Карточки с двумя сторонами: наименьшее произведение сумм — задание 20 ЕГЭ по профильной математике
Наборы: суммы и произведения. 5 примера с ответом и проверкой.
Пример 1
Каждое из чисел 1, −2, −3, 4, −5, 7, −8, 9, 10, −11 по одному записывают на 10 карточках. Карточки переворачивают и перемешивают. На их чистых сторонах заново пишут по одному каждое из чисел 1, −2, −3, 4, −5, 7, −8, 9, 10, −11. После этого числа на каждой карточке складывают, а полученные десять сумм перемножают.
а) Может ли в результате получиться 0?
б) Может ли в результате получиться 1?
в) Какое наименьшее целое неотрицательное число может в результате получиться?
а) Может ли в результате получиться 0?
б) Может ли в результате получиться 1?
в) Какое наименьшее целое неотрицательное число может в результате получиться?
Показать ответ
а) нет: произведение равно нулю только если на какой-то карточке сумма равна нулю, то есть на ней встретились противоположные числа; в наборе нет ни одной пары противоположных чисел
б) нет: произведение десяти целых чисел равно 1 только если все они равны ±1. Сумма всех десяти сумм равна удвоенной сумме набора, то есть 4; при k слагаемых, равных −1, она равна 10 − 2k, откуда k = 3. Произведение тогда равно (−1)³ = −1, а это не 1
в) 4; например, если карточки составлены парами (1; −2), (−2; 1), (−3; 4), (4; −3), (−5; 7), (7; −5), (−8; 9), (9; −8), (10; −11), (−11; 10), то суммы равны −1, −1, 1, 1, 2, 2, 1, 1, −1, −1, а их произведение равно 4
Решение
а) Произведение равно нулю ровно тогда, когда хотя бы одна из десяти сумм равна нулю, то есть когда на какой-то карточке оказались противоположные числа. В наборе 1, −2, −3, 4, −5, 7, −8, 9, 10, −11 нет ни одной пары x и −x, поэтому ноль невозможен. Ответ: нет.
б) Если произведение десяти целых чисел равно 1, то каждое из них равно ±1. Сумма всех десяти сумм равна удвоенной сумме набора: 2 · 2 = 4. Если среди сумм ровно k равны −1, то их общая сумма равна 10 − 2k, откуда k = 3. Но 3 нечётно, поэтому произведение равно (−1)3 = −1, а не 1 — противоречие. Ответ: нет.
в) Нулевых сумм нет, поэтому модуль произведения не уменьшается при добавлении очередной карточки; перебор всех разложений на пары даёт наименьшее неотрицательное значение 4. Оно достигается на разбиении (1; −2), (−2; 1), (−3; 4), (4; −3), (−5; 7), (7; −5), (−8; 9), (9; −8), (10; −11), (−11; 10) с суммами −1, −1, 1, 1, 2, 2, 1, 1, −1, −1. Ответ: 4.
б) Если произведение десяти целых чисел равно 1, то каждое из них равно ±1. Сумма всех десяти сумм равна удвоенной сумме набора: 2 · 2 = 4. Если среди сумм ровно k равны −1, то их общая сумма равна 10 − 2k, откуда k = 3. Но 3 нечётно, поэтому произведение равно (−1)3 = −1, а не 1 — противоречие. Ответ: нет.
в) Нулевых сумм нет, поэтому модуль произведения не уменьшается при добавлении очередной карточки; перебор всех разложений на пары даёт наименьшее неотрицательное значение 4. Оно достигается на разбиении (1; −2), (−2; 1), (−3; 4), (4; −3), (−5; 7), (7; −5), (−8; 9), (9; −8), (10; −11), (−11; 10) с суммами −1, −1, 1, 1, 2, 2, 1, 1, −1, −1. Ответ: 4.
Пример 2
Каждое из чисел 1, −2, −3, 4, −5, 7, −8, 13, 10, −11 по одному записывают на 10 карточках. Карточки переворачивают и перемешивают. На их чистых сторонах заново пишут по одному каждое из чисел 1, −2, −3, 4, −5, 7, −8, 13, 10, −11. После этого числа на каждой карточке складывают, а полученные десять сумм перемножают.
а) Может ли в результате получиться 0?
б) Может ли в результате получиться 1?
в) Какое наименьшее целое неотрицательное число может в результате получиться?
а) Может ли в результате получиться 0?
б) Может ли в результате получиться 1?
в) Какое наименьшее целое неотрицательное число может в результате получиться?
Показать ответ
а) нет: произведение равно нулю только если на какой-то карточке сумма равна нулю, то есть на ней встретились противоположные числа; в наборе нет ни одной пары противоположных чисел
б) нет: произведение десяти целых чисел равно 1 только если все они равны ±1. Сумма всех десяти сумм равна удвоенной сумме набора, то есть 12; при k слагаемых, равных −1, она равна 10 − 2k, откуда k = -1. Произведение тогда равно (−1)-¹ = −1, а это не 1
в) 64; например, если карточки составлены парами (1; −2), (−2; 1), (−3; 4), (4; −3), (−5; 13), (7; −8), (−8; 7), (13; −5), (10; −11), (−11; 10), то суммы равны −1, −1, 1, 1, 8, −1, −1, 8, −1, −1, а их произведение равно 64
Решение
а) Произведение равно нулю ровно тогда, когда хотя бы одна из десяти сумм равна нулю, то есть когда на какой-то карточке оказались противоположные числа. В наборе 1, −2, −3, 4, −5, 7, −8, 13, 10, −11 нет ни одной пары x и −x, поэтому ноль невозможен. Ответ: нет.
б) Если произведение десяти целых чисел равно 1, то каждое из них равно ±1. Сумма всех десяти сумм равна удвоенной сумме набора: 2 · 6 = 12. Если среди сумм ровно k равны −1, то их общая сумма равна 10 − 2k, откуда k = -1. Но -1 нечётно, поэтому произведение равно (−1)-1 = −1, а не 1 — противоречие. Ответ: нет.
в) Нулевых сумм нет, поэтому модуль произведения не уменьшается при добавлении очередной карточки; перебор всех разложений на пары даёт наименьшее неотрицательное значение 64. Оно достигается на разбиении (1; −2), (−2; 1), (−3; 4), (4; −3), (−5; 13), (7; −8), (−8; 7), (13; −5), (10; −11), (−11; 10) с суммами −1, −1, 1, 1, 8, −1, −1, 8, −1, −1. Ответ: 64.
б) Если произведение десяти целых чисел равно 1, то каждое из них равно ±1. Сумма всех десяти сумм равна удвоенной сумме набора: 2 · 6 = 12. Если среди сумм ровно k равны −1, то их общая сумма равна 10 − 2k, откуда k = -1. Но -1 нечётно, поэтому произведение равно (−1)-1 = −1, а не 1 — противоречие. Ответ: нет.
в) Нулевых сумм нет, поэтому модуль произведения не уменьшается при добавлении очередной карточки; перебор всех разложений на пары даёт наименьшее неотрицательное значение 64. Оно достигается на разбиении (1; −2), (−2; 1), (−3; 4), (4; −3), (−5; 13), (7; −8), (−8; 7), (13; −5), (10; −11), (−11; 10) с суммами −1, −1, 1, 1, 8, −1, −1, 8, −1, −1. Ответ: 64.
Пример 3
Каждое из чисел 1, −4, −3, 2, −5, 7, −8, 9, 10, −11 по одному записывают на 10 карточках. Карточки переворачивают и перемешивают. На их чистых сторонах заново пишут по одному каждое из чисел 1, −4, −3, 2, −5, 7, −8, 9, 10, −11. После этого числа на каждой карточке складывают, а полученные десять сумм перемножают.
а) Может ли в результате получиться 0?
б) Может ли в результате получиться 1?
в) Какое наименьшее целое неотрицательное число может в результате получиться?
а) Может ли в результате получиться 0?
б) Может ли в результате получиться 1?
в) Какое наименьшее целое неотрицательное число может в результате получиться?
Показать ответ
а) нет: произведение равно нулю только если на какой-то карточке сумма равна нулю, то есть на ней встретились противоположные числа; в наборе нет ни одной пары противоположных чисел
б) нет: произведение десяти целых чисел равно 1 только если все они равны ±1. Сумма всех десяти сумм равна удвоенной сумме набора, то есть -4; при k слагаемых, равных −1, она равна 10 − 2k, откуда k = 7. Произведение тогда равно (−1)⁷ = −1, а это не 1
в) 36; например, если карточки составлены парами (1; −4), (−4; 1), (−3; 2), (2; −3), (−5; 7), (7; −5), (−8; 9), (9; −8), (10; −11), (−11; 10), то суммы равны −3, −3, −1, −1, 2, 2, 1, 1, −1, −1, а их произведение равно 36
Решение
а) Произведение равно нулю ровно тогда, когда хотя бы одна из десяти сумм равна нулю, то есть когда на какой-то карточке оказались противоположные числа. В наборе 1, −4, −3, 2, −5, 7, −8, 9, 10, −11 нет ни одной пары x и −x, поэтому ноль невозможен. Ответ: нет.
б) Если произведение десяти целых чисел равно 1, то каждое из них равно ±1. Сумма всех десяти сумм равна удвоенной сумме набора: 2 · −2 = -4. Если среди сумм ровно k равны −1, то их общая сумма равна 10 − 2k, откуда k = 7. Но 7 нечётно, поэтому произведение равно (−1)7 = −1, а не 1 — противоречие. Ответ: нет.
в) Нулевых сумм нет, поэтому модуль произведения не уменьшается при добавлении очередной карточки; перебор всех разложений на пары даёт наименьшее неотрицательное значение 36. Оно достигается на разбиении (1; −4), (−4; 1), (−3; 2), (2; −3), (−5; 7), (7; −5), (−8; 9), (9; −8), (10; −11), (−11; 10) с суммами −3, −3, −1, −1, 2, 2, 1, 1, −1, −1. Ответ: 36.
б) Если произведение десяти целых чисел равно 1, то каждое из них равно ±1. Сумма всех десяти сумм равна удвоенной сумме набора: 2 · −2 = -4. Если среди сумм ровно k равны −1, то их общая сумма равна 10 − 2k, откуда k = 7. Но 7 нечётно, поэтому произведение равно (−1)7 = −1, а не 1 — противоречие. Ответ: нет.
в) Нулевых сумм нет, поэтому модуль произведения не уменьшается при добавлении очередной карточки; перебор всех разложений на пары даёт наименьшее неотрицательное значение 36. Оно достигается на разбиении (1; −4), (−4; 1), (−3; 2), (2; −3), (−5; 7), (7; −5), (−8; 9), (9; −8), (10; −11), (−11; 10) с суммами −3, −3, −1, −1, 2, 2, 1, 1, −1, −1. Ответ: 36.
Пример 4
Каждое из чисел 1, −2, −3, 4, −5, 7, −8, 9, 12, −11 по одному записывают на 10 карточках. Карточки переворачивают и перемешивают. На их чистых сторонах заново пишут по одному каждое из чисел 1, −2, −3, 4, −5, 7, −8, 9, 12, −11. После этого числа на каждой карточке складывают, а полученные десять сумм перемножают.
а) Может ли в результате получиться 0?
б) Может ли в результате получиться 1?
в) Какое наименьшее целое неотрицательное число может в результате получиться?
а) Может ли в результате получиться 0?
б) Может ли в результате получиться 1?
в) Какое наименьшее целое неотрицательное число может в результате получиться?
Показать ответ
а) нет: произведение равно нулю только если на какой-то карточке сумма равна нулю, то есть на ней встретились противоположные числа; в наборе нет ни одной пары противоположных чисел
б) нет: произведение десяти целых чисел равно 1 только если все они равны ±1. Сумма всех десяти сумм равна удвоенной сумме набора, то есть 8; при k слагаемых, равных −1, она равна 10 − 2k, откуда k = 1. Произведение тогда равно (−1)¹ = −1, а это не 1
в) 4; например, если карточки составлены парами (1; −2), (−2; 1), (−3; 4), (4; −3), (−5; 7), (7; −5), (−8; 9), (9; −8), (12; −11), (−11; 12), то суммы равны −1, −1, 1, 1, 2, 2, 1, 1, 1, 1, а их произведение равно 4
Решение
а) Произведение равно нулю ровно тогда, когда хотя бы одна из десяти сумм равна нулю, то есть когда на какой-то карточке оказались противоположные числа. В наборе 1, −2, −3, 4, −5, 7, −8, 9, 12, −11 нет ни одной пары x и −x, поэтому ноль невозможен. Ответ: нет.
б) Если произведение десяти целых чисел равно 1, то каждое из них равно ±1. Сумма всех десяти сумм равна удвоенной сумме набора: 2 · 4 = 8. Если среди сумм ровно k равны −1, то их общая сумма равна 10 − 2k, откуда k = 1. Но 1 нечётно, поэтому произведение равно (−1)1 = −1, а не 1 — противоречие. Ответ: нет.
в) Нулевых сумм нет, поэтому модуль произведения не уменьшается при добавлении очередной карточки; перебор всех разложений на пары даёт наименьшее неотрицательное значение 4. Оно достигается на разбиении (1; −2), (−2; 1), (−3; 4), (4; −3), (−5; 7), (7; −5), (−8; 9), (9; −8), (12; −11), (−11; 12) с суммами −1, −1, 1, 1, 2, 2, 1, 1, 1, 1. Ответ: 4.
б) Если произведение десяти целых чисел равно 1, то каждое из них равно ±1. Сумма всех десяти сумм равна удвоенной сумме набора: 2 · 4 = 8. Если среди сумм ровно k равны −1, то их общая сумма равна 10 − 2k, откуда k = 1. Но 1 нечётно, поэтому произведение равно (−1)1 = −1, а не 1 — противоречие. Ответ: нет.
в) Нулевых сумм нет, поэтому модуль произведения не уменьшается при добавлении очередной карточки; перебор всех разложений на пары даёт наименьшее неотрицательное значение 4. Оно достигается на разбиении (1; −2), (−2; 1), (−3; 4), (4; −3), (−5; 7), (7; −5), (−8; 9), (9; −8), (12; −11), (−11; 12) с суммами −1, −1, 1, 1, 2, 2, 1, 1, 1, 1. Ответ: 4.
Пример 5
Каждое из чисел 2, −1, −3, 4, −5, 7, −8, 9, 10, −11 по одному записывают на 10 карточках. Карточки переворачивают и перемешивают. На их чистых сторонах заново пишут по одному каждое из чисел 2, −1, −3, 4, −5, 7, −8, 9, 10, −11. После этого числа на каждой карточке складывают, а полученные десять сумм перемножают.
а) Может ли в результате получиться 0?
б) Может ли в результате получиться 1?
в) Какое наименьшее целое неотрицательное число может в результате получиться?
а) Может ли в результате получиться 0?
б) Может ли в результате получиться 1?
в) Какое наименьшее целое неотрицательное число может в результате получиться?
Показать ответ
а) нет: произведение равно нулю только если на какой-то карточке сумма равна нулю, то есть на ней встретились противоположные числа; в наборе нет ни одной пары противоположных чисел
б) нет: произведение десяти целых чисел равно 1 только если все они равны ±1. Сумма всех десяти сумм равна удвоенной сумме набора, то есть 8; при k слагаемых, равных −1, она равна 10 − 2k, откуда k = 1. Произведение тогда равно (−1)¹ = −1, а это не 1
в) 4; например, если карточки составлены парами (2; −1), (−1; 2), (−3; 4), (4; −3), (−5; 7), (7; −5), (−8; 9), (9; −8), (10; −11), (−11; 10), то суммы равны 1, 1, 1, 1, 2, 2, 1, 1, −1, −1, а их произведение равно 4
Решение
а) Произведение равно нулю ровно тогда, когда хотя бы одна из десяти сумм равна нулю, то есть когда на какой-то карточке оказались противоположные числа. В наборе 2, −1, −3, 4, −5, 7, −8, 9, 10, −11 нет ни одной пары x и −x, поэтому ноль невозможен. Ответ: нет.
б) Если произведение десяти целых чисел равно 1, то каждое из них равно ±1. Сумма всех десяти сумм равна удвоенной сумме набора: 2 · 4 = 8. Если среди сумм ровно k равны −1, то их общая сумма равна 10 − 2k, откуда k = 1. Но 1 нечётно, поэтому произведение равно (−1)1 = −1, а не 1 — противоречие. Ответ: нет.
в) Нулевых сумм нет, поэтому модуль произведения не уменьшается при добавлении очередной карточки; перебор всех разложений на пары даёт наименьшее неотрицательное значение 4. Оно достигается на разбиении (2; −1), (−1; 2), (−3; 4), (4; −3), (−5; 7), (7; −5), (−8; 9), (9; −8), (10; −11), (−11; 10) с суммами 1, 1, 1, 1, 2, 2, 1, 1, −1, −1. Ответ: 4.
б) Если произведение десяти целых чисел равно 1, то каждое из них равно ±1. Сумма всех десяти сумм равна удвоенной сумме набора: 2 · 4 = 8. Если среди сумм ровно k равны −1, то их общая сумма равна 10 − 2k, откуда k = 1. Но 1 нечётно, поэтому произведение равно (−1)1 = −1, а не 1 — противоречие. Ответ: нет.
в) Нулевых сумм нет, поэтому модуль произведения не уменьшается при добавлении очередной карточки; перебор всех разложений на пары даёт наименьшее неотрицательное значение 4. Оно достигается на разбиении (2; −1), (−1; 2), (−3; 4), (4; −3), (−5; 7), (7; −5), (−8; 9), (9; −8), (10; −11), (−11; 10) с суммами 1, 1, 1, 1, 2, 2, 1, 1, −1, −1. Ответ: 4.
Другие темы задания №20
1Каждый следующий в 10 раз больше или меньше: наибольшее число членов2Сумма соседей — одна из трёх: наименьшее число членов3Вдвое меньше либо больше на D: наименьший максимум4Средние без k-го члена: наибольшее M₃5Возрастающая с шагом ≤ 10: наибольшее среднее всех членов6Член больше среднего соседей: наименьшая сумма при n членах7Концы нулевые: наименьший второй член8Числа 1–4 и степенные суммы S₁…S₄9Целые числа: средние всех / положительных / отрицательных10Средние арифметические набора11Средние арифметические набора12Деление на три группы: наименьшее из наибольших средних
Нужен репетитор по математике?
Посмотрите репетиторов, которые ведут занятия в Precettore, или оставьте заявку — подберём сами.
Готовьтесь к ЕГЭ по профильной математике в Precettore
Варианты с автопроверкой, домашние задания от репетитора, онлайн-доска и разбор ошибок — в одном кабинете. Регистрация бесплатная.