Кино и театр: наименьшая доля девочек — задание 20 ЕГЭ по профильной математике
Проценты и округление. 5 примера с ответом и проверкой.
Пример 1
Каждый из группы учащихся сходил в кино или в театр, при этом возможно, что кто-то из них мог сходить и в кино, и в театр. Известно, что в театре мальчиков было не более 711 от общего числа учащихся группы, посетивших театр, а в кино мальчиков было не более 14 от общего числа учащихся группы, посетивших кино.
а) Могло ли быть в группе 12 мальчиков, если дополнительно известно, что всего в группе было 24 учащихся?
б) Какое наибольшее количество мальчиков могло быть в группе, если дополнительно известно, что всего в группе было 24 учащихся?
в) Какую наименьшую долю могли составлять девочки от общего числа учащихся в группе без дополнительного условия пунктов а и б?
а) Могло ли быть в группе 12 мальчиков, если дополнительно известно, что всего в группе было 24 учащихся?
б) Какое наибольшее количество мальчиков могло быть в группе, если дополнительно известно, что всего в группе было 24 учащихся?
в) Какую наименьшую долю могли составлять девочки от общего числа учащихся в группе без дополнительного условия пунктов а и б?
Показать ответ
а) да, например: 12 девочек сходили и в театр, и в кино, 12 мальчиков сходили только в театр, а только в кино не сходил ни один мальчик
б) 16; например: 8 девочек сходили и в театр, и в кино, 14 мальчиков сходили только в театр, 2 — только в кино (всего 24)
в) 12/37; например, в группе из 37 человек 12 девочек сходили и в театр, и в кино, 21 мальчик сходил только в театр, 4 — только в кино
Решение
Мальчику невыгодно идти и в театр, и в кино: он попадает сразу в оба ограничения. Девочке, наоборот, выгодно — она увеличивает оба знаменателя. Пусть в группе G девочек (все ходят и туда, и туда), A мальчиков только в театре и C только в кино. Тогда условия принимают вид 11A ≤ 7(A + G) и 4C ≤ (C + G), то есть A ≤ 7G/4 и C ≤ G/3. Значит число мальчиков B допустимо ⟺ B ≤ ⌊7G/4⌋ + ⌊G/3⌋, где G — число девочек.
а) При 24 учащихся и 12 мальчиках девочек 12: 12 девочек сходили и в театр, и в кино, 12 мальчиков сходили только в театр, а только в кино не сходил ни один мальчик — оба условия выполнены. Ответ: да.
б) Перебирая число девочек, получаем наибольшее допустимое число мальчиков 16: 8 девочек сходили и в театр, и в кино, 14 мальчиков сходили только в театр, 2 — только в кино. Ответ: 16.
в) Из B ≤ 7G/4 + G/3 и n = B + G следует n ≤ G(1 + 7/4 + 1/3), то есть доля девочек G/n не меньше 12/37. Равенство достигается при G = 12: тогда 21 мальчиков ходят только в театр, 4 — только в кино, всего 37 человек. Ответ: 12/37.
а) При 24 учащихся и 12 мальчиках девочек 12: 12 девочек сходили и в театр, и в кино, 12 мальчиков сходили только в театр, а только в кино не сходил ни один мальчик — оба условия выполнены. Ответ: да.
б) Перебирая число девочек, получаем наибольшее допустимое число мальчиков 16: 8 девочек сходили и в театр, и в кино, 14 мальчиков сходили только в театр, 2 — только в кино. Ответ: 16.
в) Из B ≤ 7G/4 + G/3 и n = B + G следует n ≤ G(1 + 7/4 + 1/3), то есть доля девочек G/n не меньше 12/37. Равенство достигается при G = 12: тогда 21 мальчиков ходят только в театр, 4 — только в кино, всего 37 человек. Ответ: 12/37.
Пример 2
Каждый из группы учащихся сходил в кино или в театр, при этом возможно, что кто-то из них мог сходить и в кино, и в театр. Известно, что в театре мальчиков было не более 59 от общего числа учащихся группы, посетивших театр, а в кино мальчиков было не более 37 от общего числа учащихся группы, посетивших кино.
а) Могло ли быть в группе 16 мальчиков, если дополнительно известно, что всего в группе было 27 учащихся?
б) Какое наибольшее количество мальчиков могло быть в группе, если дополнительно известно, что всего в группе было 27 учащихся?
в) Какую наименьшую долю могли составлять девочки от общего числа учащихся в группе без дополнительного условия пунктов а и б?
а) Могло ли быть в группе 16 мальчиков, если дополнительно известно, что всего в группе было 27 учащихся?
б) Какое наибольшее количество мальчиков могло быть в группе, если дополнительно известно, что всего в группе было 27 учащихся?
в) Какую наименьшую долю могли составлять девочки от общего числа учащихся в группе без дополнительного условия пунктов а и б?
Показать ответ
а) да, например: 11 девочек сходили и в театр, и в кино, 13 мальчиков сходили только в театр, 3 — только в кино
б) 17; например: 10 девочек сходили и в театр, и в кино, 12 мальчиков сходили только в театр, 5 — только в кино (всего 27)
в) 1/3; например, в группе из 12 человек 4 девочки сходили и в театр, и в кино, 5 мальчиков сходили только в театр, 3 — только в кино
Решение
Мальчику невыгодно идти и в театр, и в кино: он попадает сразу в оба ограничения. Девочке, наоборот, выгодно — она увеличивает оба знаменателя. Пусть в группе G девочек (все ходят и туда, и туда), A мальчиков только в театре и C только в кино. Тогда условия принимают вид 9A ≤ 5(A + G) и 7C ≤ 3(C + G), то есть A ≤ 5G/4 и C ≤ 3G/4. Значит число мальчиков B допустимо ⟺ B ≤ ⌊5G/4⌋ + ⌊3G/4⌋, где G — число девочек.
а) При 27 учащихся и 16 мальчиках девочек 11: 11 девочек сходили и в театр, и в кино, 13 мальчиков сходили только в театр, 3 — только в кино — оба условия выполнены. Ответ: да.
б) Перебирая число девочек, получаем наибольшее допустимое число мальчиков 17: 10 девочек сходили и в театр, и в кино, 12 мальчиков сходили только в театр, 5 — только в кино. Ответ: 17.
в) Из B ≤ 5G/4 + 3G/4 и n = B + G следует n ≤ G(1 + 5/4 + 3/4), то есть доля девочек G/n не меньше 1/3. Равенство достигается при G = 4: тогда 5 мальчиков ходят только в театр, 3 — только в кино, всего 12 человек. Ответ: 1/3.
а) При 27 учащихся и 16 мальчиках девочек 11: 11 девочек сходили и в театр, и в кино, 13 мальчиков сходили только в театр, 3 — только в кино — оба условия выполнены. Ответ: да.
б) Перебирая число девочек, получаем наибольшее допустимое число мальчиков 17: 10 девочек сходили и в театр, и в кино, 12 мальчиков сходили только в театр, 5 — только в кино. Ответ: 17.
в) Из B ≤ 5G/4 + 3G/4 и n = B + G следует n ≤ G(1 + 5/4 + 3/4), то есть доля девочек G/n не меньше 1/3. Равенство достигается при G = 4: тогда 5 мальчиков ходят только в театр, 3 — только в кино, всего 12 человек. Ответ: 1/3.
Пример 3
Каждый из группы учащихся сходил в кино или в театр, при этом возможно, что кто-то из них мог сходить и в кино, и в театр. Известно, что в театре мальчиков было не более 59 от общего числа учащихся группы, посетивших театр, а в кино мальчиков было не более 14 от общего числа учащихся группы, посетивших кино.
а) Могло ли быть в группе 10 мальчиков, если дополнительно известно, что всего в группе было 28 учащихся?
б) Какое наибольшее количество мальчиков могло быть в группе, если дополнительно известно, что всего в группе было 28 учащихся?
в) Какую наименьшую долю могли составлять девочки от общего числа учащихся в группе без дополнительного условия пунктов а и б?
а) Могло ли быть в группе 10 мальчиков, если дополнительно известно, что всего в группе было 28 учащихся?
б) Какое наибольшее количество мальчиков могло быть в группе, если дополнительно известно, что всего в группе было 28 учащихся?
в) Какую наименьшую долю могли составлять девочки от общего числа учащихся в группе без дополнительного условия пунктов а и б?
Показать ответ
а) да, например: 18 девочек сходили и в театр, и в кино, 10 мальчиков сходили только в театр, а только в кино не сходил ни один мальчик
б) 16; например: 12 девочек сходили и в театр, и в кино, 15 мальчиков сходили только в театр, 1 — только в кино (всего 28)
в) 12/31; например, в группе из 31 человек 12 девочек сходили и в театр, и в кино, 15 мальчиков сходили только в театр, 4 — только в кино
Решение
Мальчику невыгодно идти и в театр, и в кино: он попадает сразу в оба ограничения. Девочке, наоборот, выгодно — она увеличивает оба знаменателя. Пусть в группе G девочек (все ходят и туда, и туда), A мальчиков только в театре и C только в кино. Тогда условия принимают вид 9A ≤ 5(A + G) и 4C ≤ (C + G), то есть A ≤ 5G/4 и C ≤ G/3. Значит число мальчиков B допустимо ⟺ B ≤ ⌊5G/4⌋ + ⌊G/3⌋, где G — число девочек.
а) При 28 учащихся и 10 мальчиках девочек 18: 18 девочек сходили и в театр, и в кино, 10 мальчиков сходили только в театр, а только в кино не сходил ни один мальчик — оба условия выполнены. Ответ: да.
б) Перебирая число девочек, получаем наибольшее допустимое число мальчиков 16: 12 девочек сходили и в театр, и в кино, 15 мальчиков сходили только в театр, 1 — только в кино. Ответ: 16.
в) Из B ≤ 5G/4 + G/3 и n = B + G следует n ≤ G(1 + 5/4 + 1/3), то есть доля девочек G/n не меньше 12/31. Равенство достигается при G = 12: тогда 15 мальчиков ходят только в театр, 4 — только в кино, всего 31 человек. Ответ: 12/31.
а) При 28 учащихся и 10 мальчиках девочек 18: 18 девочек сходили и в театр, и в кино, 10 мальчиков сходили только в театр, а только в кино не сходил ни один мальчик — оба условия выполнены. Ответ: да.
б) Перебирая число девочек, получаем наибольшее допустимое число мальчиков 16: 12 девочек сходили и в театр, и в кино, 15 мальчиков сходили только в театр, 1 — только в кино. Ответ: 16.
в) Из B ≤ 5G/4 + G/3 и n = B + G следует n ≤ G(1 + 5/4 + 1/3), то есть доля девочек G/n не меньше 12/31. Равенство достигается при G = 12: тогда 15 мальчиков ходят только в театр, 4 — только в кино, всего 31 человек. Ответ: 12/31.
Пример 4
Каждый из группы учащихся сходил в кино или в театр, при этом возможно, что кто-то из них мог сходить и в кино, и в театр. Известно, что в театре мальчиков было не более 914 от общего числа учащихся группы, посетивших театр, а в кино мальчиков было не более 37 от общего числа учащихся группы, посетивших кино.
а) Могло ли быть в группе 9 мальчиков, если дополнительно известно, что всего в группе было 21 учащийся?
б) Какое наибольшее количество мальчиков могло быть в группе, если дополнительно известно, что всего в группе было 21 учащийся?
в) Какую наименьшую долю могли составлять девочки от общего числа учащихся в группе без дополнительного условия пунктов а и б?
а) Могло ли быть в группе 9 мальчиков, если дополнительно известно, что всего в группе было 21 учащийся?
б) Какое наибольшее количество мальчиков могло быть в группе, если дополнительно известно, что всего в группе было 21 учащийся?
в) Какую наименьшую долю могли составлять девочки от общего числа учащихся в группе без дополнительного условия пунктов а и б?
Показать ответ
а) да, например: 12 девочек сходили и в театр, и в кино, 9 мальчиков сходили только в театр, а только в кино не сходил ни один мальчик
б) 14; например: 7 девочек сходили и в театр, и в кино, 12 мальчиков сходили только в театр, 2 — только в кино (всего 21)
в) 20/71; например, в группе из 71 человек 20 девочек сходили и в театр, и в кино, 36 мальчиков сходили только в театр, 15 — только в кино
Решение
Мальчику невыгодно идти и в театр, и в кино: он попадает сразу в оба ограничения. Девочке, наоборот, выгодно — она увеличивает оба знаменателя. Пусть в группе G девочек (все ходят и туда, и туда), A мальчиков только в театре и C только в кино. Тогда условия принимают вид 14A ≤ 9(A + G) и 7C ≤ 3(C + G), то есть A ≤ 9G/5 и C ≤ 3G/4. Значит число мальчиков B допустимо ⟺ B ≤ ⌊9G/5⌋ + ⌊3G/4⌋, где G — число девочек.
а) При 21 учащийся и 9 мальчиках девочек 12: 12 девочек сходили и в театр, и в кино, 9 мальчиков сходили только в театр, а только в кино не сходил ни один мальчик — оба условия выполнены. Ответ: да.
б) Перебирая число девочек, получаем наибольшее допустимое число мальчиков 14: 7 девочек сходили и в театр, и в кино, 12 мальчиков сходили только в театр, 2 — только в кино. Ответ: 14.
в) Из B ≤ 9G/5 + 3G/4 и n = B + G следует n ≤ G(1 + 9/5 + 3/4), то есть доля девочек G/n не меньше 20/71. Равенство достигается при G = 20: тогда 36 мальчиков ходят только в театр, 15 — только в кино, всего 71 человек. Ответ: 20/71.
а) При 21 учащийся и 9 мальчиках девочек 12: 12 девочек сходили и в театр, и в кино, 9 мальчиков сходили только в театр, а только в кино не сходил ни один мальчик — оба условия выполнены. Ответ: да.
б) Перебирая число девочек, получаем наибольшее допустимое число мальчиков 14: 7 девочек сходили и в театр, и в кино, 12 мальчиков сходили только в театр, 2 — только в кино. Ответ: 14.
в) Из B ≤ 9G/5 + 3G/4 и n = B + G следует n ≤ G(1 + 9/5 + 3/4), то есть доля девочек G/n не меньше 20/71. Равенство достигается при G = 20: тогда 36 мальчиков ходят только в театр, 15 — только в кино, всего 71 человек. Ответ: 20/71.
Пример 5
Каждый из группы учащихся сходил в кино или в театр, при этом возможно, что кто-то из них мог сходить и в кино, и в театр. Известно, что в театре мальчиков было не более 711 от общего числа учащихся группы, посетивших театр, а в кино мальчиков было не более 14 от общего числа учащихся группы, посетивших кино.
а) Могло ли быть в группе 8 мальчиков, если дополнительно известно, что всего в группе было 19 учащихся?
б) Какое наибольшее количество мальчиков могло быть в группе, если дополнительно известно, что всего в группе было 19 учащихся?
в) Какую наименьшую долю могли составлять девочки от общего числа учащихся в группе без дополнительного условия пунктов а и б?
а) Могло ли быть в группе 8 мальчиков, если дополнительно известно, что всего в группе было 19 учащихся?
б) Какое наибольшее количество мальчиков могло быть в группе, если дополнительно известно, что всего в группе было 19 учащихся?
в) Какую наименьшую долю могли составлять девочки от общего числа учащихся в группе без дополнительного условия пунктов а и б?
Показать ответ
а) да, например: 11 девочек сходили и в театр, и в кино, 8 мальчиков сходили только в театр, а только в кино не сходил ни один мальчик
б) 12; например: 7 девочек сходили и в театр, и в кино, 12 мальчиков сходили только в театр, а только в кино не сходил ни один мальчик (всего 19)
в) 12/37; например, в группе из 37 человек 12 девочек сходили и в театр, и в кино, 21 мальчик сходил только в театр, 4 — только в кино
Решение
Мальчику невыгодно идти и в театр, и в кино: он попадает сразу в оба ограничения. Девочке, наоборот, выгодно — она увеличивает оба знаменателя. Пусть в группе G девочек (все ходят и туда, и туда), A мальчиков только в театре и C только в кино. Тогда условия принимают вид 11A ≤ 7(A + G) и 4C ≤ (C + G), то есть A ≤ 7G/4 и C ≤ G/3. Значит число мальчиков B допустимо ⟺ B ≤ ⌊7G/4⌋ + ⌊G/3⌋, где G — число девочек.
а) При 19 учащихся и 8 мальчиках девочек 11: 11 девочек сходили и в театр, и в кино, 8 мальчиков сходили только в театр, а только в кино не сходил ни один мальчик — оба условия выполнены. Ответ: да.
б) Перебирая число девочек, получаем наибольшее допустимое число мальчиков 12: 7 девочек сходили и в театр, и в кино, 12 мальчиков сходили только в театр, а только в кино не сходил ни один мальчик. Ответ: 12.
в) Из B ≤ 7G/4 + G/3 и n = B + G следует n ≤ G(1 + 7/4 + 1/3), то есть доля девочек G/n не меньше 12/37. Равенство достигается при G = 12: тогда 21 мальчиков ходят только в театр, 4 — только в кино, всего 37 человек. Ответ: 12/37.
а) При 19 учащихся и 8 мальчиках девочек 11: 11 девочек сходили и в театр, и в кино, 8 мальчиков сходили только в театр, а только в кино не сходил ни один мальчик — оба условия выполнены. Ответ: да.
б) Перебирая число девочек, получаем наибольшее допустимое число мальчиков 12: 7 девочек сходили и в театр, и в кино, 12 мальчиков сходили только в театр, а только в кино не сходил ни один мальчик. Ответ: 12.
в) Из B ≤ 7G/4 + G/3 и n = B + G следует n ≤ G(1 + 7/4 + 1/3), то есть доля девочек G/n не меньше 12/37. Равенство достигается при G = 12: тогда 21 мальчиков ходят только в театр, 4 — только в кино, всего 37 человек. Ответ: 12/37.
Другие темы задания №20
1Каждый следующий в 10 раз больше или меньше: наибольшее число членов2Сумма соседей — одна из трёх: наименьшее число членов3Вдвое меньше либо больше на D: наименьший максимум4Средние без k-го члена: наибольшее M₃5Возрастающая с шагом ≤ 10: наибольшее среднее всех членов6Член больше среднего соседей: наименьшая сумма при n членах7Концы нулевые: наименьший второй член8Числа 1–4 и степенные суммы S₁…S₄9Целые числа: средние всех / положительных / отрицательных10Средние арифметические набора11Средние арифметические набора12Деление на три группы: наименьшее из наибольших средних
Нужен репетитор по математике?
Посмотрите репетиторов, которые ведут занятия в Precettore, или оставьте заявку — подберём сами.
Готовьтесь к ЕГЭ по профильной математике в Precettore
Варианты с автопроверкой, домашние задания от репетитора, онлайн-доска и разбор ошибок — в одном кабинете. Регистрация бесплатная.