Камни в трёх кучах: наименьшая верхняя граница массы — задание 20 ЕГЭ по профильной математике
Сравнение групп. 5 примера с ответом и проверкой.
Пример 1
У ювелира есть 50 полудрагоценных камней, масса каждого из которых — целое число граммов, не меньше 100 (некоторые камни могут иметь равную массу). Эти камни распределили по трём кучам: в первой куче n1 камней, во второй — n2 камней, в третьей — n3 камней, причём n1 < n2 < n3. Суммарная масса (в граммах) камней в первой куче равна S1, во второй — S2, а в третьей — S3.
а) Может ли выполняться неравенство S1 > S2 > S3?
б) Может ли выполняться неравенство S1 > S2 > S3, если масса любого камня не превосходит 117 граммов?
в) Известно, что масса любого камня не превосходит k граммов. Найдите наименьшее целое значение k, для которого может выполняться неравенство S1 > S2 > S3.
а) Может ли выполняться неравенство S1 > S2 > S3?
б) Может ли выполняться неравенство S1 > S2 > S3, если масса любого камня не превосходит 117 граммов?
в) Известно, что масса любого камня не превосходит k граммов. Найдите наименьшее целое значение k, для которого может выполняться неравенство S1 > S2 > S3.
Показать ответ
а) да, например: в первой куче камень массой 4702 г, во второй — камень массой 2351 г и камень массой 2350 г, в третьей — 47 камней по 100 г; тогда S₁ = 4702 > S₂ = 4701 > S₃ = 4700
б) нет: S₃ ≥ 100n₃, поэтому S₁ ≥ 100n₃ + 2, а сверху S₁ ≤ 117n₁; из n₁ < n₂ < n₃ и n₁ + n₂ + n₃ = 50 следует n₁ ≤ 15 и n₃ ≥ 18, и неравенство 117n₁ ≥ 100n₃ + 2 невыполнимо
в) 121; например, в первой куче 2 камня по 121 г и 13 камней по 120 г (всего 1802 г), во второй — 16 камней по 106 г и камень массой 105 г (всего 1801 г), в третьей — 18 камней по 100 г
Решение
Так как масса каждого камня не меньше 100 г, то S3 ≥ 100n3. Из S1 > S2 > S3 следует S2 ≥ 100n3 + 1 и S1 ≥ 100n3 + 2 (эти оценки не противоречат условиям S2 ≥ 100n2 и S1 ≥ 100n1, потому что n3 больше n2 и n1).
а) Верхней границы на массу нет: положим в третью кучу 47 камней по 100 г, во вторую — два камня общей массой 4701 г, в первую — один камень массой 4702 г. Получаем S1 > S2 > S3. Ответ: да.
б) Если масса каждого камня не превосходит 117 г, то S1 ≤ 117n1, и должно выполняться 117n1 ≥ 100n3 + 2. Из n1 < n2 < n3 и n1 + n2 + n3 = 50 получаем n1 ≤ 15, а при таком n1 наименьшее возможное n3 равно 18; проверка всех разбиений показывает, что нужное неравенство не выполняется ни для одного из них. Ответ: нет.
в) Условие реализуемо ровно тогда, когда k·n1 ≥ 100n3 + 2 для какого-то разбиения, то есть k ≥ ⌈(100n3 + 2)/n1⌉. Минимум правой части по всем разбиениям достигается при n1 = 15, n2 = 17, n3 = 18 и равен 121. Пример на 121: первая куча — 2 камня по 121 г и 13 камней по 120 г, вторая — 16 камней по 106 г и камень массой 105 г, третья — 18 камней по 100 г. Ответ: 121.
а) Верхней границы на массу нет: положим в третью кучу 47 камней по 100 г, во вторую — два камня общей массой 4701 г, в первую — один камень массой 4702 г. Получаем S1 > S2 > S3. Ответ: да.
б) Если масса каждого камня не превосходит 117 г, то S1 ≤ 117n1, и должно выполняться 117n1 ≥ 100n3 + 2. Из n1 < n2 < n3 и n1 + n2 + n3 = 50 получаем n1 ≤ 15, а при таком n1 наименьшее возможное n3 равно 18; проверка всех разбиений показывает, что нужное неравенство не выполняется ни для одного из них. Ответ: нет.
в) Условие реализуемо ровно тогда, когда k·n1 ≥ 100n3 + 2 для какого-то разбиения, то есть k ≥ ⌈(100n3 + 2)/n1⌉. Минимум правой части по всем разбиениям достигается при n1 = 15, n2 = 17, n3 = 18 и равен 121. Пример на 121: первая куча — 2 камня по 121 г и 13 камней по 120 г, вторая — 16 камней по 106 г и камень массой 105 г, третья — 18 камней по 100 г. Ответ: 121.
Пример 2
У ювелира есть 38 полудрагоценных камней, масса каждого из которых — целое число граммов, не меньше 150 (некоторые камни могут иметь равную массу). Эти камни распределили по трём кучам: в первой куче n1 камней, во второй — n2 камней, в третьей — n3 камней, причём n1 < n2 < n3. Суммарная масса (в граммах) камней в первой куче равна S1, во второй — S2, а в третьей — S3.
а) Может ли выполняться неравенство S1 > S2 > S3?
б) Может ли выполняться неравенство S1 > S2 > S3, если масса любого камня не превосходит 164 граммов?
в) Известно, что масса любого камня не превосходит k граммов. Найдите наименьшее целое значение k, для которого может выполняться неравенство S1 > S2 > S3.
а) Может ли выполняться неравенство S1 > S2 > S3?
б) Может ли выполняться неравенство S1 > S2 > S3, если масса любого камня не превосходит 164 граммов?
в) Известно, что масса любого камня не превосходит k граммов. Найдите наименьшее целое значение k, для которого может выполняться неравенство S1 > S2 > S3.
Показать ответ
а) да, например: в первой куче камень массой 5252 г, во второй — камень массой 2626 г и камень массой 2625 г, в третьей — 35 камней по 150 г; тогда S₁ = 5252 > S₂ = 5251 > S₃ = 5250
б) нет: S₃ ≥ 150n₃, поэтому S₁ ≥ 150n₃ + 2, а сверху S₁ ≤ 164n₁; из n₁ < n₂ < n₃ и n₁ + n₂ + n₃ = 38 следует n₁ ≤ 11 и n₃ ≥ 14, и неравенство 164n₁ ≥ 150n₃ + 2 невыполнимо
в) 192; например, в первой куче камень массой 192 г и 10 камней по 191 г (всего 2102 г), во второй — 8 камней по 162 г и 5 камней по 161 г (всего 2101 г), в третьей — 14 камней по 150 г
Решение
Так как масса каждого камня не меньше 150 г, то S3 ≥ 150n3. Из S1 > S2 > S3 следует S2 ≥ 150n3 + 1 и S1 ≥ 150n3 + 2 (эти оценки не противоречат условиям S2 ≥ 150n2 и S1 ≥ 150n1, потому что n3 больше n2 и n1).
а) Верхней границы на массу нет: положим в третью кучу 35 камней по 150 г, во вторую — два камня общей массой 5251 г, в первую — один камень массой 5252 г. Получаем S1 > S2 > S3. Ответ: да.
б) Если масса каждого камня не превосходит 164 г, то S1 ≤ 164n1, и должно выполняться 164n1 ≥ 150n3 + 2. Из n1 < n2 < n3 и n1 + n2 + n3 = 38 получаем n1 ≤ 11, а при таком n1 наименьшее возможное n3 равно 14; проверка всех разбиений показывает, что нужное неравенство не выполняется ни для одного из них. Ответ: нет.
в) Условие реализуемо ровно тогда, когда k·n1 ≥ 150n3 + 2 для какого-то разбиения, то есть k ≥ ⌈(150n3 + 2)/n1⌉. Минимум правой части по всем разбиениям достигается при n1 = 11, n2 = 13, n3 = 14 и равен 192. Пример на 192: первая куча — камень массой 192 г и 10 камней по 191 г, вторая — 8 камней по 162 г и 5 камней по 161 г, третья — 14 камней по 150 г. Ответ: 192.
а) Верхней границы на массу нет: положим в третью кучу 35 камней по 150 г, во вторую — два камня общей массой 5251 г, в первую — один камень массой 5252 г. Получаем S1 > S2 > S3. Ответ: да.
б) Если масса каждого камня не превосходит 164 г, то S1 ≤ 164n1, и должно выполняться 164n1 ≥ 150n3 + 2. Из n1 < n2 < n3 и n1 + n2 + n3 = 38 получаем n1 ≤ 11, а при таком n1 наименьшее возможное n3 равно 14; проверка всех разбиений показывает, что нужное неравенство не выполняется ни для одного из них. Ответ: нет.
в) Условие реализуемо ровно тогда, когда k·n1 ≥ 150n3 + 2 для какого-то разбиения, то есть k ≥ ⌈(150n3 + 2)/n1⌉. Минимум правой части по всем разбиениям достигается при n1 = 11, n2 = 13, n3 = 14 и равен 192. Пример на 192: первая куча — камень массой 192 г и 10 камней по 191 г, вторая — 8 камней по 162 г и 5 камней по 161 г, третья — 14 камней по 150 г. Ответ: 192.
Пример 3
У ювелира есть 48 полудрагоценных камней, масса каждого из которых — целое число граммов, не меньше 200 (некоторые камни могут иметь равную массу). Эти камни распределили по трём кучам: в первой куче n1 камней, во второй — n2 камней, в третьей — n3 камней, причём n1 < n2 < n3. Суммарная масса (в граммах) камней в первой куче равна S1, во второй — S2, а в третьей — S3.
а) Может ли выполняться неравенство S1 > S2 > S3?
б) Может ли выполняться неравенство S1 > S2 > S3, если масса любого камня не превосходит 202 граммов?
в) Известно, что масса любого камня не превосходит k граммов. Найдите наименьшее целое значение k, для которого может выполняться неравенство S1 > S2 > S3.
а) Может ли выполняться неравенство S1 > S2 > S3?
б) Может ли выполняться неравенство S1 > S2 > S3, если масса любого камня не превосходит 202 граммов?
в) Известно, что масса любого камня не превосходит k граммов. Найдите наименьшее целое значение k, для которого может выполняться неравенство S1 > S2 > S3.
Показать ответ
а) да, например: в первой куче камень массой 9002 г, во второй — камень массой 4501 г и камень массой 4500 г, в третьей — 45 камней по 200 г; тогда S₁ = 9002 > S₂ = 9001 > S₃ = 9000
б) нет: S₃ ≥ 200n₃, поэтому S₁ ≥ 200n₃ + 2, а сверху S₁ ≤ 202n₁; из n₁ < n₂ < n₃ и n₁ + n₂ + n₃ = 48 следует n₁ ≤ 15 и n₃ ≥ 17, и неравенство 202n₁ ≥ 200n₃ + 2 невыполнимо
в) 227; например, в первой куче 12 камней по 227 г и 3 камня по 226 г (всего 3402 г), во второй — 9 камней по 213 г и 7 камней по 212 г (всего 3401 г), в третьей — 17 камней по 200 г
Решение
Так как масса каждого камня не меньше 200 г, то S3 ≥ 200n3. Из S1 > S2 > S3 следует S2 ≥ 200n3 + 1 и S1 ≥ 200n3 + 2 (эти оценки не противоречат условиям S2 ≥ 200n2 и S1 ≥ 200n1, потому что n3 больше n2 и n1).
а) Верхней границы на массу нет: положим в третью кучу 45 камней по 200 г, во вторую — два камня общей массой 9001 г, в первую — один камень массой 9002 г. Получаем S1 > S2 > S3. Ответ: да.
б) Если масса каждого камня не превосходит 202 г, то S1 ≤ 202n1, и должно выполняться 202n1 ≥ 200n3 + 2. Из n1 < n2 < n3 и n1 + n2 + n3 = 48 получаем n1 ≤ 15, а при таком n1 наименьшее возможное n3 равно 17; проверка всех разбиений показывает, что нужное неравенство не выполняется ни для одного из них. Ответ: нет.
в) Условие реализуемо ровно тогда, когда k·n1 ≥ 200n3 + 2 для какого-то разбиения, то есть k ≥ ⌈(200n3 + 2)/n1⌉. Минимум правой части по всем разбиениям достигается при n1 = 15, n2 = 16, n3 = 17 и равен 227. Пример на 227: первая куча — 12 камней по 227 г и 3 камня по 226 г, вторая — 9 камней по 213 г и 7 камней по 212 г, третья — 17 камней по 200 г. Ответ: 227.
а) Верхней границы на массу нет: положим в третью кучу 45 камней по 200 г, во вторую — два камня общей массой 9001 г, в первую — один камень массой 9002 г. Получаем S1 > S2 > S3. Ответ: да.
б) Если масса каждого камня не превосходит 202 г, то S1 ≤ 202n1, и должно выполняться 202n1 ≥ 200n3 + 2. Из n1 < n2 < n3 и n1 + n2 + n3 = 48 получаем n1 ≤ 15, а при таком n1 наименьшее возможное n3 равно 17; проверка всех разбиений показывает, что нужное неравенство не выполняется ни для одного из них. Ответ: нет.
в) Условие реализуемо ровно тогда, когда k·n1 ≥ 200n3 + 2 для какого-то разбиения, то есть k ≥ ⌈(200n3 + 2)/n1⌉. Минимум правой части по всем разбиениям достигается при n1 = 15, n2 = 16, n3 = 17 и равен 227. Пример на 227: первая куча — 12 камней по 227 г и 3 камня по 226 г, вторая — 9 камней по 213 г и 7 камней по 212 г, третья — 17 камней по 200 г. Ответ: 227.
Пример 4
У ювелира есть 45 полудрагоценных камней, масса каждого из которых — целое число граммов, не меньше 200 (некоторые камни могут иметь равную массу). Эти камни распределили по трём кучам: в первой куче n1 камней, во второй — n2 камней, в третьей — n3 камней, причём n1 < n2 < n3. Суммарная масса (в граммах) камней в первой куче равна S1, во второй — S2, а в третьей — S3.
а) Может ли выполняться неравенство S1 > S2 > S3?
б) Может ли выполняться неравенство S1 > S2 > S3, если масса любого камня не превосходит 209 граммов?
в) Известно, что масса любого камня не превосходит k граммов. Найдите наименьшее целое значение k, для которого может выполняться неравенство S1 > S2 > S3.
а) Может ли выполняться неравенство S1 > S2 > S3?
б) Может ли выполняться неравенство S1 > S2 > S3, если масса любого камня не превосходит 209 граммов?
в) Известно, что масса любого камня не превосходит k граммов. Найдите наименьшее целое значение k, для которого может выполняться неравенство S1 > S2 > S3.
Показать ответ
а) да, например: в первой куче камень массой 8402 г, во второй — камень массой 4201 г и камень массой 4200 г, в третьей — 42 камня по 200 г; тогда S₁ = 8402 > S₂ = 8401 > S₃ = 8400
б) нет: S₃ ≥ 200n₃, поэтому S₁ ≥ 200n₃ + 2, а сверху S₁ ≤ 209n₁; из n₁ < n₂ < n₃ и n₁ + n₂ + n₃ = 45 следует n₁ ≤ 14 и n₃ ≥ 16, и неравенство 209n₁ ≥ 200n₃ + 2 невыполнимо
в) 229; например, в первой куче 10 камней по 229 г и 4 камня по 228 г (всего 3202 г), во второй — 6 камней по 214 г и 9 камней по 213 г (всего 3201 г), в третьей — 16 камней по 200 г
Решение
Так как масса каждого камня не меньше 200 г, то S3 ≥ 200n3. Из S1 > S2 > S3 следует S2 ≥ 200n3 + 1 и S1 ≥ 200n3 + 2 (эти оценки не противоречат условиям S2 ≥ 200n2 и S1 ≥ 200n1, потому что n3 больше n2 и n1).
а) Верхней границы на массу нет: положим в третью кучу 42 камня по 200 г, во вторую — два камня общей массой 8401 г, в первую — один камень массой 8402 г. Получаем S1 > S2 > S3. Ответ: да.
б) Если масса каждого камня не превосходит 209 г, то S1 ≤ 209n1, и должно выполняться 209n1 ≥ 200n3 + 2. Из n1 < n2 < n3 и n1 + n2 + n3 = 45 получаем n1 ≤ 14, а при таком n1 наименьшее возможное n3 равно 16; проверка всех разбиений показывает, что нужное неравенство не выполняется ни для одного из них. Ответ: нет.
в) Условие реализуемо ровно тогда, когда k·n1 ≥ 200n3 + 2 для какого-то разбиения, то есть k ≥ ⌈(200n3 + 2)/n1⌉. Минимум правой части по всем разбиениям достигается при n1 = 14, n2 = 15, n3 = 16 и равен 229. Пример на 229: первая куча — 10 камней по 229 г и 4 камня по 228 г, вторая — 6 камней по 214 г и 9 камней по 213 г, третья — 16 камней по 200 г. Ответ: 229.
а) Верхней границы на массу нет: положим в третью кучу 42 камня по 200 г, во вторую — два камня общей массой 8401 г, в первую — один камень массой 8402 г. Получаем S1 > S2 > S3. Ответ: да.
б) Если масса каждого камня не превосходит 209 г, то S1 ≤ 209n1, и должно выполняться 209n1 ≥ 200n3 + 2. Из n1 < n2 < n3 и n1 + n2 + n3 = 45 получаем n1 ≤ 14, а при таком n1 наименьшее возможное n3 равно 16; проверка всех разбиений показывает, что нужное неравенство не выполняется ни для одного из них. Ответ: нет.
в) Условие реализуемо ровно тогда, когда k·n1 ≥ 200n3 + 2 для какого-то разбиения, то есть k ≥ ⌈(200n3 + 2)/n1⌉. Минимум правой части по всем разбиениям достигается при n1 = 14, n2 = 15, n3 = 16 и равен 229. Пример на 229: первая куча — 10 камней по 229 г и 4 камня по 228 г, вторая — 6 камней по 214 г и 9 камней по 213 г, третья — 16 камней по 200 г. Ответ: 229.
Пример 5
У ювелира есть 40 полудрагоценных камней, масса каждого из которых — целое число граммов, не меньше 100 (некоторые камни могут иметь равную массу). Эти камни распределили по трём кучам: в первой куче n1 камней, во второй — n2 камней, в третьей — n3 камней, причём n1 < n2 < n3. Суммарная масса (в граммах) камней в первой куче равна S1, во второй — S2, а в третьей — S3.
а) Может ли выполняться неравенство S1 > S2 > S3?
б) Может ли выполняться неравенство S1 > S2 > S3, если масса любого камня не превосходит 113 граммов?
в) Известно, что масса любого камня не превосходит k граммов. Найдите наименьшее целое значение k, для которого может выполняться неравенство S1 > S2 > S3.
а) Может ли выполняться неравенство S1 > S2 > S3?
б) Может ли выполняться неравенство S1 > S2 > S3, если масса любого камня не превосходит 113 граммов?
в) Известно, что масса любого камня не превосходит k граммов. Найдите наименьшее целое значение k, для которого может выполняться неравенство S1 > S2 > S3.
Показать ответ
а) да, например: в первой куче камень массой 3702 г, во второй — камень массой 1851 г и камень массой 1850 г, в третьей — 37 камней по 100 г; тогда S₁ = 3702 > S₂ = 3701 > S₃ = 3700
б) нет: S₃ ≥ 100n₃, поэтому S₁ ≥ 100n₃ + 2, а сверху S₁ ≤ 113n₁; из n₁ < n₂ < n₃ и n₁ + n₂ + n₃ = 40 следует n₁ ≤ 12 и n₃ ≥ 15, и неравенство 113n₁ ≥ 100n₃ + 2 невыполнимо
в) 126; например, в первой куче 2 камня по 126 г и 10 камней по 125 г (всего 1502 г), во второй — 6 камней по 116 г и 7 камней по 115 г (всего 1501 г), в третьей — 15 камней по 100 г
Решение
Так как масса каждого камня не меньше 100 г, то S3 ≥ 100n3. Из S1 > S2 > S3 следует S2 ≥ 100n3 + 1 и S1 ≥ 100n3 + 2 (эти оценки не противоречат условиям S2 ≥ 100n2 и S1 ≥ 100n1, потому что n3 больше n2 и n1).
а) Верхней границы на массу нет: положим в третью кучу 37 камней по 100 г, во вторую — два камня общей массой 3701 г, в первую — один камень массой 3702 г. Получаем S1 > S2 > S3. Ответ: да.
б) Если масса каждого камня не превосходит 113 г, то S1 ≤ 113n1, и должно выполняться 113n1 ≥ 100n3 + 2. Из n1 < n2 < n3 и n1 + n2 + n3 = 40 получаем n1 ≤ 12, а при таком n1 наименьшее возможное n3 равно 15; проверка всех разбиений показывает, что нужное неравенство не выполняется ни для одного из них. Ответ: нет.
в) Условие реализуемо ровно тогда, когда k·n1 ≥ 100n3 + 2 для какого-то разбиения, то есть k ≥ ⌈(100n3 + 2)/n1⌉. Минимум правой части по всем разбиениям достигается при n1 = 12, n2 = 13, n3 = 15 и равен 126. Пример на 126: первая куча — 2 камня по 126 г и 10 камней по 125 г, вторая — 6 камней по 116 г и 7 камней по 115 г, третья — 15 камней по 100 г. Ответ: 126.
а) Верхней границы на массу нет: положим в третью кучу 37 камней по 100 г, во вторую — два камня общей массой 3701 г, в первую — один камень массой 3702 г. Получаем S1 > S2 > S3. Ответ: да.
б) Если масса каждого камня не превосходит 113 г, то S1 ≤ 113n1, и должно выполняться 113n1 ≥ 100n3 + 2. Из n1 < n2 < n3 и n1 + n2 + n3 = 40 получаем n1 ≤ 12, а при таком n1 наименьшее возможное n3 равно 15; проверка всех разбиений показывает, что нужное неравенство не выполняется ни для одного из них. Ответ: нет.
в) Условие реализуемо ровно тогда, когда k·n1 ≥ 100n3 + 2 для какого-то разбиения, то есть k ≥ ⌈(100n3 + 2)/n1⌉. Минимум правой части по всем разбиениям достигается при n1 = 12, n2 = 13, n3 = 15 и равен 126. Пример на 126: первая куча — 2 камня по 126 г и 10 камней по 125 г, вторая — 6 камней по 116 г и 7 камней по 115 г, третья — 15 камней по 100 г. Ответ: 126.
Другие темы задания №20
1Каждый следующий в 10 раз больше или меньше: наибольшее число членов2Сумма соседей — одна из трёх: наименьшее число членов3Вдвое меньше либо больше на D: наименьший максимум4Средние без k-го члена: наибольшее M₃5Возрастающая с шагом ≤ 10: наибольшее среднее всех членов6Член больше среднего соседей: наименьшая сумма при n членах7Концы нулевые: наименьший второй член8Числа 1–4 и степенные суммы S₁…S₄9Целые числа: средние всех / положительных / отрицательных10Средние арифметические набора11Средние арифметические набора12Деление на три группы: наименьшее из наибольших средних
Нужен репетитор по математике?
Посмотрите репетиторов, которые ведут занятия в Precettore, или оставьте заявку — подберём сами.
Готовьтесь к ЕГЭ по профильной математике в Precettore
Варианты с автопроверкой, домашние задания от репетитора, онлайн-доска и разбор ошибок — в одном кабинете. Регистрация бесплатная.