Каменные глыбы: наименьшее число грузовиков — задание 20 ЕГЭ по профильной математике
Сюжетные задачи с перебором. 5 примера с ответом и проверкой.
Пример 1
Имеются каменные глыбы: 55 штук по 800 кг, 66 штук по 1000 кг и 66 штук по 1500 кг (раскалывать глыбы нельзя).
а) Можно ли увезти все эти глыбы одновременно на 66 грузовиках грузоподъёмностью 5 тонн каждый, предполагая, что в грузовик выбранные глыбы поместятся?
б) Можно ли увезти все эти глыбы одновременно на 42 грузовиках грузоподъёмностью 5 тонн каждый, предполагая, что в грузовик выбранные глыбы поместятся?
в) Какое наименьшее количество грузовиков грузоподъёмностью 5 тонн каждый понадобится, чтобы вывезти все эти глыбы одновременно?
а) Можно ли увезти все эти глыбы одновременно на 66 грузовиках грузоподъёмностью 5 тонн каждый, предполагая, что в грузовик выбранные глыбы поместятся?
б) Можно ли увезти все эти глыбы одновременно на 42 грузовиках грузоподъёмностью 5 тонн каждый, предполагая, что в грузовик выбранные глыбы поместятся?
в) Какое наименьшее количество грузовиков грузоподъёмностью 5 тонн каждый понадобится, чтобы вывезти все эти глыбы одновременно?
Показать ответ
а) да: хватает даже 43 грузовиков — 33 грузовика — 2 по 1000 кг и 2 по 1500 кг; 9 грузовиков — 6 по 800 кг; 1 грузовик — 1 по 800 кг
б) нет: при 42 грузовиках каждый был бы загружен ровно на 5 т, а ровно столько дают только наборы 2 по 1000 кг + 2 по 1500 кг; 5 по 1000 кг; 5 по 800 кг + 1 по 1000 кг. Глыбы по 1500 кг входят лишь в набор «2 по 1000 кг + 2 по 1500 кг», поэтому таких грузовиков ровно 33, и они забирают 66 глыб по 1000 кг; оставшиеся 0 глыб по 1000 кг позволяют плотно увезти лишь 0 глыб по 800 кг, а их 55
в) 43; например 33 грузовика — 2 по 1000 кг и 2 по 1500 кг; 9 грузовиков — 6 по 800 кг; 1 грузовик — 1 по 800 кг
Решение
Общий вес глыб равен 55·800 + 66·1000 + 66·1500 = 209000 кг = 209 т, поэтому грузовиков нужно не меньше 42.
а) Достаточно 43 грузовиков: 33 грузовика — 2 по 1000 кг и 2 по 1500 кг; 9 грузовиков — 6 по 800 кг; 1 грузовик — 1 по 800 кг. Тем более хватит 66.
б) при 42 грузовиках каждый был бы загружен ровно на 5 т, а ровно столько дают только наборы 2 по 1000 кг + 2 по 1500 кг; 5 по 1000 кг; 5 по 800 кг + 1 по 1000 кг. Глыбы по 1500 кг входят лишь в набор «2 по 1000 кг + 2 по 1500 кг», поэтому таких грузовиков ровно 33, и они забирают 66 глыб по 1000 кг; оставшиеся 0 глыб по 1000 кг позволяют плотно увезти лишь 0 глыб по 800 кг, а их 55, поэтому 42 грузовиков не хватит.
в) Минимум равен 43: снизу — оценка по весу и невозможность плотной загрузки, сверху — приведённый план.
Ответ: 43.
а) Достаточно 43 грузовиков: 33 грузовика — 2 по 1000 кг и 2 по 1500 кг; 9 грузовиков — 6 по 800 кг; 1 грузовик — 1 по 800 кг. Тем более хватит 66.
б) при 42 грузовиках каждый был бы загружен ровно на 5 т, а ровно столько дают только наборы 2 по 1000 кг + 2 по 1500 кг; 5 по 1000 кг; 5 по 800 кг + 1 по 1000 кг. Глыбы по 1500 кг входят лишь в набор «2 по 1000 кг + 2 по 1500 кг», поэтому таких грузовиков ровно 33, и они забирают 66 глыб по 1000 кг; оставшиеся 0 глыб по 1000 кг позволяют плотно увезти лишь 0 глыб по 800 кг, а их 55, поэтому 42 грузовиков не хватит.
в) Минимум равен 43: снизу — оценка по весу и невозможность плотной загрузки, сверху — приведённый план.
Ответ: 43.
Пример 2
Имеются каменные глыбы: 50 штук по 800 кг, 60 штук по 1000 кг и 60 штук по 1500 кг (раскалывать глыбы нельзя).
а) Можно ли увезти все эти глыбы одновременно на 57 грузовиках грузоподъёмностью 5 тонн каждый, предполагая, что в грузовик выбранные глыбы поместятся?
б) Можно ли увезти все эти глыбы одновременно на 38 грузовиках грузоподъёмностью 5 тонн каждый, предполагая, что в грузовик выбранные глыбы поместятся?
в) Какое наименьшее количество грузовиков грузоподъёмностью 5 тонн каждый понадобится, чтобы вывезти все эти глыбы одновременно?
а) Можно ли увезти все эти глыбы одновременно на 57 грузовиках грузоподъёмностью 5 тонн каждый, предполагая, что в грузовик выбранные глыбы поместятся?
б) Можно ли увезти все эти глыбы одновременно на 38 грузовиках грузоподъёмностью 5 тонн каждый, предполагая, что в грузовик выбранные глыбы поместятся?
в) Какое наименьшее количество грузовиков грузоподъёмностью 5 тонн каждый понадобится, чтобы вывезти все эти глыбы одновременно?
Показать ответ
а) да: хватает даже 39 грузовиков — 30 грузовиков — 2 по 1000 кг и 2 по 1500 кг; 8 грузовиков — 6 по 800 кг; 1 грузовик — 2 по 800 кг
б) нет: при 38 грузовиках каждый был бы загружен ровно на 5 т, а ровно столько дают только наборы 2 по 1000 кг + 2 по 1500 кг; 5 по 1000 кг; 5 по 800 кг + 1 по 1000 кг. Глыбы по 1500 кг входят лишь в набор «2 по 1000 кг + 2 по 1500 кг», поэтому таких грузовиков ровно 30, и они забирают 60 глыб по 1000 кг; оставшиеся 0 глыб по 1000 кг позволяют плотно увезти лишь 0 глыб по 800 кг, а их 50
в) 39; например 30 грузовиков — 2 по 1000 кг и 2 по 1500 кг; 8 грузовиков — 6 по 800 кг; 1 грузовик — 2 по 800 кг
Решение
Общий вес глыб равен 50·800 + 60·1000 + 60·1500 = 190000 кг = 190 т, поэтому грузовиков нужно не меньше 38.
а) Достаточно 39 грузовиков: 30 грузовиков — 2 по 1000 кг и 2 по 1500 кг; 8 грузовиков — 6 по 800 кг; 1 грузовик — 2 по 800 кг. Тем более хватит 57.
б) при 38 грузовиках каждый был бы загружен ровно на 5 т, а ровно столько дают только наборы 2 по 1000 кг + 2 по 1500 кг; 5 по 1000 кг; 5 по 800 кг + 1 по 1000 кг. Глыбы по 1500 кг входят лишь в набор «2 по 1000 кг + 2 по 1500 кг», поэтому таких грузовиков ровно 30, и они забирают 60 глыб по 1000 кг; оставшиеся 0 глыб по 1000 кг позволяют плотно увезти лишь 0 глыб по 800 кг, а их 50, поэтому 38 грузовиков не хватит.
в) Минимум равен 39: снизу — оценка по весу и невозможность плотной загрузки, сверху — приведённый план.
Ответ: 39.
а) Достаточно 39 грузовиков: 30 грузовиков — 2 по 1000 кг и 2 по 1500 кг; 8 грузовиков — 6 по 800 кг; 1 грузовик — 2 по 800 кг. Тем более хватит 57.
б) при 38 грузовиках каждый был бы загружен ровно на 5 т, а ровно столько дают только наборы 2 по 1000 кг + 2 по 1500 кг; 5 по 1000 кг; 5 по 800 кг + 1 по 1000 кг. Глыбы по 1500 кг входят лишь в набор «2 по 1000 кг + 2 по 1500 кг», поэтому таких грузовиков ровно 30, и они забирают 60 глыб по 1000 кг; оставшиеся 0 глыб по 1000 кг позволяют плотно увезти лишь 0 глыб по 800 кг, а их 50, поэтому 38 грузовиков не хватит.
в) Минимум равен 39: снизу — оценка по весу и невозможность плотной загрузки, сверху — приведённый план.
Ответ: 39.
Пример 3
Имеются каменные глыбы: 25 штук по 800 кг, 30 штук по 1000 кг и 30 штук по 1500 кг (раскалывать глыбы нельзя).
а) Можно ли увезти все эти глыбы одновременно на 41 грузовиках грузоподъёмностью 5 тонн каждый, предполагая, что в грузовик выбранные глыбы поместятся?
б) Можно ли увезти все эти глыбы одновременно на 19 грузовиках грузоподъёмностью 5 тонн каждый, предполагая, что в грузовик выбранные глыбы поместятся?
в) Какое наименьшее количество грузовиков грузоподъёмностью 5 тонн каждый понадобится, чтобы вывезти все эти глыбы одновременно?
а) Можно ли увезти все эти глыбы одновременно на 41 грузовиках грузоподъёмностью 5 тонн каждый, предполагая, что в грузовик выбранные глыбы поместятся?
б) Можно ли увезти все эти глыбы одновременно на 19 грузовиках грузоподъёмностью 5 тонн каждый, предполагая, что в грузовик выбранные глыбы поместятся?
в) Какое наименьшее количество грузовиков грузоподъёмностью 5 тонн каждый понадобится, чтобы вывезти все эти глыбы одновременно?
Показать ответ
а) да: хватает даже 20 грузовиков — 15 грузовиков — 2 по 1000 кг и 2 по 1500 кг; 4 грузовика — 6 по 800 кг; 1 грузовик — 1 по 800 кг
б) нет: при 19 грузовиках каждый был бы загружен ровно на 5 т, а ровно столько дают только наборы 2 по 1000 кг + 2 по 1500 кг; 5 по 1000 кг; 5 по 800 кг + 1 по 1000 кг. Глыбы по 1500 кг входят лишь в набор «2 по 1000 кг + 2 по 1500 кг», поэтому таких грузовиков ровно 15, и они забирают 30 глыб по 1000 кг; оставшиеся 0 глыб по 1000 кг позволяют плотно увезти лишь 0 глыб по 800 кг, а их 25
в) 20; например 15 грузовиков — 2 по 1000 кг и 2 по 1500 кг; 4 грузовика — 6 по 800 кг; 1 грузовик — 1 по 800 кг
Решение
Общий вес глыб равен 25·800 + 30·1000 + 30·1500 = 95000 кг = 95 т, поэтому грузовиков нужно не меньше 19.
а) Достаточно 20 грузовиков: 15 грузовиков — 2 по 1000 кг и 2 по 1500 кг; 4 грузовика — 6 по 800 кг; 1 грузовик — 1 по 800 кг. Тем более хватит 41.
б) при 19 грузовиках каждый был бы загружен ровно на 5 т, а ровно столько дают только наборы 2 по 1000 кг + 2 по 1500 кг; 5 по 1000 кг; 5 по 800 кг + 1 по 1000 кг. Глыбы по 1500 кг входят лишь в набор «2 по 1000 кг + 2 по 1500 кг», поэтому таких грузовиков ровно 15, и они забирают 30 глыб по 1000 кг; оставшиеся 0 глыб по 1000 кг позволяют плотно увезти лишь 0 глыб по 800 кг, а их 25, поэтому 19 грузовиков не хватит.
в) Минимум равен 20: снизу — оценка по весу и невозможность плотной загрузки, сверху — приведённый план.
Ответ: 20.
а) Достаточно 20 грузовиков: 15 грузовиков — 2 по 1000 кг и 2 по 1500 кг; 4 грузовика — 6 по 800 кг; 1 грузовик — 1 по 800 кг. Тем более хватит 41.
б) при 19 грузовиках каждый был бы загружен ровно на 5 т, а ровно столько дают только наборы 2 по 1000 кг + 2 по 1500 кг; 5 по 1000 кг; 5 по 800 кг + 1 по 1000 кг. Глыбы по 1500 кг входят лишь в набор «2 по 1000 кг + 2 по 1500 кг», поэтому таких грузовиков ровно 15, и они забирают 30 глыб по 1000 кг; оставшиеся 0 глыб по 1000 кг позволяют плотно увезти лишь 0 глыб по 800 кг, а их 25, поэтому 19 грузовиков не хватит.
в) Минимум равен 20: снизу — оценка по весу и невозможность плотной загрузки, сверху — приведённый план.
Ответ: 20.
Пример 4
Имеются каменные глыбы: 50 штук по 800 кг, 60 штук по 1000 кг и 60 штук по 1500 кг (раскалывать глыбы нельзя).
а) Можно ли увезти все эти глыбы одновременно на 62 грузовиках грузоподъёмностью 5 тонн каждый, предполагая, что в грузовик выбранные глыбы поместятся?
б) Можно ли увезти все эти глыбы одновременно на 38 грузовиках грузоподъёмностью 5 тонн каждый, предполагая, что в грузовик выбранные глыбы поместятся?
в) Какое наименьшее количество грузовиков грузоподъёмностью 5 тонн каждый понадобится, чтобы вывезти все эти глыбы одновременно?
а) Можно ли увезти все эти глыбы одновременно на 62 грузовиках грузоподъёмностью 5 тонн каждый, предполагая, что в грузовик выбранные глыбы поместятся?
б) Можно ли увезти все эти глыбы одновременно на 38 грузовиках грузоподъёмностью 5 тонн каждый, предполагая, что в грузовик выбранные глыбы поместятся?
в) Какое наименьшее количество грузовиков грузоподъёмностью 5 тонн каждый понадобится, чтобы вывезти все эти глыбы одновременно?
Показать ответ
а) да: хватает даже 39 грузовиков — 30 грузовиков — 2 по 1000 кг и 2 по 1500 кг; 8 грузовиков — 6 по 800 кг; 1 грузовик — 2 по 800 кг
б) нет: при 38 грузовиках каждый был бы загружен ровно на 5 т, а ровно столько дают только наборы 2 по 1000 кг + 2 по 1500 кг; 5 по 1000 кг; 5 по 800 кг + 1 по 1000 кг. Глыбы по 1500 кг входят лишь в набор «2 по 1000 кг + 2 по 1500 кг», поэтому таких грузовиков ровно 30, и они забирают 60 глыб по 1000 кг; оставшиеся 0 глыб по 1000 кг позволяют плотно увезти лишь 0 глыб по 800 кг, а их 50
в) 39; например 30 грузовиков — 2 по 1000 кг и 2 по 1500 кг; 8 грузовиков — 6 по 800 кг; 1 грузовик — 2 по 800 кг
Решение
Общий вес глыб равен 50·800 + 60·1000 + 60·1500 = 190000 кг = 190 т, поэтому грузовиков нужно не меньше 38.
а) Достаточно 39 грузовиков: 30 грузовиков — 2 по 1000 кг и 2 по 1500 кг; 8 грузовиков — 6 по 800 кг; 1 грузовик — 2 по 800 кг. Тем более хватит 62.
б) при 38 грузовиках каждый был бы загружен ровно на 5 т, а ровно столько дают только наборы 2 по 1000 кг + 2 по 1500 кг; 5 по 1000 кг; 5 по 800 кг + 1 по 1000 кг. Глыбы по 1500 кг входят лишь в набор «2 по 1000 кг + 2 по 1500 кг», поэтому таких грузовиков ровно 30, и они забирают 60 глыб по 1000 кг; оставшиеся 0 глыб по 1000 кг позволяют плотно увезти лишь 0 глыб по 800 кг, а их 50, поэтому 38 грузовиков не хватит.
в) Минимум равен 39: снизу — оценка по весу и невозможность плотной загрузки, сверху — приведённый план.
Ответ: 39.
а) Достаточно 39 грузовиков: 30 грузовиков — 2 по 1000 кг и 2 по 1500 кг; 8 грузовиков — 6 по 800 кг; 1 грузовик — 2 по 800 кг. Тем более хватит 62.
б) при 38 грузовиках каждый был бы загружен ровно на 5 т, а ровно столько дают только наборы 2 по 1000 кг + 2 по 1500 кг; 5 по 1000 кг; 5 по 800 кг + 1 по 1000 кг. Глыбы по 1500 кг входят лишь в набор «2 по 1000 кг + 2 по 1500 кг», поэтому таких грузовиков ровно 30, и они забирают 60 глыб по 1000 кг; оставшиеся 0 глыб по 1000 кг позволяют плотно увезти лишь 0 глыб по 800 кг, а их 50, поэтому 38 грузовиков не хватит.
в) Минимум равен 39: снизу — оценка по весу и невозможность плотной загрузки, сверху — приведённый план.
Ответ: 39.
Пример 5
Имеются каменные глыбы: 25 штук по 800 кг, 30 штук по 1000 кг и 30 штук по 1500 кг (раскалывать глыбы нельзя).
а) Можно ли увезти все эти глыбы одновременно на 36 грузовиках грузоподъёмностью 5 тонн каждый, предполагая, что в грузовик выбранные глыбы поместятся?
б) Можно ли увезти все эти глыбы одновременно на 19 грузовиках грузоподъёмностью 5 тонн каждый, предполагая, что в грузовик выбранные глыбы поместятся?
в) Какое наименьшее количество грузовиков грузоподъёмностью 5 тонн каждый понадобится, чтобы вывезти все эти глыбы одновременно?
а) Можно ли увезти все эти глыбы одновременно на 36 грузовиках грузоподъёмностью 5 тонн каждый, предполагая, что в грузовик выбранные глыбы поместятся?
б) Можно ли увезти все эти глыбы одновременно на 19 грузовиках грузоподъёмностью 5 тонн каждый, предполагая, что в грузовик выбранные глыбы поместятся?
в) Какое наименьшее количество грузовиков грузоподъёмностью 5 тонн каждый понадобится, чтобы вывезти все эти глыбы одновременно?
Показать ответ
а) да: хватает даже 20 грузовиков — 15 грузовиков — 2 по 1000 кг и 2 по 1500 кг; 4 грузовика — 6 по 800 кг; 1 грузовик — 1 по 800 кг
б) нет: при 19 грузовиках каждый был бы загружен ровно на 5 т, а ровно столько дают только наборы 2 по 1000 кг + 2 по 1500 кг; 5 по 1000 кг; 5 по 800 кг + 1 по 1000 кг. Глыбы по 1500 кг входят лишь в набор «2 по 1000 кг + 2 по 1500 кг», поэтому таких грузовиков ровно 15, и они забирают 30 глыб по 1000 кг; оставшиеся 0 глыб по 1000 кг позволяют плотно увезти лишь 0 глыб по 800 кг, а их 25
в) 20; например 15 грузовиков — 2 по 1000 кг и 2 по 1500 кг; 4 грузовика — 6 по 800 кг; 1 грузовик — 1 по 800 кг
Решение
Общий вес глыб равен 25·800 + 30·1000 + 30·1500 = 95000 кг = 95 т, поэтому грузовиков нужно не меньше 19.
а) Достаточно 20 грузовиков: 15 грузовиков — 2 по 1000 кг и 2 по 1500 кг; 4 грузовика — 6 по 800 кг; 1 грузовик — 1 по 800 кг. Тем более хватит 36.
б) при 19 грузовиках каждый был бы загружен ровно на 5 т, а ровно столько дают только наборы 2 по 1000 кг + 2 по 1500 кг; 5 по 1000 кг; 5 по 800 кг + 1 по 1000 кг. Глыбы по 1500 кг входят лишь в набор «2 по 1000 кг + 2 по 1500 кг», поэтому таких грузовиков ровно 15, и они забирают 30 глыб по 1000 кг; оставшиеся 0 глыб по 1000 кг позволяют плотно увезти лишь 0 глыб по 800 кг, а их 25, поэтому 19 грузовиков не хватит.
в) Минимум равен 20: снизу — оценка по весу и невозможность плотной загрузки, сверху — приведённый план.
Ответ: 20.
а) Достаточно 20 грузовиков: 15 грузовиков — 2 по 1000 кг и 2 по 1500 кг; 4 грузовика — 6 по 800 кг; 1 грузовик — 1 по 800 кг. Тем более хватит 36.
б) при 19 грузовиках каждый был бы загружен ровно на 5 т, а ровно столько дают только наборы 2 по 1000 кг + 2 по 1500 кг; 5 по 1000 кг; 5 по 800 кг + 1 по 1000 кг. Глыбы по 1500 кг входят лишь в набор «2 по 1000 кг + 2 по 1500 кг», поэтому таких грузовиков ровно 15, и они забирают 30 глыб по 1000 кг; оставшиеся 0 глыб по 1000 кг позволяют плотно увезти лишь 0 глыб по 800 кг, а их 25, поэтому 19 грузовиков не хватит.
в) Минимум равен 20: снизу — оценка по весу и невозможность плотной загрузки, сверху — приведённый план.
Ответ: 20.
Другие темы задания №20
1Каждый следующий в 10 раз больше или меньше: наибольшее число членов2Сумма соседей — одна из трёх: наименьшее число членов3Вдвое меньше либо больше на D: наименьший максимум4Средние без k-го члена: наибольшее M₃5Возрастающая с шагом ≤ 10: наибольшее среднее всех членов6Член больше среднего соседей: наименьшая сумма при n членах7Концы нулевые: наименьший второй член8Числа 1–4 и степенные суммы S₁…S₄9Целые числа: средние всех / положительных / отрицательных10Средние арифметические набора11Средние арифметические набора12Деление на три группы: наименьшее из наибольших средних
Нужен репетитор по математике?
Посмотрите репетиторов, которые ведут занятия в Precettore, или оставьте заявку — подберём сами.
Готовьтесь к ЕГЭ по профильной математике в Precettore
Варианты с автопроверкой, домашние задания от репетитора, онлайн-доска и разбор ошибок — в одном кабинете. Регистрация бесплатная.