Хорошее множество (равные произведения): сколько подмножеств — задание 20 ЕГЭ по профильной математике
Наборы: суммы и произведения. 5 примера с ответом и проверкой.
Пример 1
Множество чисел назовём хорошим, если его можно разбить на два подмножества с одинаковым произведением чисел.
а) Является ли множество {250; 251; 252; …; 327} хорошим?
б) Является ли множество {3; 9; 27; …; 3200} хорошим?
в) Сколько хороших четырёхэлементных подмножеств у множества {1; 2; 4; 5; 6; 7; 8; 11; 12}?
а) Является ли множество {250; 251; 252; …; 327} хорошим?
б) Является ли множество {3; 9; 27; …; 3200} хорошим?
в) Сколько хороших четырёхэлементных подмножеств у множества {1; 2; 4; 5; 6; 7; 8; 11; 12}?
Показать ответ
а) нет: равные произведения означают, что произведение всех чисел — точный квадрат, а простое число 317 входит в это произведение ровно один раз (следующее кратное ему, 634, уже больше 327)
б) да: произведение всех чисел равно 3 в степени 1 + 2 + … + 200 = 20100, а показатели 1, 2, …, 200 можно разбить на две группы с равными суммами по 10050 — например, в одну группу взять 103 и все числа от 143 до 200
в) 4
Решение
Равные произведения частей означают, что произведение всех чисел множества — точный квадрат.
а) В отрезке от 250 до 327 есть простое число 317, причём 634 > 327, поэтому кратных 317 в отрезке ровно одно. Значит 317 входит в произведение в первой степени, и квадрата не получается. Ответ: нет.
б) Произведение равно 3 в степени 1 + 2 + … + 200 = 20100. Части имеют равные произведения ⟺ показатели 1, 2, …, 200 делятся на две группы с суммой 10050 каждая. Такое разбиение есть: 103 и все числа от 143 до 200 дают ровно 10050. Ответ: да.
в) Перебор всех четырёхэлементных подмножеств множества {1; 2; 4; 5; 6; 7; 8; 11; 12} и всех их разбиений даёт 4 хороших. Ответ: 4.
а) В отрезке от 250 до 327 есть простое число 317, причём 634 > 327, поэтому кратных 317 в отрезке ровно одно. Значит 317 входит в произведение в первой степени, и квадрата не получается. Ответ: нет.
б) Произведение равно 3 в степени 1 + 2 + … + 200 = 20100. Части имеют равные произведения ⟺ показатели 1, 2, …, 200 делятся на две группы с суммой 10050 каждая. Такое разбиение есть: 103 и все числа от 143 до 200 дают ровно 10050. Ответ: да.
в) Перебор всех четырёхэлементных подмножеств множества {1; 2; 4; 5; 6; 7; 8; 11; 12} и всех их разбиений даёт 4 хороших. Ответ: 4.
Пример 2
Множество чисел назовём хорошим, если его можно разбить на два подмножества с одинаковым произведением чисел.
а) Является ли множество {200; 201; 202; …; 280} хорошим?
б) Является ли множество {3; 9; 27; …; 3200} хорошим?
в) Сколько хороших четырёхэлементных подмножеств у множества {1; 3; 4; 5; 8; 9; 10; 11; 12}?
а) Является ли множество {200; 201; 202; …; 280} хорошим?
б) Является ли множество {3; 9; 27; …; 3200} хорошим?
в) Сколько хороших четырёхэлементных подмножеств у множества {1; 3; 4; 5; 8; 9; 10; 11; 12}?
Показать ответ
а) нет: равные произведения означают, что произведение всех чисел — точный квадрат, а простое число 277 входит в это произведение ровно один раз (следующее кратное ему, 554, уже больше 280)
б) да: произведение всех чисел равно 3 в степени 1 + 2 + … + 200 = 20100, а показатели 1, 2, …, 200 можно разбить на две группы с равными суммами по 10050 — например, в одну группу взять 103 и все числа от 143 до 200
в) 3
Решение
Равные произведения частей означают, что произведение всех чисел множества — точный квадрат.
а) В отрезке от 200 до 280 есть простое число 277, причём 554 > 280, поэтому кратных 277 в отрезке ровно одно. Значит 277 входит в произведение в первой степени, и квадрата не получается. Ответ: нет.
б) Произведение равно 3 в степени 1 + 2 + … + 200 = 20100. Части имеют равные произведения ⟺ показатели 1, 2, …, 200 делятся на две группы с суммой 10050 каждая. Такое разбиение есть: 103 и все числа от 143 до 200 дают ровно 10050. Ответ: да.
в) Перебор всех четырёхэлементных подмножеств множества {1; 3; 4; 5; 8; 9; 10; 11; 12} и всех их разбиений даёт 3 хороших. Ответ: 3.
а) В отрезке от 200 до 280 есть простое число 277, причём 554 > 280, поэтому кратных 277 в отрезке ровно одно. Значит 277 входит в произведение в первой степени, и квадрата не получается. Ответ: нет.
б) Произведение равно 3 в степени 1 + 2 + … + 200 = 20100. Части имеют равные произведения ⟺ показатели 1, 2, …, 200 делятся на две группы с суммой 10050 каждая. Такое разбиение есть: 103 и все числа от 143 до 200 дают ровно 10050. Ответ: да.
в) Перебор всех четырёхэлементных подмножеств множества {1; 3; 4; 5; 8; 9; 10; 11; 12} и всех их разбиений даёт 3 хороших. Ответ: 3.
Пример 3
Множество чисел назовём хорошим, если его можно разбить на два подмножества с одинаковым произведением чисел.
а) Является ли множество {150; 151; 152; …; 226} хорошим?
б) Является ли множество {2; 4; 8; …; 2120} хорошим?
в) Сколько хороших четырёхэлементных подмножеств у множества {2; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11}?
а) Является ли множество {150; 151; 152; …; 226} хорошим?
б) Является ли множество {2; 4; 8; …; 2120} хорошим?
в) Сколько хороших четырёхэлементных подмножеств у множества {2; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11}?
Показать ответ
а) нет: равные произведения означают, что произведение всех чисел — точный квадрат, а простое число 223 входит в это произведение ровно один раз (следующее кратное ему, 446, уже больше 226)
б) да: произведение всех чисел равно 2 в степени 1 + 2 + … + 120 = 7260, а показатели 1, 2, …, 120 можно разбить на две группы с равными суммами по 3630 — например, в одну группу взять 25 и все числа от 86 до 120
в) 2
Решение
Равные произведения частей означают, что произведение всех чисел множества — точный квадрат.
а) В отрезке от 150 до 226 есть простое число 223, причём 446 > 226, поэтому кратных 223 в отрезке ровно одно. Значит 223 входит в произведение в первой степени, и квадрата не получается. Ответ: нет.
б) Произведение равно 2 в степени 1 + 2 + … + 120 = 7260. Части имеют равные произведения ⟺ показатели 1, 2, …, 120 делятся на две группы с суммой 3630 каждая. Такое разбиение есть: 25 и все числа от 86 до 120 дают ровно 3630. Ответ: да.
в) Перебор всех четырёхэлементных подмножеств множества {2; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11} и всех их разбиений даёт 2 хороших. Ответ: 2.
а) В отрезке от 150 до 226 есть простое число 223, причём 446 > 226, поэтому кратных 223 в отрезке ровно одно. Значит 223 входит в произведение в первой степени, и квадрата не получается. Ответ: нет.
б) Произведение равно 2 в степени 1 + 2 + … + 120 = 7260. Части имеют равные произведения ⟺ показатели 1, 2, …, 120 делятся на две группы с суммой 3630 каждая. Такое разбиение есть: 25 и все числа от 86 до 120 дают ровно 3630. Ответ: да.
в) Перебор всех четырёхэлементных подмножеств множества {2; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11} и всех их разбиений даёт 2 хороших. Ответ: 2.
Пример 4
Множество чисел назовём хорошим, если его можно разбить на два подмножества с одинаковым произведением чисел.
а) Является ли множество {200; 201; 202; …; 276} хорошим?
б) Является ли множество {2; 4; 8; …; 2123} хорошим?
в) Сколько хороших четырёхэлементных подмножеств у множества {1; 2; 4; 6; 7; 9; 10; 11; 12}?
а) Является ли множество {200; 201; 202; …; 276} хорошим?
б) Является ли множество {2; 4; 8; …; 2123} хорошим?
в) Сколько хороших четырёхэлементных подмножеств у множества {1; 2; 4; 6; 7; 9; 10; 11; 12}?
Показать ответ
а) нет: равные произведения означают, что произведение всех чисел — точный квадрат, а простое число 271 входит в это произведение ровно один раз (следующее кратное ему, 542, уже больше 276)
б) да: произведение всех чисел равно 2 в степени 1 + 2 + … + 123 = 7626, а показатели 1, 2, …, 123 можно разбить на две группы с равными суммами по 3813 — например, в одну группу взять 15 и все числа от 88 до 123
в) 2
Решение
Равные произведения частей означают, что произведение всех чисел множества — точный квадрат.
а) В отрезке от 200 до 276 есть простое число 271, причём 542 > 276, поэтому кратных 271 в отрезке ровно одно. Значит 271 входит в произведение в первой степени, и квадрата не получается. Ответ: нет.
б) Произведение равно 2 в степени 1 + 2 + … + 123 = 7626. Части имеют равные произведения ⟺ показатели 1, 2, …, 123 делятся на две группы с суммой 3813 каждая. Такое разбиение есть: 15 и все числа от 88 до 123 дают ровно 3813. Ответ: да.
в) Перебор всех четырёхэлементных подмножеств множества {1; 2; 4; 6; 7; 9; 10; 11; 12} и всех их разбиений даёт 2 хороших. Ответ: 2.
а) В отрезке от 200 до 276 есть простое число 271, причём 542 > 276, поэтому кратных 271 в отрезке ровно одно. Значит 271 входит в произведение в первой степени, и квадрата не получается. Ответ: нет.
б) Произведение равно 2 в степени 1 + 2 + … + 123 = 7626. Части имеют равные произведения ⟺ показатели 1, 2, …, 123 делятся на две группы с суммой 3813 каждая. Такое разбиение есть: 15 и все числа от 88 до 123 дают ровно 3813. Ответ: да.
в) Перебор всех четырёхэлементных подмножеств множества {1; 2; 4; 6; 7; 9; 10; 11; 12} и всех их разбиений даёт 2 хороших. Ответ: 2.
Пример 5
Множество чисел назовём хорошим, если его можно разбить на два подмножества с одинаковым произведением чисел.
а) Является ли множество {100; 101; 102; …; 198} хорошим?
б) Является ли множество {5; 25; 125; …; 5123} хорошим?
в) Сколько хороших четырёхэлементных подмножеств у множества {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 9; 11}?
а) Является ли множество {100; 101; 102; …; 198} хорошим?
б) Является ли множество {5; 25; 125; …; 5123} хорошим?
в) Сколько хороших четырёхэлементных подмножеств у множества {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 9; 11}?
Показать ответ
а) нет: равные произведения означают, что произведение всех чисел — точный квадрат, а простое число 197 входит в это произведение ровно один раз (следующее кратное ему, 394, уже больше 198)
б) да: произведение всех чисел равно 5 в степени 1 + 2 + … + 123 = 7626, а показатели 1, 2, …, 123 можно разбить на две группы с равными суммами по 3813 — например, в одну группу взять 15 и все числа от 88 до 123
в) 3
Решение
Равные произведения частей означают, что произведение всех чисел множества — точный квадрат.
а) В отрезке от 100 до 198 есть простое число 197, причём 394 > 198, поэтому кратных 197 в отрезке ровно одно. Значит 197 входит в произведение в первой степени, и квадрата не получается. Ответ: нет.
б) Произведение равно 5 в степени 1 + 2 + … + 123 = 7626. Части имеют равные произведения ⟺ показатели 1, 2, …, 123 делятся на две группы с суммой 3813 каждая. Такое разбиение есть: 15 и все числа от 88 до 123 дают ровно 3813. Ответ: да.
в) Перебор всех четырёхэлементных подмножеств множества {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 9; 11} и всех их разбиений даёт 3 хороших. Ответ: 3.
а) В отрезке от 100 до 198 есть простое число 197, причём 394 > 198, поэтому кратных 197 в отрезке ровно одно. Значит 197 входит в произведение в первой степени, и квадрата не получается. Ответ: нет.
б) Произведение равно 5 в степени 1 + 2 + … + 123 = 7626. Части имеют равные произведения ⟺ показатели 1, 2, …, 123 делятся на две группы с суммой 3813 каждая. Такое разбиение есть: 15 и все числа от 88 до 123 дают ровно 3813. Ответ: да.
в) Перебор всех четырёхэлементных подмножеств множества {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 9; 11} и всех их разбиений даёт 3 хороших. Ответ: 3.
Другие темы задания №20
1Каждый следующий в 10 раз больше или меньше: наибольшее число членов2Сумма соседей — одна из трёх: наименьшее число членов3Вдвое меньше либо больше на D: наименьший максимум4Средние без k-го члена: наибольшее M₃5Возрастающая с шагом ≤ 10: наибольшее среднее всех членов6Член больше среднего соседей: наименьшая сумма при n членах7Концы нулевые: наименьший второй член8Числа 1–4 и степенные суммы S₁…S₄9Целые числа: средние всех / положительных / отрицательных10Средние арифметические набора11Средние арифметические набора12Деление на три группы: наименьшее из наибольших средних
Нужен репетитор по математике?
Посмотрите репетиторов, которые ведут занятия в Precettore, или оставьте заявку — подберём сами.
Готовьтесь к ЕГЭ по профильной математике в Precettore
Варианты с автопроверкой, домашние задания от репетитора, онлайн-доска и разбор ошибок — в одном кабинете. Регистрация бесплатная.