Хорошее множество (равные суммы): сколько подмножеств — задание 20 ЕГЭ по профильной математике
Наборы: суммы и произведения. 5 примера с ответом и проверкой.
Пример 1
Множество чисел назовём хорошим, если его можно разбить на два подмножества с одинаковой суммой чисел.
а) Является ли множество {200; 201; 202; …; 279} хорошим?
б) Является ли множество {2; 4; 8; …; 2120} хорошим?
в) Сколько хороших четырёхэлементных подмножеств у множества {2; 3; 6; 10; 11; 12; 14}?
а) Является ли множество {200; 201; 202; …; 279} хорошим?
б) Является ли множество {2; 4; 8; …; 2120} хорошим?
в) Сколько хороших четырёхэлементных подмножеств у множества {2; 3; 6; 10; 11; 12; 14}?
Показать ответ
а) да: разобьём числа на 40 пар «первое с последним» — 200 и 279, 201 и 278 и так далее; сумма в каждой паре равна 479, а пар чётное число, поэтому по 20 пар в каждой части дают равные суммы по 9580
б) нет: сумма всех чисел множества, кроме наибольшего, равна (2¹²⁰ − 2)/(2 − 1), а это меньше 2¹²⁰, поэтому часть, содержащая 2¹²⁰, всегда тяжелее другой
в) 5
Решение
а) Разобьём {200; …; 279} на 40 пар: 200 и 279, 201 и 278, …; сумма каждой пары равна 479. Число пар 40 чётно, поэтому положим 20 пар в одну часть и 20 — в другую: суммы получатся равными 9580. Ответ: да.
б) Сумма всех членов, кроме наибольшего, равна 2 + 4 + … + 2119 = (2120 − 2)/(2 − 1), а это меньше 2120. Значит та часть, в которую попало 2120, тяжелее, и равных сумм не бывает. Ответ: нет.
в) Четырёхэлементное подмножество хорошее, когда его сумма чётна и какая-то его часть весит ровно половину. Перебор всех 35 четырёхэлементных подмножеств множества {2; 3; 6; 10; 11; 12; 14} даёт 5. Ответ: 5.
б) Сумма всех членов, кроме наибольшего, равна 2 + 4 + … + 2119 = (2120 − 2)/(2 − 1), а это меньше 2120. Значит та часть, в которую попало 2120, тяжелее, и равных сумм не бывает. Ответ: нет.
в) Четырёхэлементное подмножество хорошее, когда его сумма чётна и какая-то его часть весит ровно половину. Перебор всех 35 четырёхэлементных подмножеств множества {2; 3; 6; 10; 11; 12; 14} даёт 5. Ответ: 5.
Пример 2
Множество чисел назовём хорошим, если его можно разбить на два подмножества с одинаковой суммой чисел.
а) Является ли множество {125; 126; 127; …; 204} хорошим?
б) Является ли множество {3; 9; 27; …; 380} хорошим?
в) Сколько хороших четырёхэлементных подмножеств у множества {4; 5; 7; 8; 12; 13; 14}?
а) Является ли множество {125; 126; 127; …; 204} хорошим?
б) Является ли множество {3; 9; 27; …; 380} хорошим?
в) Сколько хороших четырёхэлементных подмножеств у множества {4; 5; 7; 8; 12; 13; 14}?
Показать ответ
а) да: разобьём числа на 40 пар «первое с последним» — 125 и 204, 126 и 203 и так далее; сумма в каждой паре равна 329, а пар чётное число, поэтому по 20 пар в каждой части дают равные суммы по 6580
б) нет: сумма всех чисел множества, кроме наибольшего, равна (3⁸⁰ − 3)/(3 − 1), а это меньше 3⁸⁰, поэтому часть, содержащая 3⁸⁰, всегда тяжелее другой
в) 6
Решение
а) Разобьём {125; …; 204} на 40 пар: 125 и 204, 126 и 203, …; сумма каждой пары равна 329. Число пар 40 чётно, поэтому положим 20 пар в одну часть и 20 — в другую: суммы получатся равными 6580. Ответ: да.
б) Сумма всех членов, кроме наибольшего, равна 3 + 9 + … + 379 = (380 − 3)/(3 − 1), а это меньше 380. Значит та часть, в которую попало 380, тяжелее, и равных сумм не бывает. Ответ: нет.
в) Четырёхэлементное подмножество хорошее, когда его сумма чётна и какая-то его часть весит ровно половину. Перебор всех 35 четырёхэлементных подмножеств множества {4; 5; 7; 8; 12; 13; 14} даёт 6. Ответ: 6.
б) Сумма всех членов, кроме наибольшего, равна 3 + 9 + … + 379 = (380 − 3)/(3 − 1), а это меньше 380. Значит та часть, в которую попало 380, тяжелее, и равных сумм не бывает. Ответ: нет.
в) Четырёхэлементное подмножество хорошее, когда его сумма чётна и какая-то его часть весит ровно половину. Перебор всех 35 четырёхэлементных подмножеств множества {4; 5; 7; 8; 12; 13; 14} даёт 6. Ответ: 6.
Пример 3
Множество чисел назовём хорошим, если его можно разбить на два подмножества с одинаковой суммой чисел.
а) Является ли множество {75; 76; 77; …; 130} хорошим?
б) Является ли множество {5; 25; 125; …; 5100} хорошим?
в) Сколько хороших четырёхэлементных подмножеств у множества {1; 3; 6; 8; 9; 10; 14}?
а) Является ли множество {75; 76; 77; …; 130} хорошим?
б) Является ли множество {5; 25; 125; …; 5100} хорошим?
в) Сколько хороших четырёхэлементных подмножеств у множества {1; 3; 6; 8; 9; 10; 14}?
Показать ответ
а) да: разобьём числа на 28 пар «первое с последним» — 75 и 130, 76 и 129 и так далее; сумма в каждой паре равна 205, а пар чётное число, поэтому по 14 пар в каждой части дают равные суммы по 2870
б) нет: сумма всех чисел множества, кроме наибольшего, равна (5¹⁰⁰ − 5)/(5 − 1), а это меньше 5¹⁰⁰, поэтому часть, содержащая 5¹⁰⁰, всегда тяжелее другой
в) 6
Решение
а) Разобьём {75; …; 130} на 28 пар: 75 и 130, 76 и 129, …; сумма каждой пары равна 205. Число пар 28 чётно, поэтому положим 14 пар в одну часть и 14 — в другую: суммы получатся равными 2870. Ответ: да.
б) Сумма всех членов, кроме наибольшего, равна 5 + 25 + … + 599 = (5100 − 5)/(5 − 1), а это меньше 5100. Значит та часть, в которую попало 5100, тяжелее, и равных сумм не бывает. Ответ: нет.
в) Четырёхэлементное подмножество хорошее, когда его сумма чётна и какая-то его часть весит ровно половину. Перебор всех 35 четырёхэлементных подмножеств множества {1; 3; 6; 8; 9; 10; 14} даёт 6. Ответ: 6.
б) Сумма всех членов, кроме наибольшего, равна 5 + 25 + … + 599 = (5100 − 5)/(5 − 1), а это меньше 5100. Значит та часть, в которую попало 5100, тяжелее, и равных сумм не бывает. Ответ: нет.
в) Четырёхэлементное подмножество хорошее, когда его сумма чётна и какая-то его часть весит ровно половину. Перебор всех 35 четырёхэлементных подмножеств множества {1; 3; 6; 8; 9; 10; 14} даёт 6. Ответ: 6.
Пример 4
Множество чисел назовём хорошим, если его можно разбить на два подмножества с одинаковой суммой чисел.
а) Является ли множество {150; 151; 152; …; 177} хорошим?
б) Является ли множество {2; 4; 8; …; 2120} хорошим?
в) Сколько хороших четырёхэлементных подмножеств у множества {1; 2; 4; 7; 8; 13; 14}?
а) Является ли множество {150; 151; 152; …; 177} хорошим?
б) Является ли множество {2; 4; 8; …; 2120} хорошим?
в) Сколько хороших четырёхэлементных подмножеств у множества {1; 2; 4; 7; 8; 13; 14}?
Показать ответ
а) да: разобьём числа на 14 пар «первое с последним» — 150 и 177, 151 и 176 и так далее; сумма в каждой паре равна 327, а пар чётное число, поэтому по 7 пар в каждой части дают равные суммы по 2289
б) нет: сумма всех чисел множества, кроме наибольшего, равна (2¹²⁰ − 2)/(2 − 1), а это меньше 2¹²⁰, поэтому часть, содержащая 2¹²⁰, всегда тяжелее другой
в) 9
Решение
а) Разобьём {150; …; 177} на 14 пар: 150 и 177, 151 и 176, …; сумма каждой пары равна 327. Число пар 14 чётно, поэтому положим 7 пар в одну часть и 7 — в другую: суммы получатся равными 2289. Ответ: да.
б) Сумма всех членов, кроме наибольшего, равна 2 + 4 + … + 2119 = (2120 − 2)/(2 − 1), а это меньше 2120. Значит та часть, в которую попало 2120, тяжелее, и равных сумм не бывает. Ответ: нет.
в) Четырёхэлементное подмножество хорошее, когда его сумма чётна и какая-то его часть весит ровно половину. Перебор всех 35 четырёхэлементных подмножеств множества {1; 2; 4; 7; 8; 13; 14} даёт 9. Ответ: 9.
б) Сумма всех членов, кроме наибольшего, равна 2 + 4 + … + 2119 = (2120 − 2)/(2 − 1), а это меньше 2120. Значит та часть, в которую попало 2120, тяжелее, и равных сумм не бывает. Ответ: нет.
в) Четырёхэлементное подмножество хорошее, когда его сумма чётна и какая-то его часть весит ровно половину. Перебор всех 35 четырёхэлементных подмножеств множества {1; 2; 4; 7; 8; 13; 14} даёт 9. Ответ: 9.
Пример 5
Множество чисел назовём хорошим, если его можно разбить на два подмножества с одинаковой суммой чисел.
а) Является ли множество {150; 151; 152; …; 233} хорошим?
б) Является ли множество {2; 4; 8; …; 2120} хорошим?
в) Сколько хороших четырёхэлементных подмножеств у множества {3; 5; 6; 7; 11; 12; 13}?
а) Является ли множество {150; 151; 152; …; 233} хорошим?
б) Является ли множество {2; 4; 8; …; 2120} хорошим?
в) Сколько хороших четырёхэлементных подмножеств у множества {3; 5; 6; 7; 11; 12; 13}?
Показать ответ
а) да: разобьём числа на 42 пары «первое с последним» — 150 и 233, 151 и 232 и так далее; сумма в каждой паре равна 383, а пар чётное число, поэтому по 21 пар в каждой части дают равные суммы по 8043
б) нет: сумма всех чисел множества, кроме наибольшего, равна (2¹²⁰ − 2)/(2 − 1), а это меньше 2¹²⁰, поэтому часть, содержащая 2¹²⁰, всегда тяжелее другой
в) 6
Решение
а) Разобьём {150; …; 233} на 42 пары: 150 и 233, 151 и 232, …; сумма каждой пары равна 383. Число пар 42 чётно, поэтому положим 21 пар в одну часть и 21 — в другую: суммы получатся равными 8043. Ответ: да.
б) Сумма всех членов, кроме наибольшего, равна 2 + 4 + … + 2119 = (2120 − 2)/(2 − 1), а это меньше 2120. Значит та часть, в которую попало 2120, тяжелее, и равных сумм не бывает. Ответ: нет.
в) Четырёхэлементное подмножество хорошее, когда его сумма чётна и какая-то его часть весит ровно половину. Перебор всех 35 четырёхэлементных подмножеств множества {3; 5; 6; 7; 11; 12; 13} даёт 6. Ответ: 6.
б) Сумма всех членов, кроме наибольшего, равна 2 + 4 + … + 2119 = (2120 − 2)/(2 − 1), а это меньше 2120. Значит та часть, в которую попало 2120, тяжелее, и равных сумм не бывает. Ответ: нет.
в) Четырёхэлементное подмножество хорошее, когда его сумма чётна и какая-то его часть весит ровно половину. Перебор всех 35 четырёхэлементных подмножеств множества {3; 5; 6; 7; 11; 12; 13} даёт 6. Ответ: 6.
Другие темы задания №20
1Каждый следующий в 10 раз больше или меньше: наибольшее число членов2Сумма соседей — одна из трёх: наименьшее число членов3Вдвое меньше либо больше на D: наименьший максимум4Средние без k-го члена: наибольшее M₃5Возрастающая с шагом ≤ 10: наибольшее среднее всех членов6Член больше среднего соседей: наименьшая сумма при n членах7Концы нулевые: наименьший второй член8Числа 1–4 и степенные суммы S₁…S₄9Целые числа: средние всех / положительных / отрицательных10Средние арифметические набора11Средние арифметические набора12Деление на три группы: наименьшее из наибольших средних
Нужен репетитор по математике?
Посмотрите репетиторов, которые ведут занятия в Precettore, или оставьте заявку — подберём сами.
Готовьтесь к ЕГЭ по профильной математике в Precettore
Варианты с автопроверкой, домашние задания от репетитора, онлайн-доска и разбор ошибок — в одном кабинете. Регистрация бесплатная.