Геометрическая прогрессия из трёхзначных чисел — задание 20 ЕГЭ по профильной математике
Прогрессии. 5 примера с ответом и проверкой.
Пример 1
Первый член конечной геометрической прогрессии, состоящей из трёхзначных натуральных чисел, равен 512. Известно, что в прогрессии не меньше трёх чисел.
а) Может ли число 704 являться членом такой прогрессии?
б) Может ли число 521 являться членом такой прогрессии?
в) Какое наибольшее число может являться членом такой прогрессии?
а) Может ли число 704 являться членом такой прогрессии?
б) Может ли число 521 являться членом такой прогрессии?
в) Какое наибольшее число может являться членом такой прогрессии?
Показать ответ
а) да, например прогрессия 512, 704 и 968 со знаменателем 11/8
б) нет: знаменатель прогрессии равен несократимой дроби p/s, и каждый следующий член получается умножением на p и делением на s, поэтому все члены имеют вид 512·pᵏ/sᵏ; ни при каком таком знаменателе, дающем не менее трёх трёхзначных членов, число 521 не появляется
в) 968; достигается в прогрессии 512, 704 и 968 со знаменателем 11/8
Решение
Пусть знаменатель равен несократимой дроби p/s. Тогда k-й член равен 512·pᵏ/sᵏ, и чтобы он был целым, sᵏ обязано делить 512; значит s — степень двойки, делящая 512.
Перебирая допустимые пары (p, s) и требуя, чтобы все члены оставались трёхзначными, а их было не меньше трёх, получаем полный список возможных членов прогрессии.
В нём есть 704 (прогрессия 512, 704 и 968), нет 521, а наибольшее число равно 968 (прогрессия 512, 704 и 968).
Перебирая допустимые пары (p, s) и требуя, чтобы все члены оставались трёхзначными, а их было не меньше трёх, получаем полный список возможных членов прогрессии.
В нём есть 704 (прогрессия 512, 704 и 968), нет 521, а наибольшее число равно 968 (прогрессия 512, 704 и 968).
Пример 2
Первый член конечной геометрической прогрессии, состоящей из трёхзначных натуральных чисел, равен 512. Известно, что в прогрессии не меньше трёх чисел.
а) Может ли число 352 являться членом такой прогрессии?
б) Может ли число 717 являться членом такой прогрессии?
в) Какое наибольшее число может являться членом такой прогрессии?
а) Может ли число 352 являться членом такой прогрессии?
б) Может ли число 717 являться членом такой прогрессии?
в) Какое наибольшее число может являться членом такой прогрессии?
Показать ответ
а) да, например прогрессия 512, 352 и 242 со знаменателем 11/16
б) нет: знаменатель прогрессии равен несократимой дроби p/s, и каждый следующий член получается умножением на p и делением на s, поэтому все члены имеют вид 512·pᵏ/sᵏ; ни при каком таком знаменателе, дающем не менее трёх трёхзначных членов, число 717 не появляется
в) 968; достигается в прогрессии 512, 704 и 968 со знаменателем 11/8
Решение
Пусть знаменатель равен несократимой дроби p/s. Тогда k-й член равен 512·pᵏ/sᵏ, и чтобы он был целым, sᵏ обязано делить 512; значит s — степень двойки, делящая 512.
Перебирая допустимые пары (p, s) и требуя, чтобы все члены оставались трёхзначными, а их было не меньше трёх, получаем полный список возможных членов прогрессии.
В нём есть 352 (прогрессия 512, 352 и 242), нет 717, а наибольшее число равно 968 (прогрессия 512, 704 и 968).
Перебирая допустимые пары (p, s) и требуя, чтобы все члены оставались трёхзначными, а их было не меньше трёх, получаем полный список возможных членов прогрессии.
В нём есть 352 (прогрессия 512, 352 и 242), нет 717, а наибольшее число равно 968 (прогрессия 512, 704 и 968).
Пример 3
Первый член конечной геометрической прогрессии, состоящей из трёхзначных натуральных чисел, равен 256. Известно, что в прогрессии не меньше трёх чисел.
а) Может ли число 192 являться членом такой прогрессии?
б) Может ли число 577 являться членом такой прогрессии?
в) Какое наибольшее число может являться членом такой прогрессии?
а) Может ли число 192 являться членом такой прогрессии?
б) Может ли число 577 являться членом такой прогрессии?
в) Какое наибольшее число может являться членом такой прогрессии?
Показать ответ
а) да, например прогрессия 256, 192, 144 и 108 со знаменателем 3/4
б) нет: знаменатель прогрессии равен несократимой дроби p/s, и каждый следующий член получается умножением на p и делением на s, поэтому все члены имеют вид 256·pᵏ/sᵏ; ни при каком таком знаменателе, дающем не менее трёх трёхзначных членов, число 577 не появляется
в) 961; достигается в прогрессии 256, 496 и 961 со знаменателем 31/16
Решение
Пусть знаменатель равен несократимой дроби p/s. Тогда k-й член равен 256·pᵏ/sᵏ, и чтобы он был целым, sᵏ обязано делить 256; значит s — степень двойки, делящая 256.
Перебирая допустимые пары (p, s) и требуя, чтобы все члены оставались трёхзначными, а их было не меньше трёх, получаем полный список возможных членов прогрессии.
В нём есть 192 (прогрессия 256, 192, 144 и 108), нет 577, а наибольшее число равно 961 (прогрессия 256, 496 и 961).
Перебирая допустимые пары (p, s) и требуя, чтобы все члены оставались трёхзначными, а их было не меньше трёх, получаем полный список возможных членов прогрессии.
В нём есть 192 (прогрессия 256, 192, 144 и 108), нет 577, а наибольшее число равно 961 (прогрессия 256, 496 и 961).
Пример 4
Первый член конечной геометрической прогрессии, состоящей из трёхзначных натуральных чисел, равен 512. Известно, что в прогрессии не меньше трёх чисел.
а) Может ли число 448 являться членом такой прогрессии?
б) Может ли число 590 являться членом такой прогрессии?
в) Какое наибольшее число может являться членом такой прогрессии?
а) Может ли число 448 являться членом такой прогрессии?
б) Может ли число 590 являться членом такой прогрессии?
в) Какое наибольшее число может являться членом такой прогрессии?
Показать ответ
а) да, например прогрессия 512, 448, 392 и 343 со знаменателем 7/8
б) нет: знаменатель прогрессии равен несократимой дроби p/s, и каждый следующий член получается умножением на p и делением на s, поэтому все члены имеют вид 512·pᵏ/sᵏ; ни при каком таком знаменателе, дающем не менее трёх трёхзначных членов, число 590 не появляется
в) 968; достигается в прогрессии 512, 704 и 968 со знаменателем 11/8
Решение
Пусть знаменатель равен несократимой дроби p/s. Тогда k-й член равен 512·pᵏ/sᵏ, и чтобы он был целым, sᵏ обязано делить 512; значит s — степень двойки, делящая 512.
Перебирая допустимые пары (p, s) и требуя, чтобы все члены оставались трёхзначными, а их было не меньше трёх, получаем полный список возможных членов прогрессии.
В нём есть 448 (прогрессия 512, 448, 392 и 343), нет 590, а наибольшее число равно 968 (прогрессия 512, 704 и 968).
Перебирая допустимые пары (p, s) и требуя, чтобы все члены оставались трёхзначными, а их было не меньше трёх, получаем полный список возможных членов прогрессии.
В нём есть 448 (прогрессия 512, 448, 392 и 343), нет 590, а наибольшее число равно 968 (прогрессия 512, 704 и 968).
Пример 5
Первый член конечной геометрической прогрессии, состоящей из трёхзначных натуральных чисел, равен 128. Известно, что в прогрессии не меньше трёх чисел.
а) Может ли число 176 являться членом такой прогрессии?
б) Может ли число 425 являться членом такой прогрессии?
в) Какое наибольшее число может являться членом такой прогрессии?
а) Может ли число 176 являться членом такой прогрессии?
б) Может ли число 425 являться членом такой прогрессии?
в) Какое наибольшее число может являться членом такой прогрессии?
Показать ответ
а) да, например прогрессия 128, 176 и 242 со знаменателем 11/8
б) нет: знаменатель прогрессии равен несократимой дроби p/s, и каждый следующий член получается умножением на p и делением на s, поэтому все члены имеют вид 128·pᵏ/sᵏ; ни при каком таком знаменателе, дающем не менее трёх трёхзначных членов, число 425 не появляется
в) 972; достигается в прогрессии 128, 192, 288, 432, 648 и 972 со знаменателем 3/2
Решение
Пусть знаменатель равен несократимой дроби p/s. Тогда k-й член равен 128·pᵏ/sᵏ, и чтобы он был целым, sᵏ обязано делить 128; значит s — степень двойки, делящая 128.
Перебирая допустимые пары (p, s) и требуя, чтобы все члены оставались трёхзначными, а их было не меньше трёх, получаем полный список возможных членов прогрессии.
В нём есть 176 (прогрессия 128, 176 и 242), нет 425, а наибольшее число равно 972 (прогрессия 128, 192, 288, 432, 648 и 972).
Перебирая допустимые пары (p, s) и требуя, чтобы все члены оставались трёхзначными, а их было не меньше трёх, получаем полный список возможных членов прогрессии.
В нём есть 176 (прогрессия 128, 176 и 242), нет 425, а наибольшее число равно 972 (прогрессия 128, 192, 288, 432, 648 и 972).
Другие темы задания №20
1Каждый следующий в 10 раз больше или меньше: наибольшее число членов2Сумма соседей — одна из трёх: наименьшее число членов3Вдвое меньше либо больше на D: наименьший максимум4Средние без k-го члена: наибольшее M₃5Возрастающая с шагом ≤ 10: наибольшее среднее всех членов6Член больше среднего соседей: наименьшая сумма при n членах7Концы нулевые: наименьший второй член8Числа 1–4 и степенные суммы S₁…S₄9Целые числа: средние всех / положительных / отрицательных10Средние арифметические набора11Средние арифметические набора12Деление на три группы: наименьшее из наибольших средних
Нужен репетитор по математике?
Посмотрите репетиторов, которые ведут занятия в Precettore, или оставьте заявку — подберём сами.
Готовьтесь к ЕГЭ по профильной математике в Precettore
Варианты с автопроверкой, домашние задания от репетитора, онлайн-доска и разбор ошибок — в одном кабинете. Регистрация бесплатная.