Хорошие и отличные тройки: наибольшее число отличных — задание 20 ЕГЭ по профильной математике
Сравнение групп. 5 примера с ответом и проверкой.
Пример 1
Три числа назовём хорошей тройкой, если они могут быть длинами сторон треугольника. Три числа назовём отличной тройкой, если они могут быть длинами сторон прямоугольного треугольника.
а) Даны 8 различных натуральных чисел. Может ли оказаться, что среди них не найдётся ни одной хорошей тройки?
б) Даны 5 различных натуральных чисел. Может ли оказаться, что среди них можно найти пять отличных троек?
в) Даны 11 различных чисел (необязательно натуральных). Какое наибольшее количество отличных троек могло оказаться среди них?
а) Даны 8 различных натуральных чисел. Может ли оказаться, что среди них не найдётся ни одной хорошей тройки?
б) Даны 5 различных натуральных чисел. Может ли оказаться, что среди них можно найти пять отличных троек?
в) Даны 11 различных чисел (необязательно натуральных). Какое наибольшее количество отличных троек могло оказаться среди них?
Показать ответ
а) да, например 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47: каждое число не меньше суммы двух предыдущих, поэтому в любой тройке a < b < c выполнено a + b ≤ c и треугольник не получается
б) нет: возведём числа в квадрат и упорядочим. Отличная тройка — это равенство «сумма двух меньших квадратов равна большему»; при фиксированном большем квадрате такие пары слагаемых не пересекаются, поэтому у k-го по величине числа их не больше ⌊(k − 1)/2⌋, а всего отличных троек не больше 4 < 5
в) 25; например, числа √1, √2, √3, …, √11: тройка (√i; √j; √k) отличная ровно тогда, когда i + j = k, и таких троек ровно 25
Решение
Расставим числа по возрастанию и заменим каждое его квадратом: тройка отличная ⟺ сумма двух меньших квадратов равна большему.
а) Возьмём набор 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, в котором каждое следующее число равно сумме двух предыдущих. Если a < b < c — любые три числа набора, то a и b не превосходят двух чисел, стоящих непосредственно перед c, поэтому a + b ≤ c и треугольник не собирается. Ответ: да.
б) Зафиксируем больший квадрат тройки. Разные представления его в виде суммы двух меньших квадратов набора не имеют общих слагаемых: по одному слагаемому второе восстанавливается однозначно. Значит у k-го по величине числа таких представлений не больше ⌊(k − 1)/2⌋, а всего отличных троек не больше суммы ⌊(k − 1)/2⌋ по k от 1 до 5, то есть не больше 4. Так как 4 < 5, ответ: нет.
в) Та же оценка для 11 чисел даёт не больше 25 отличных троек. Она достигается на наборе √1, √2, …, √11: квадраты равны 1, 2, …, 11, тройка отличная ровно при i + j = k, а число пар i < j с суммой k равно ⌊(k − 1)/2⌋. Ответ: 25.
а) Возьмём набор 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, в котором каждое следующее число равно сумме двух предыдущих. Если a < b < c — любые три числа набора, то a и b не превосходят двух чисел, стоящих непосредственно перед c, поэтому a + b ≤ c и треугольник не собирается. Ответ: да.
б) Зафиксируем больший квадрат тройки. Разные представления его в виде суммы двух меньших квадратов набора не имеют общих слагаемых: по одному слагаемому второе восстанавливается однозначно. Значит у k-го по величине числа таких представлений не больше ⌊(k − 1)/2⌋, а всего отличных троек не больше суммы ⌊(k − 1)/2⌋ по k от 1 до 5, то есть не больше 4. Так как 4 < 5, ответ: нет.
в) Та же оценка для 11 чисел даёт не больше 25 отличных троек. Она достигается на наборе √1, √2, …, √11: квадраты равны 1, 2, …, 11, тройка отличная ровно при i + j = k, а число пар i < j с суммой k равно ⌊(k − 1)/2⌋. Ответ: 25.
Пример 2
Три числа назовём хорошей тройкой, если они могут быть длинами сторон треугольника. Три числа назовём отличной тройкой, если они могут быть длинами сторон прямоугольного треугольника.
а) Даны 9 различных натуральных чисел. Может ли оказаться, что среди них не найдётся ни одной хорошей тройки?
б) Даны 6 различных натуральных чисел. Может ли оказаться, что среди них можно найти семь отличных троек?
в) Даны 14 различных чисел (необязательно натуральных). Какое наибольшее количество отличных троек могло оказаться среди них?
а) Даны 9 различных натуральных чисел. Может ли оказаться, что среди них не найдётся ни одной хорошей тройки?
б) Даны 6 различных натуральных чисел. Может ли оказаться, что среди них можно найти семь отличных троек?
в) Даны 14 различных чисел (необязательно натуральных). Какое наибольшее количество отличных троек могло оказаться среди них?
Показать ответ
а) да, например 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 76, 123: каждое число не меньше суммы двух предыдущих, поэтому в любой тройке a < b < c выполнено a + b ≤ c и треугольник не получается
б) нет: возведём числа в квадрат и упорядочим. Отличная тройка — это равенство «сумма двух меньших квадратов равна большему»; при фиксированном большем квадрате такие пары слагаемых не пересекаются, поэтому у k-го по величине числа их не больше ⌊(k − 1)/2⌋, а всего отличных троек не больше 6 < 7
в) 42; например, числа √1, √2, √3, …, √14: тройка (√i; √j; √k) отличная ровно тогда, когда i + j = k, и таких троек ровно 42
Решение
Расставим числа по возрастанию и заменим каждое его квадратом: тройка отличная ⟺ сумма двух меньших квадратов равна большему.
а) Возьмём набор 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 76, 123, в котором каждое следующее число равно сумме двух предыдущих. Если a < b < c — любые три числа набора, то a и b не превосходят двух чисел, стоящих непосредственно перед c, поэтому a + b ≤ c и треугольник не собирается. Ответ: да.
б) Зафиксируем больший квадрат тройки. Разные представления его в виде суммы двух меньших квадратов набора не имеют общих слагаемых: по одному слагаемому второе восстанавливается однозначно. Значит у k-го по величине числа таких представлений не больше ⌊(k − 1)/2⌋, а всего отличных троек не больше суммы ⌊(k − 1)/2⌋ по k от 1 до 6, то есть не больше 6. Так как 6 < 7, ответ: нет.
в) Та же оценка для 14 чисел даёт не больше 42 отличных троек. Она достигается на наборе √1, √2, …, √14: квадраты равны 1, 2, …, 14, тройка отличная ровно при i + j = k, а число пар i < j с суммой k равно ⌊(k − 1)/2⌋. Ответ: 42.
а) Возьмём набор 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 76, 123, в котором каждое следующее число равно сумме двух предыдущих. Если a < b < c — любые три числа набора, то a и b не превосходят двух чисел, стоящих непосредственно перед c, поэтому a + b ≤ c и треугольник не собирается. Ответ: да.
б) Зафиксируем больший квадрат тройки. Разные представления его в виде суммы двух меньших квадратов набора не имеют общих слагаемых: по одному слагаемому второе восстанавливается однозначно. Значит у k-го по величине числа таких представлений не больше ⌊(k − 1)/2⌋, а всего отличных троек не больше суммы ⌊(k − 1)/2⌋ по k от 1 до 6, то есть не больше 6. Так как 6 < 7, ответ: нет.
в) Та же оценка для 14 чисел даёт не больше 42 отличных троек. Она достигается на наборе √1, √2, …, √14: квадраты равны 1, 2, …, 14, тройка отличная ровно при i + j = k, а число пар i < j с суммой k равно ⌊(k − 1)/2⌋. Ответ: 42.
Пример 3
Три числа назовём хорошей тройкой, если они могут быть длинами сторон треугольника. Три числа назовём отличной тройкой, если они могут быть длинами сторон прямоугольного треугольника.
а) Даны 9 различных натуральных чисел. Может ли оказаться, что среди них не найдётся ни одной хорошей тройки?
б) Даны 4 различных натуральных числа. Может ли оказаться, что среди них можно найти три отличные тройки?
в) Даны 14 различных чисел (необязательно натуральных). Какое наибольшее количество отличных троек могло оказаться среди них?
а) Даны 9 различных натуральных чисел. Может ли оказаться, что среди них не найдётся ни одной хорошей тройки?
б) Даны 4 различных натуральных числа. Может ли оказаться, что среди них можно найти три отличные тройки?
в) Даны 14 различных чисел (необязательно натуральных). Какое наибольшее количество отличных троек могло оказаться среди них?
Показать ответ
а) да, например 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144: каждое число не меньше суммы двух предыдущих, поэтому в любой тройке a < b < c выполнено a + b ≤ c и треугольник не получается
б) нет: возведём числа в квадрат и упорядочим. Отличная тройка — это равенство «сумма двух меньших квадратов равна большему»; при фиксированном большем квадрате такие пары слагаемых не пересекаются, поэтому у k-го по величине числа их не больше ⌊(k − 1)/2⌋, а всего отличных троек не больше 2 < 3
в) 42; например, числа √1, √2, √3, …, √14: тройка (√i; √j; √k) отличная ровно тогда, когда i + j = k, и таких троек ровно 42
Решение
Расставим числа по возрастанию и заменим каждое его квадратом: тройка отличная ⟺ сумма двух меньших квадратов равна большему.
а) Возьмём набор 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, в котором каждое следующее число равно сумме двух предыдущих. Если a < b < c — любые три числа набора, то a и b не превосходят двух чисел, стоящих непосредственно перед c, поэтому a + b ≤ c и треугольник не собирается. Ответ: да.
б) Зафиксируем больший квадрат тройки. Разные представления его в виде суммы двух меньших квадратов набора не имеют общих слагаемых: по одному слагаемому второе восстанавливается однозначно. Значит у k-го по величине числа таких представлений не больше ⌊(k − 1)/2⌋, а всего отличных троек не больше суммы ⌊(k − 1)/2⌋ по k от 1 до 4, то есть не больше 2. Так как 2 < 3, ответ: нет.
в) Та же оценка для 14 чисел даёт не больше 42 отличных троек. Она достигается на наборе √1, √2, …, √14: квадраты равны 1, 2, …, 14, тройка отличная ровно при i + j = k, а число пар i < j с суммой k равно ⌊(k − 1)/2⌋. Ответ: 42.
а) Возьмём набор 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, в котором каждое следующее число равно сумме двух предыдущих. Если a < b < c — любые три числа набора, то a и b не превосходят двух чисел, стоящих непосредственно перед c, поэтому a + b ≤ c и треугольник не собирается. Ответ: да.
б) Зафиксируем больший квадрат тройки. Разные представления его в виде суммы двух меньших квадратов набора не имеют общих слагаемых: по одному слагаемому второе восстанавливается однозначно. Значит у k-го по величине числа таких представлений не больше ⌊(k − 1)/2⌋, а всего отличных троек не больше суммы ⌊(k − 1)/2⌋ по k от 1 до 4, то есть не больше 2. Так как 2 < 3, ответ: нет.
в) Та же оценка для 14 чисел даёт не больше 42 отличных троек. Она достигается на наборе √1, √2, …, √14: квадраты равны 1, 2, …, 14, тройка отличная ровно при i + j = k, а число пар i < j с суммой k равно ⌊(k − 1)/2⌋. Ответ: 42.
Пример 4
Три числа назовём хорошей тройкой, если они могут быть длинами сторон треугольника. Три числа назовём отличной тройкой, если они могут быть длинами сторон прямоугольного треугольника.
а) Даны 10 различных натуральных чисел. Может ли оказаться, что среди них не найдётся ни одной хорошей тройки?
б) Даны 4 различных натуральных числа. Может ли оказаться, что среди них можно найти три отличные тройки?
в) Даны 10 различных чисел (необязательно натуральных). Какое наибольшее количество отличных троек могло оказаться среди них?
а) Даны 10 различных натуральных чисел. Может ли оказаться, что среди них не найдётся ни одной хорошей тройки?
б) Даны 4 различных натуральных числа. Может ли оказаться, что среди них можно найти три отличные тройки?
в) Даны 10 различных чисел (необязательно натуральных). Какое наибольшее количество отличных троек могло оказаться среди них?
Показать ответ
а) да, например 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144: каждое число не меньше суммы двух предыдущих, поэтому в любой тройке a < b < c выполнено a + b ≤ c и треугольник не получается
б) нет: возведём числа в квадрат и упорядочим. Отличная тройка — это равенство «сумма двух меньших квадратов равна большему»; при фиксированном большем квадрате такие пары слагаемых не пересекаются, поэтому у k-го по величине числа их не больше ⌊(k − 1)/2⌋, а всего отличных троек не больше 2 < 3
в) 20; например, числа √1, √2, √3, …, √10: тройка (√i; √j; √k) отличная ровно тогда, когда i + j = k, и таких троек ровно 20
Решение
Расставим числа по возрастанию и заменим каждое его квадратом: тройка отличная ⟺ сумма двух меньших квадратов равна большему.
а) Возьмём набор 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, в котором каждое следующее число равно сумме двух предыдущих. Если a < b < c — любые три числа набора, то a и b не превосходят двух чисел, стоящих непосредственно перед c, поэтому a + b ≤ c и треугольник не собирается. Ответ: да.
б) Зафиксируем больший квадрат тройки. Разные представления его в виде суммы двух меньших квадратов набора не имеют общих слагаемых: по одному слагаемому второе восстанавливается однозначно. Значит у k-го по величине числа таких представлений не больше ⌊(k − 1)/2⌋, а всего отличных троек не больше суммы ⌊(k − 1)/2⌋ по k от 1 до 4, то есть не больше 2. Так как 2 < 3, ответ: нет.
в) Та же оценка для 10 чисел даёт не больше 20 отличных троек. Она достигается на наборе √1, √2, …, √10: квадраты равны 1, 2, …, 10, тройка отличная ровно при i + j = k, а число пар i < j с суммой k равно ⌊(k − 1)/2⌋. Ответ: 20.
а) Возьмём набор 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, в котором каждое следующее число равно сумме двух предыдущих. Если a < b < c — любые три числа набора, то a и b не превосходят двух чисел, стоящих непосредственно перед c, поэтому a + b ≤ c и треугольник не собирается. Ответ: да.
б) Зафиксируем больший квадрат тройки. Разные представления его в виде суммы двух меньших квадратов набора не имеют общих слагаемых: по одному слагаемому второе восстанавливается однозначно. Значит у k-го по величине числа таких представлений не больше ⌊(k − 1)/2⌋, а всего отличных троек не больше суммы ⌊(k − 1)/2⌋ по k от 1 до 4, то есть не больше 2. Так как 2 < 3, ответ: нет.
в) Та же оценка для 10 чисел даёт не больше 20 отличных троек. Она достигается на наборе √1, √2, …, √10: квадраты равны 1, 2, …, 10, тройка отличная ровно при i + j = k, а число пар i < j с суммой k равно ⌊(k − 1)/2⌋. Ответ: 20.
Пример 5
Три числа назовём хорошей тройкой, если они могут быть длинами сторон треугольника. Три числа назовём отличной тройкой, если они могут быть длинами сторон прямоугольного треугольника.
а) Даны 10 различных натуральных чисел. Может ли оказаться, что среди них не найдётся ни одной хорошей тройки?
б) Даны 5 различных натуральных чисел. Может ли оказаться, что среди них можно найти пять отличных троек?
в) Даны 11 различных чисел (необязательно натуральных). Какое наибольшее количество отличных троек могло оказаться среди них?
а) Даны 10 различных натуральных чисел. Может ли оказаться, что среди них не найдётся ни одной хорошей тройки?
б) Даны 5 различных натуральных чисел. Может ли оказаться, что среди них можно найти пять отличных троек?
в) Даны 11 различных чисел (необязательно натуральных). Какое наибольшее количество отличных троек могло оказаться среди них?
Показать ответ
а) да, например 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 76, 123, 199: каждое число не меньше суммы двух предыдущих, поэтому в любой тройке a < b < c выполнено a + b ≤ c и треугольник не получается
б) нет: возведём числа в квадрат и упорядочим. Отличная тройка — это равенство «сумма двух меньших квадратов равна большему»; при фиксированном большем квадрате такие пары слагаемых не пересекаются, поэтому у k-го по величине числа их не больше ⌊(k − 1)/2⌋, а всего отличных троек не больше 4 < 5
в) 25; например, числа √1, √2, √3, …, √11: тройка (√i; √j; √k) отличная ровно тогда, когда i + j = k, и таких троек ровно 25
Решение
Расставим числа по возрастанию и заменим каждое его квадратом: тройка отличная ⟺ сумма двух меньших квадратов равна большему.
а) Возьмём набор 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 76, 123, 199, в котором каждое следующее число равно сумме двух предыдущих. Если a < b < c — любые три числа набора, то a и b не превосходят двух чисел, стоящих непосредственно перед c, поэтому a + b ≤ c и треугольник не собирается. Ответ: да.
б) Зафиксируем больший квадрат тройки. Разные представления его в виде суммы двух меньших квадратов набора не имеют общих слагаемых: по одному слагаемому второе восстанавливается однозначно. Значит у k-го по величине числа таких представлений не больше ⌊(k − 1)/2⌋, а всего отличных троек не больше суммы ⌊(k − 1)/2⌋ по k от 1 до 5, то есть не больше 4. Так как 4 < 5, ответ: нет.
в) Та же оценка для 11 чисел даёт не больше 25 отличных троек. Она достигается на наборе √1, √2, …, √11: квадраты равны 1, 2, …, 11, тройка отличная ровно при i + j = k, а число пар i < j с суммой k равно ⌊(k − 1)/2⌋. Ответ: 25.
а) Возьмём набор 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 76, 123, 199, в котором каждое следующее число равно сумме двух предыдущих. Если a < b < c — любые три числа набора, то a и b не превосходят двух чисел, стоящих непосредственно перед c, поэтому a + b ≤ c и треугольник не собирается. Ответ: да.
б) Зафиксируем больший квадрат тройки. Разные представления его в виде суммы двух меньших квадратов набора не имеют общих слагаемых: по одному слагаемому второе восстанавливается однозначно. Значит у k-го по величине числа таких представлений не больше ⌊(k − 1)/2⌋, а всего отличных троек не больше суммы ⌊(k − 1)/2⌋ по k от 1 до 5, то есть не больше 4. Так как 4 < 5, ответ: нет.
в) Та же оценка для 11 чисел даёт не больше 25 отличных троек. Она достигается на наборе √1, √2, …, √11: квадраты равны 1, 2, …, 11, тройка отличная ровно при i + j = k, а число пар i < j с суммой k равно ⌊(k − 1)/2⌋. Ответ: 25.
Другие темы задания №20
1Каждый следующий в 10 раз больше или меньше: наибольшее число членов2Сумма соседей — одна из трёх: наименьшее число членов3Вдвое меньше либо больше на D: наименьший максимум4Средние без k-го члена: наибольшее M₃5Возрастающая с шагом ≤ 10: наибольшее среднее всех членов6Член больше среднего соседей: наименьшая сумма при n членах7Концы нулевые: наименьший второй член8Числа 1–4 и степенные суммы S₁…S₄9Целые числа: средние всех / положительных / отрицательных10Средние арифметические набора11Средние арифметические набора12Деление на три группы: наименьшее из наибольших средних
Нужен репетитор по математике?
Посмотрите репетиторов, которые ведут занятия в Precettore, или оставьте заявку — подберём сами.
Готовьтесь к ЕГЭ по профильной математике в Precettore
Варианты с автопроверкой, домашние задания от репетитора, онлайн-доска и разбор ошибок — в одном кабинете. Регистрация бесплатная.