Гирьки 1…N: наибольшее число гирек в первой куче — задание 20 ЕГЭ по профильной математике
Средние в контейнере. 5 примера с ответом и проверкой.
Пример 1
Пятьдесят гирек массой 1 г, 2 г, …, 50 г разложили по двум кучам, в каждой куче хотя бы одна гирька. Масса каждой гирьки выражается целым числом граммов. Затем из второй кучи переложили в первую одну гирьку. После этого средняя масса гирек в первой куче увеличилась на 1 г.
а) Могло ли такое быть, если первоначально в первой куче лежали только гирьки массой 4 г, 8 г и 12 г?
б) Могла ли средняя масса гирек в первой куче первоначально равняться 7,5 г?
в) Какое наибольшее число гирек могло быть первоначально в первой куче?
а) Могло ли такое быть, если первоначально в первой куче лежали только гирьки массой 4 г, 8 г и 12 г?
б) Могла ли средняя масса гирек в первой куче первоначально равняться 7,5 г?
в) Какое наибольшее число гирек могло быть первоначально в первой куче?
Показать ответ
а) нет: если в первой куче k гирек со средней массой A, то из (S + x)/(k + 1) = A + 1 следует x = A + (k + 1). Здесь k = 3, A = 8 и x = 12 — но гирька такой массы уже лежит в первой куче, а перекладывают из второй
б) нет: x = A + (k + 1), и при A = 7,5 масса переложенной гирьки равна 7,5 + (k + 1) — число нецелое, а массы всех гирек целые
в) 32; например первая куча 1, 2, 3, …, 31, 48 (средняя масса 17 г), перекладывают гирьку массой 50 г
Решение
Пусть в первой куче было k гирек с суммой S и средней массой A = S/k, а переложили гирьку массой x. Тогда (S + x)/(k + 1) = A + 1, откуда
x = A + (k + 1).
а) Для гирек 4, 8, 12 имеем k = 3 и A = 8, поэтому x = 12 — гирька такой массы уже в первой куче, а перекладывают гирьку из второй.
б) При A = 7,5 величина x = 7,5 + (k + 1) не целая, а массы гирек — целые числа.
в) Гирьки различны, поэтому A ≥ (k + 1)/2, а значит x ≥ (k + 1)(1 + 0,5). Из x ≤ 50 получаем k + 1 ≤ 33,33, то есть k ≤ 32. Значение достигается: первая куча — гирьки 1, 2, 3, …, 31, 48, средняя масса 17 г, перекладывают гирьку массой 50 г.
Ответ: 32.
x = A + (k + 1).
а) Для гирек 4, 8, 12 имеем k = 3 и A = 8, поэтому x = 12 — гирька такой массы уже в первой куче, а перекладывают гирьку из второй.
б) При A = 7,5 величина x = 7,5 + (k + 1) не целая, а массы гирек — целые числа.
в) Гирьки различны, поэтому A ≥ (k + 1)/2, а значит x ≥ (k + 1)(1 + 0,5). Из x ≤ 50 получаем k + 1 ≤ 33,33, то есть k ≤ 32. Значение достигается: первая куча — гирьки 1, 2, 3, …, 31, 48, средняя масса 17 г, перекладывают гирьку массой 50 г.
Ответ: 32.
Пример 2
Шестьдесят гирек массой 1 г, 2 г, …, 60 г разложили по двум кучам, в каждой куче хотя бы одна гирька. Масса каждой гирьки выражается целым числом граммов. Затем из второй кучи переложили в первую одну гирьку. После этого средняя масса гирек в первой куче увеличилась на 1 г.
а) Могло ли такое быть, если первоначально в первой куче лежали только гирьки массой 10 г, 14 г и 18 г?
б) Могла ли средняя масса гирек в первой куче первоначально равняться 11,5 г?
в) Какое наибольшее число гирек могло быть первоначально в первой куче?
а) Могло ли такое быть, если первоначально в первой куче лежали только гирьки массой 10 г, 14 г и 18 г?
б) Могла ли средняя масса гирек в первой куче первоначально равняться 11,5 г?
в) Какое наибольшее число гирек могло быть первоначально в первой куче?
Показать ответ
а) нет: если в первой куче k гирек со средней массой A, то из (S + x)/(k + 1) = A + 1 следует x = A + (k + 1). Здесь k = 3, A = 14 и x = 18 — но гирька такой массы уже лежит в первой куче, а перекладывают из второй
б) нет: x = A + (k + 1), и при A = 11,5 масса переложенной гирьки равна 11,5 + (k + 1) — число нецелое, а массы всех гирек целые
в) 39; например первая куча 1, 2, 3, …, 38, 39 (средняя масса 20 г), перекладывают гирьку массой 60 г
Решение
Пусть в первой куче было k гирек с суммой S и средней массой A = S/k, а переложили гирьку массой x. Тогда (S + x)/(k + 1) = A + 1, откуда
x = A + (k + 1).
а) Для гирек 10, 14, 18 имеем k = 3 и A = 14, поэтому x = 18 — гирька такой массы уже в первой куче, а перекладывают гирьку из второй.
б) При A = 11,5 величина x = 11,5 + (k + 1) не целая, а массы гирек — целые числа.
в) Гирьки различны, поэтому A ≥ (k + 1)/2, а значит x ≥ (k + 1)(1 + 0,5). Из x ≤ 60 получаем k + 1 ≤ 40, то есть k ≤ 39. Значение достигается: первая куча — гирьки 1, 2, 3, …, 38, 39, средняя масса 20 г, перекладывают гирьку массой 60 г.
Ответ: 39.
x = A + (k + 1).
а) Для гирек 10, 14, 18 имеем k = 3 и A = 14, поэтому x = 18 — гирька такой массы уже в первой куче, а перекладывают гирьку из второй.
б) При A = 11,5 величина x = 11,5 + (k + 1) не целая, а массы гирек — целые числа.
в) Гирьки различны, поэтому A ≥ (k + 1)/2, а значит x ≥ (k + 1)(1 + 0,5). Из x ≤ 60 получаем k + 1 ≤ 40, то есть k ≤ 39. Значение достигается: первая куча — гирьки 1, 2, 3, …, 38, 39, средняя масса 20 г, перекладывают гирьку массой 60 г.
Ответ: 39.
Пример 3
Шестьдесят гирек массой 1 г, 2 г, …, 60 г разложили по двум кучам, в каждой куче хотя бы одна гирька. Масса каждой гирьки выражается целым числом граммов. Затем из второй кучи переложили в первую одну гирьку. После этого средняя масса гирек в первой куче увеличилась на 1 г.
а) Могло ли такое быть, если первоначально в первой куче лежали только гирьки массой 40 г, 44 г и 48 г?
б) Могла ли средняя масса гирек в первой куче первоначально равняться 11,5 г?
в) Какое наибольшее число гирек могло быть первоначально в первой куче?
а) Могло ли такое быть, если первоначально в первой куче лежали только гирьки массой 40 г, 44 г и 48 г?
б) Могла ли средняя масса гирек в первой куче первоначально равняться 11,5 г?
в) Какое наибольшее число гирек могло быть первоначально в первой куче?
Показать ответ
а) нет: если в первой куче k гирек со средней массой A, то из (S + x)/(k + 1) = A + 1 следует x = A + (k + 1). Здесь k = 3, A = 44 и x = 48 — но гирька такой массы уже лежит в первой куче, а перекладывают из второй
б) нет: x = A + (k + 1), и при A = 11,5 масса переложенной гирьки равна 11,5 + (k + 1) — число нецелое, а массы всех гирек целые
в) 39; например первая куча 1, 2, 3, …, 38, 39 (средняя масса 20 г), перекладывают гирьку массой 60 г
Решение
Пусть в первой куче было k гирек с суммой S и средней массой A = S/k, а переложили гирьку массой x. Тогда (S + x)/(k + 1) = A + 1, откуда
x = A + (k + 1).
а) Для гирек 40, 44, 48 имеем k = 3 и A = 44, поэтому x = 48 — гирька такой массы уже в первой куче, а перекладывают гирьку из второй.
б) При A = 11,5 величина x = 11,5 + (k + 1) не целая, а массы гирек — целые числа.
в) Гирьки различны, поэтому A ≥ (k + 1)/2, а значит x ≥ (k + 1)(1 + 0,5). Из x ≤ 60 получаем k + 1 ≤ 40, то есть k ≤ 39. Значение достигается: первая куча — гирьки 1, 2, 3, …, 38, 39, средняя масса 20 г, перекладывают гирьку массой 60 г.
Ответ: 39.
x = A + (k + 1).
а) Для гирек 40, 44, 48 имеем k = 3 и A = 44, поэтому x = 48 — гирька такой массы уже в первой куче, а перекладывают гирьку из второй.
б) При A = 11,5 величина x = 11,5 + (k + 1) не целая, а массы гирек — целые числа.
в) Гирьки различны, поэтому A ≥ (k + 1)/2, а значит x ≥ (k + 1)(1 + 0,5). Из x ≤ 60 получаем k + 1 ≤ 40, то есть k ≤ 39. Значение достигается: первая куча — гирьки 1, 2, 3, …, 38, 39, средняя масса 20 г, перекладывают гирьку массой 60 г.
Ответ: 39.
Пример 4
Шестьдесят гирек массой 1 г, 2 г, …, 60 г разложили по двум кучам, в каждой куче хотя бы одна гирька. Масса каждой гирьки выражается целым числом граммов. Затем из второй кучи переложили в первую одну гирьку. После этого средняя масса гирек в первой куче увеличилась на 1 г.
а) Могло ли такое быть, если первоначально в первой куче лежали только гирьки массой 8 г, 12 г и 16 г?
б) Могла ли средняя масса гирек в первой куче первоначально равняться 5,5 г?
в) Какое наибольшее число гирек могло быть первоначально в первой куче?
а) Могло ли такое быть, если первоначально в первой куче лежали только гирьки массой 8 г, 12 г и 16 г?
б) Могла ли средняя масса гирек в первой куче первоначально равняться 5,5 г?
в) Какое наибольшее число гирек могло быть первоначально в первой куче?
Показать ответ
а) нет: если в первой куче k гирек со средней массой A, то из (S + x)/(k + 1) = A + 1 следует x = A + (k + 1). Здесь k = 3, A = 12 и x = 16 — но гирька такой массы уже лежит в первой куче, а перекладывают из второй
б) нет: x = A + (k + 1), и при A = 5,5 масса переложенной гирьки равна 5,5 + (k + 1) — число нецелое, а массы всех гирек целые
в) 39; например первая куча 1, 2, 3, …, 38, 39 (средняя масса 20 г), перекладывают гирьку массой 60 г
Решение
Пусть в первой куче было k гирек с суммой S и средней массой A = S/k, а переложили гирьку массой x. Тогда (S + x)/(k + 1) = A + 1, откуда
x = A + (k + 1).
а) Для гирек 8, 12, 16 имеем k = 3 и A = 12, поэтому x = 16 — гирька такой массы уже в первой куче, а перекладывают гирьку из второй.
б) При A = 5,5 величина x = 5,5 + (k + 1) не целая, а массы гирек — целые числа.
в) Гирьки различны, поэтому A ≥ (k + 1)/2, а значит x ≥ (k + 1)(1 + 0,5). Из x ≤ 60 получаем k + 1 ≤ 40, то есть k ≤ 39. Значение достигается: первая куча — гирьки 1, 2, 3, …, 38, 39, средняя масса 20 г, перекладывают гирьку массой 60 г.
Ответ: 39.
x = A + (k + 1).
а) Для гирек 8, 12, 16 имеем k = 3 и A = 12, поэтому x = 16 — гирька такой массы уже в первой куче, а перекладывают гирьку из второй.
б) При A = 5,5 величина x = 5,5 + (k + 1) не целая, а массы гирек — целые числа.
в) Гирьки различны, поэтому A ≥ (k + 1)/2, а значит x ≥ (k + 1)(1 + 0,5). Из x ≤ 60 получаем k + 1 ≤ 40, то есть k ≤ 39. Значение достигается: первая куча — гирьки 1, 2, 3, …, 38, 39, средняя масса 20 г, перекладывают гирьку массой 60 г.
Ответ: 39.
Пример 5
Шестьдесят гирек массой 1 г, 2 г, …, 60 г разложили по двум кучам, в каждой куче хотя бы одна гирька. Масса каждой гирьки выражается целым числом граммов. Затем из второй кучи переложили в первую одну гирьку. После этого средняя масса гирек в первой куче увеличилась на 1 г.
а) Могло ли такое быть, если первоначально в первой куче лежали только гирьки массой 2 г, 6 г и 10 г?
б) Могла ли средняя масса гирек в первой куче первоначально равняться 12,5 г?
в) Какое наибольшее число гирек могло быть первоначально в первой куче?
а) Могло ли такое быть, если первоначально в первой куче лежали только гирьки массой 2 г, 6 г и 10 г?
б) Могла ли средняя масса гирек в первой куче первоначально равняться 12,5 г?
в) Какое наибольшее число гирек могло быть первоначально в первой куче?
Показать ответ
а) нет: если в первой куче k гирек со средней массой A, то из (S + x)/(k + 1) = A + 1 следует x = A + (k + 1). Здесь k = 3, A = 6 и x = 10 — но гирька такой массы уже лежит в первой куче, а перекладывают из второй
б) нет: x = A + (k + 1), и при A = 12,5 масса переложенной гирьки равна 12,5 + (k + 1) — число нецелое, а массы всех гирек целые
в) 39; например первая куча 1, 2, 3, …, 38, 39 (средняя масса 20 г), перекладывают гирьку массой 60 г
Решение
Пусть в первой куче было k гирек с суммой S и средней массой A = S/k, а переложили гирьку массой x. Тогда (S + x)/(k + 1) = A + 1, откуда
x = A + (k + 1).
а) Для гирек 2, 6, 10 имеем k = 3 и A = 6, поэтому x = 10 — гирька такой массы уже в первой куче, а перекладывают гирьку из второй.
б) При A = 12,5 величина x = 12,5 + (k + 1) не целая, а массы гирек — целые числа.
в) Гирьки различны, поэтому A ≥ (k + 1)/2, а значит x ≥ (k + 1)(1 + 0,5). Из x ≤ 60 получаем k + 1 ≤ 40, то есть k ≤ 39. Значение достигается: первая куча — гирьки 1, 2, 3, …, 38, 39, средняя масса 20 г, перекладывают гирьку массой 60 г.
Ответ: 39.
x = A + (k + 1).
а) Для гирек 2, 6, 10 имеем k = 3 и A = 6, поэтому x = 10 — гирька такой массы уже в первой куче, а перекладывают гирьку из второй.
б) При A = 12,5 величина x = 12,5 + (k + 1) не целая, а массы гирек — целые числа.
в) Гирьки различны, поэтому A ≥ (k + 1)/2, а значит x ≥ (k + 1)(1 + 0,5). Из x ≤ 60 получаем k + 1 ≤ 40, то есть k ≤ 39. Значение достигается: первая куча — гирьки 1, 2, 3, …, 38, 39, средняя масса 20 г, перекладывают гирьку массой 60 г.
Ответ: 39.
Другие темы задания №20
1Каждый следующий в 10 раз больше или меньше: наибольшее число членов2Сумма соседей — одна из трёх: наименьшее число членов3Вдвое меньше либо больше на D: наименьший максимум4Средние без k-го члена: наибольшее M₃5Возрастающая с шагом ≤ 10: наибольшее среднее всех членов6Член больше среднего соседей: наименьшая сумма при n членах7Концы нулевые: наименьший второй член8Числа 1–4 и степенные суммы S₁…S₄9Целые числа: средние всех / положительных / отрицательных10Средние арифметические набора11Средние арифметические набора12Деление на три группы: наименьшее из наибольших средних
Нужен репетитор по математике?
Посмотрите репетиторов, которые ведут занятия в Precettore, или оставьте заявку — подберём сами.
Готовьтесь к ЕГЭ по профильной математике в Precettore
Варианты с автопроверкой, домашние задания от репетитора, онлайн-доска и разбор ошибок — в одном кабинете. Регистрация бесплатная.