при 13 днях, когда Маша начинала с 27 фотографий (в последний день — 39), а Наташа — с 104
Решение
Пусть фотографировали k дней. Тогда Маша сделала km + k(k − 1)/2 фотографий, Наташа — kn + k(k − 1)/2, и разность равна k(n − m) = 1001. Значит k — делитель числа 1001 = 7 · 11 · 13.
а) 7 делит 1001, поэтому такое возможно: n − m = 143.
б) 8 не делит 1001, поэтому столько дней быть не могло.
в) Суммарное число фотографий Наташи равно kn + k(k − 1)/2 = km + 1001 + k(k − 1)/2. Из условия «в последний день Маша сделала меньше 40» следует m + k − 1 ≤ 39, то есть m ≤ 40 − k. Значит сумма не больше k(40 − k) + 1001 + k(k − 1)/2; перебирая делители 1001, не превосходящие 39, получаем максимум 1430 при k = 13 и m = 27.
Ответ: 1430.
а) 7 делит 1001, поэтому такое возможно: n − m = 143.
б) 8 не делит 1001, поэтому столько дней быть не могло.
в) Суммарное число фотографий Наташи равно kn + k(k − 1)/2 = km + 1001 + k(k − 1)/2. Из условия «в последний день Маша сделала меньше 40» следует m + k − 1 ≤ 39, то есть m ≤ 40 − k. Значит сумма не больше k(40 − k) + 1001 + k(k − 1)/2; перебирая делители 1001, не превосходящие 39, получаем максимум 1430 при k = 13 и m = 27.
Ответ: 1430.
Пример 4
Маша и Наташа делали фотографии в течение некоторого количества подряд идущих дней. В первый день Маша сделала m фотографий, а Наташа — n фотографий. В каждый следующий день каждая из девочек делала на одну фотографию больше, чем в предыдущий день. Известно, что Наташа за всё время сделала суммарно на 1105 фотографий больше, чем Маша, и что фотографировали они больше одного дня.
а) Могли ли они фотографировать в течение 5 дней?
б) Могли ли они фотографировать в течение 7 дней?
в) Какое наибольшее суммарное число фотографий могла сделать Наташа за все дни фотографирования, если известно, что в последний день Маша сделала меньше 50 фотографий?
а) Могли ли они фотографировать в течение 5 дней?
б) Могли ли они фотографировать в течение 7 дней?
в) Какое наибольшее суммарное число фотографий могла сделать Наташа за все дни фотографирования, если известно, что в последний день Маша сделала меньше 50 фотографий?
Показать ответ
а) да: за 5 дней разница сумм равна 5(n − m) = 1105, поэтому n − m = 221; например Маша начинала с 1 фотографии, а Наташа — с 222
б) нет: за k дней разница сумм равна k(n − m), поэтому k делит 1105 = 5 · 13 · 17; число 7 делителем не является
в) 1802; достигается при 17 днях, когда Маша начинала с 33 фотографий (в последний день — 49), а Наташа — с 98
Решение
Пусть фотографировали k дней. Тогда Маша сделала km + k(k − 1)/2 фотографий, Наташа — kn + k(k − 1)/2, и разность равна k(n − m) = 1105. Значит k — делитель числа 1105 = 5 · 13 · 17.
а) 5 делит 1105, поэтому такое возможно: n − m = 221.
б) 7 не делит 1105, поэтому столько дней быть не могло.
в) Суммарное число фотографий Наташи равно kn + k(k − 1)/2 = km + 1105 + k(k − 1)/2. Из условия «в последний день Маша сделала меньше 50» следует m + k − 1 ≤ 49, то есть m ≤ 50 − k. Значит сумма не больше k(50 − k) + 1105 + k(k − 1)/2; перебирая делители 1105, не превосходящие 49, получаем максимум 1802 при k = 17 и m = 33.
Ответ: 1802.
а) 5 делит 1105, поэтому такое возможно: n − m = 221.
б) 7 не делит 1105, поэтому столько дней быть не могло.
в) Суммарное число фотографий Наташи равно kn + k(k − 1)/2 = km + 1105 + k(k − 1)/2. Из условия «в последний день Маша сделала меньше 50» следует m + k − 1 ≤ 49, то есть m ≤ 50 − k. Значит сумма не больше k(50 − k) + 1105 + k(k − 1)/2; перебирая делители 1105, не превосходящие 49, получаем максимум 1802 при k = 17 и m = 33.
Ответ: 1802.
Пример 5
Маша и Наташа делали фотографии в течение некоторого количества подряд идущих дней. В первый день Маша сделала m фотографий, а Наташа — n фотографий. В каждый следующий день каждая из девочек делала на одну фотографию больше, чем в предыдущий день. Известно, что Наташа за всё время сделала суммарно на 1001 фотографию больше, чем Маша, и что фотографировали они больше одного дня.
а) Могли ли они фотографировать в течение 7 дней?
б) Могли ли они фотографировать в течение 9 дней?
в) Какое наибольшее суммарное число фотографий могла сделать Наташа за все дни фотографирования, если известно, что в последний день Маша сделала меньше 50 фотографий?
а) Могли ли они фотографировать в течение 7 дней?
б) Могли ли они фотографировать в течение 9 дней?
в) Какое наибольшее суммарное число фотографий могла сделать Наташа за все дни фотографирования, если известно, что в последний день Маша сделала меньше 50 фотографий?
Показать ответ
а) да: за 7 дней разница сумм равна 7(n − m) = 1001, поэтому n − m = 143; например Маша начинала с 1 фотографии, а Наташа — с 144
б) нет: за k дней разница сумм равна k(n − m), поэтому k делит 1001 = 7 · 11 · 13; число 9 делителем не является
в) 1560; достигается при 13 днях, когда Маша начинала с 37 фотографий (в последний день — 49), а Наташа — с 114
Решение
Пусть фотографировали k дней. Тогда Маша сделала km + k(k − 1)/2 фотографий, Наташа — kn + k(k − 1)/2, и разность равна k(n − m) = 1001. Значит k — делитель числа 1001 = 7 · 11 · 13.
а) 7 делит 1001, поэтому такое возможно: n − m = 143.
б) 9 не делит 1001, поэтому столько дней быть не могло.
в) Суммарное число фотографий Наташи равно kn + k(k − 1)/2 = km + 1001 + k(k − 1)/2. Из условия «в последний день Маша сделала меньше 50» следует m + k − 1 ≤ 49, то есть m ≤ 50 − k. Значит сумма не больше k(50 − k) + 1001 + k(k − 1)/2; перебирая делители 1001, не превосходящие 49, получаем максимум 1560 при k = 13 и m = 37.
Ответ: 1560.
а) 7 делит 1001, поэтому такое возможно: n − m = 143.
б) 9 не делит 1001, поэтому столько дней быть не могло.
в) Суммарное число фотографий Наташи равно kn + k(k − 1)/2 = km + 1001 + k(k − 1)/2. Из условия «в последний день Маша сделала меньше 50» следует m + k − 1 ≤ 49, то есть m ≤ 50 − k. Значит сумма не больше k(50 − k) + 1001 + k(k − 1)/2; перебирая делители 1001, не превосходящие 49, получаем максимум 1560 при k = 13 и m = 37.
Ответ: 1560.
Другие темы задания №20
1Каждый следующий в 10 раз больше или меньше: наибольшее число членов2Сумма соседей — одна из трёх: наименьшее число членов3Вдвое меньше либо больше на D: наименьший максимум4Средние без k-го члена: наибольшее M₃5Возрастающая с шагом ≤ 10: наибольшее среднее всех членов6Член больше среднего соседей: наименьшая сумма при n членах7Концы нулевые: наименьший второй член8Числа 1–4 и степенные суммы S₁…S₄9Целые числа: средние всех / положительных / отрицательных10Средние арифметические набора11Средние арифметические набора12Деление на три группы: наименьшее из наибольших средних
Нужен репетитор по математике?
Посмотрите репетиторов, которые ведут занятия в Precettore, или оставьте заявку — подберём сами.
Готовьтесь к ЕГЭ по профильной математике в Precettore
Варианты с автопроверкой, домашние задания от репетитора, онлайн-доска и разбор ошибок — в одном кабинете. Регистрация бесплатная.