Красные кратны 7, зелёные кратны 5: наименьшее количество красных — задание 20 ЕГЭ по профильной математике
Доска: набор чисел с ограничением на сумму. 5 примера с ответом и проверкой.
Пример 1
На доске написано 30 натуральных чисел. Какие-то из них красные, а какие-то зелёные. Красные числа кратны 7, а зелёные числа кратны 5. Все красные числа отличаются друг от друга, как и все зелёные. Но между красными и зелёными могут быть одинаковые.
а) Может ли сумма всех чисел, записанных на доске, быть меньше 2325, если на доске написаны только кратные 5 числа?
б) Может ли сумма чисел быть 1401, если только одно число красное?
в) Найдите наименьшее количество красных чисел, которое может быть при сумме 1401.
а) Может ли сумма всех чисел, записанных на доске, быть меньше 2325, если на доске написаны только кратные 5 числа?
б) Может ли сумма чисел быть 1401, если только одно число красное?
в) Найдите наименьшее количество красных чисел, которое может быть при сумме 1401.
Показать ответ
а) да, например 1 красное число 35 и 29 зелёных чисел 5, 10, …, 145: сумма равна 2210 < 2325
б) нет: если красное число одно, то зелёных 29, они различны и кратны 5, поэтому их сумма не меньше 5·(1 + 2 + … + 29) = 2175 > 1401
в) 12; например красные 7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56, 63, 70, 77, 84 и зелёные 5, 10, 15, 20, …
Решение
Пусть красных чисел r, тогда зелёных 30 − r. Красные различны и кратны 7, поэтому их сумма равна 7A, где A — сумма r различных натуральных чисел, то есть A ≥ r(r + 1)/2. Аналогично сумма зелёных равна 5B, где B ≥ (30 − r)(30 − r + 1)/2.
а) Если все числа кратны 5, то красные кратны 35. При r = 1 наименьшая сумма равна 35·(1 + … + 1) + 5·(1 + … + 29) = 2210, что меньше 2325.
б) При r = 1 сумма зелёных не меньше 5·(1 + 2 + … + 29) = 2175, а это уже больше 1401.
в) Наименьшая сумма при r красных равна 7·r(r + 1)/2 + 5·(30 − r)(30 − r + 1)/2. При r = 11 она равна 1412 > 1401, поэтому красных не меньше 12. При r = 12 сумма 1401 достигается: красные 7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56, 63, 70, 77, 84, зелёные 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55, 60, 65, 70, 75, 80, 85, 90.
Ответ: 12.
а) Если все числа кратны 5, то красные кратны 35. При r = 1 наименьшая сумма равна 35·(1 + … + 1) + 5·(1 + … + 29) = 2210, что меньше 2325.
б) При r = 1 сумма зелёных не меньше 5·(1 + 2 + … + 29) = 2175, а это уже больше 1401.
в) Наименьшая сумма при r красных равна 7·r(r + 1)/2 + 5·(30 − r)(30 − r + 1)/2. При r = 11 она равна 1412 > 1401, поэтому красных не меньше 12. При r = 12 сумма 1401 достигается: красные 7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56, 63, 70, 77, 84, зелёные 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55, 60, 65, 70, 75, 80, 85, 90.
Ответ: 12.
Пример 2
На доске написано 28 натуральных чисел. Какие-то из них красные, а какие-то зелёные. Красные числа кратны 7, а зелёные числа кратны 5. Все красные числа отличаются друг от друга, как и все зелёные. Но между красными и зелёными могут быть одинаковые.
а) Может ли сумма всех чисел, записанных на доске, быть меньше 2030, если на доске написаны только кратные 5 числа?
б) Может ли сумма чисел быть 1265, если только одно число красное?
в) Найдите наименьшее количество красных чисел, которое может быть при сумме 1265.
а) Может ли сумма всех чисел, записанных на доске, быть меньше 2030, если на доске написаны только кратные 5 числа?
б) Может ли сумма чисел быть 1265, если только одно число красное?
в) Найдите наименьшее количество красных чисел, которое может быть при сумме 1265.
Показать ответ
а) да, например 1 красное число 35 и 27 зелёных чисел 5, 10, …, 135: сумма равна 1925 < 2030
б) нет: если красное число одно, то зелёных 27, они различны и кратны 5, поэтому их сумма не меньше 5·(1 + 2 + … + 27) = 1890 > 1265
в) 9; например красные 7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56, 63 и зелёные 5, 10, 15, 20, …
Решение
Пусть красных чисел r, тогда зелёных 28 − r. Красные различны и кратны 7, поэтому их сумма равна 7A, где A — сумма r различных натуральных чисел, то есть A ≥ r(r + 1)/2. Аналогично сумма зелёных равна 5B, где B ≥ (28 − r)(28 − r + 1)/2.
а) Если все числа кратны 5, то красные кратны 35. При r = 1 наименьшая сумма равна 35·(1 + … + 1) + 5·(1 + … + 27) = 1925, что меньше 2030.
б) При r = 1 сумма зелёных не меньше 5·(1 + 2 + … + 27) = 1890, а это уже больше 1265.
в) Наименьшая сумма при r красных равна 7·r(r + 1)/2 + 5·(28 − r)(28 − r + 1)/2. При r = 8 она равна 1302 > 1265, поэтому красных не меньше 9. При r = 9 сумма 1265 достигается: красные 7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56, 63, зелёные 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55, 60, 65, 70, 75, 80, 85, 90, 95.
Ответ: 9.
а) Если все числа кратны 5, то красные кратны 35. При r = 1 наименьшая сумма равна 35·(1 + … + 1) + 5·(1 + … + 27) = 1925, что меньше 2030.
б) При r = 1 сумма зелёных не меньше 5·(1 + 2 + … + 27) = 1890, а это уже больше 1265.
в) Наименьшая сумма при r красных равна 7·r(r + 1)/2 + 5·(28 − r)(28 − r + 1)/2. При r = 8 она равна 1302 > 1265, поэтому красных не меньше 9. При r = 9 сумма 1265 достигается: красные 7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56, 63, зелёные 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55, 60, 65, 70, 75, 80, 85, 90, 95.
Ответ: 9.
Пример 3
На доске написано 24 натуральных чисел. Какие-то из них красные, а какие-то зелёные. Красные числа кратны 7, а зелёные числа кратны 5. Все красные числа отличаются друг от друга, как и все зелёные. Но между красными и зелёными могут быть одинаковые.
а) Может ли сумма всех чисел, записанных на доске, быть меньше 1500, если на доске написаны только кратные 5 числа?
б) Может ли сумма чисел быть 932, если только одно число красное?
в) Найдите наименьшее количество красных чисел, которое может быть при сумме 932.
а) Может ли сумма всех чисел, записанных на доске, быть меньше 1500, если на доске написаны только кратные 5 числа?
б) Может ли сумма чисел быть 932, если только одно число красное?
в) Найдите наименьшее количество красных чисел, которое может быть при сумме 932.
Показать ответ
а) да, например 1 красное число 35 и 23 зелёных числа 5, 10, …, 115: сумма равна 1415 < 1500
б) нет: если красное число одно, то зелёных 23, они различны и кратны 5, поэтому их сумма не меньше 5·(1 + 2 + … + 23) = 1380 > 932
в) 8; например красные 7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56 и зелёные 5, 10, 15, 20, …
Решение
Пусть красных чисел r, тогда зелёных 24 − r. Красные различны и кратны 7, поэтому их сумма равна 7A, где A — сумма r различных натуральных чисел, то есть A ≥ r(r + 1)/2. Аналогично сумма зелёных равна 5B, где B ≥ (24 − r)(24 − r + 1)/2.
а) Если все числа кратны 5, то красные кратны 35. При r = 1 наименьшая сумма равна 35·(1 + … + 1) + 5·(1 + … + 23) = 1415, что меньше 1500.
б) При r = 1 сумма зелёных не меньше 5·(1 + 2 + … + 23) = 1380, а это уже больше 932.
в) Наименьшая сумма при r красных равна 7·r(r + 1)/2 + 5·(24 − r)(24 − r + 1)/2. При r = 7 она равна 961 > 932, поэтому красных не меньше 8. При r = 8 сумма 932 достигается: красные 7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56, зелёные 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55, 60, 65, 70, 75, 80.
Ответ: 8.
а) Если все числа кратны 5, то красные кратны 35. При r = 1 наименьшая сумма равна 35·(1 + … + 1) + 5·(1 + … + 23) = 1415, что меньше 1500.
б) При r = 1 сумма зелёных не меньше 5·(1 + 2 + … + 23) = 1380, а это уже больше 932.
в) Наименьшая сумма при r красных равна 7·r(r + 1)/2 + 5·(24 − r)(24 − r + 1)/2. При r = 7 она равна 961 > 932, поэтому красных не меньше 8. При r = 8 сумма 932 достигается: красные 7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56, зелёные 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55, 60, 65, 70, 75, 80.
Ответ: 8.
Пример 4
На доске написано 24 натуральных чисел. Какие-то из них красные, а какие-то зелёные. Красные числа кратны 7, а зелёные числа кратны 5. Все красные числа отличаются друг от друга, как и все зелёные. Но между красными и зелёными могут быть одинаковые.
а) Может ли сумма всех чисел, записанных на доске, быть меньше 1500, если на доске написаны только кратные 5 числа?
б) Может ли сумма чисел быть 910, если только одно число красное?
в) Найдите наименьшее количество красных чисел, которое может быть при сумме 910.
а) Может ли сумма всех чисел, записанных на доске, быть меньше 1500, если на доске написаны только кратные 5 числа?
б) Может ли сумма чисел быть 910, если только одно число красное?
в) Найдите наименьшее количество красных чисел, которое может быть при сумме 910.
Показать ответ
а) да, например 1 красное число 35 и 23 зелёных числа 5, 10, …, 115: сумма равна 1415 < 1500
б) нет: если красное число одно, то зелёных 23, они различны и кратны 5, поэтому их сумма не меньше 5·(1 + 2 + … + 23) = 1380 > 910
в) 10; например красные 7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56, 63, 70 и зелёные 5, 10, 15, 20, …
Решение
Пусть красных чисел r, тогда зелёных 24 − r. Красные различны и кратны 7, поэтому их сумма равна 7A, где A — сумма r различных натуральных чисел, то есть A ≥ r(r + 1)/2. Аналогично сумма зелёных равна 5B, где B ≥ (24 − r)(24 − r + 1)/2.
а) Если все числа кратны 5, то красные кратны 35. При r = 1 наименьшая сумма равна 35·(1 + … + 1) + 5·(1 + … + 23) = 1415, что меньше 1500.
б) При r = 1 сумма зелёных не меньше 5·(1 + 2 + … + 23) = 1380, а это уже больше 910.
в) Наименьшая сумма при r красных равна 7·r(r + 1)/2 + 5·(24 − r)(24 − r + 1)/2. При r = 9 она равна 915 > 910, поэтому красных не меньше 10. При r = 10 сумма 910 достигается: красные 7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56, 63, 70, зелёные 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55, 60, 65, 70.
Ответ: 10.
а) Если все числа кратны 5, то красные кратны 35. При r = 1 наименьшая сумма равна 35·(1 + … + 1) + 5·(1 + … + 23) = 1415, что меньше 1500.
б) При r = 1 сумма зелёных не меньше 5·(1 + 2 + … + 23) = 1380, а это уже больше 910.
в) Наименьшая сумма при r красных равна 7·r(r + 1)/2 + 5·(24 − r)(24 − r + 1)/2. При r = 9 она равна 915 > 910, поэтому красных не меньше 10. При r = 10 сумма 910 достигается: красные 7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56, 63, 70, зелёные 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55, 60, 65, 70.
Ответ: 10.
Пример 5
На доске написано 24 натуральных чисел. Какие-то из них красные, а какие-то зелёные. Красные числа кратны 7, а зелёные числа кратны 5. Все красные числа отличаются друг от друга, как и все зелёные. Но между красными и зелёными могут быть одинаковые.
а) Может ли сумма всех чисел, записанных на доске, быть меньше 1500, если на доске написаны только кратные 5 числа?
б) Может ли сумма чисел быть 915, если только одно число красное?
в) Найдите наименьшее количество красных чисел, которое может быть при сумме 915.
а) Может ли сумма всех чисел, записанных на доске, быть меньше 1500, если на доске написаны только кратные 5 числа?
б) Может ли сумма чисел быть 915, если только одно число красное?
в) Найдите наименьшее количество красных чисел, которое может быть при сумме 915.
Показать ответ
а) да, например 1 красное число 35 и 23 зелёных числа 5, 10, …, 115: сумма равна 1415 < 1500
б) нет: если красное число одно, то зелёных 23, они различны и кратны 5, поэтому их сумма не меньше 5·(1 + 2 + … + 23) = 1380 > 915
в) 9; например красные 7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56, 63 и зелёные 5, 10, 15, 20, …
Решение
Пусть красных чисел r, тогда зелёных 24 − r. Красные различны и кратны 7, поэтому их сумма равна 7A, где A — сумма r различных натуральных чисел, то есть A ≥ r(r + 1)/2. Аналогично сумма зелёных равна 5B, где B ≥ (24 − r)(24 − r + 1)/2.
а) Если все числа кратны 5, то красные кратны 35. При r = 1 наименьшая сумма равна 35·(1 + … + 1) + 5·(1 + … + 23) = 1415, что меньше 1500.
б) При r = 1 сумма зелёных не меньше 5·(1 + 2 + … + 23) = 1380, а это уже больше 915.
в) Наименьшая сумма при r красных равна 7·r(r + 1)/2 + 5·(24 − r)(24 − r + 1)/2. При r = 8 она равна 932 > 915, поэтому красных не меньше 9. При r = 9 сумма 915 достигается: красные 7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56, 63, зелёные 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55, 60, 65, 70, 75.
Ответ: 9.
а) Если все числа кратны 5, то красные кратны 35. При r = 1 наименьшая сумма равна 35·(1 + … + 1) + 5·(1 + … + 23) = 1415, что меньше 1500.
б) При r = 1 сумма зелёных не меньше 5·(1 + 2 + … + 23) = 1380, а это уже больше 915.
в) Наименьшая сумма при r красных равна 7·r(r + 1)/2 + 5·(24 − r)(24 − r + 1)/2. При r = 8 она равна 932 > 915, поэтому красных не меньше 9. При r = 9 сумма 915 достигается: красные 7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56, 63, зелёные 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55, 60, 65, 70, 75.
Ответ: 9.
Другие темы задания №20
1Каждый следующий в 10 раз больше или меньше: наибольшее число членов2Сумма соседей — одна из трёх: наименьшее число членов3Вдвое меньше либо больше на D: наименьший максимум4Средние без k-го члена: наибольшее M₃5Возрастающая с шагом ≤ 10: наибольшее среднее всех членов6Член больше среднего соседей: наименьшая сумма при n членах7Концы нулевые: наименьший второй член8Числа 1–4 и степенные суммы S₁…S₄9Целые числа: средние всех / положительных / отрицательных10Средние арифметические набора11Средние арифметические набора12Деление на три группы: наименьшее из наибольших средних
Нужен репетитор по математике?
Посмотрите репетиторов, которые ведут занятия в Precettore, или оставьте заявку — подберём сами.
Готовьтесь к ЕГЭ по профильной математике в Precettore
Варианты с автопроверкой, домашние задания от репетитора, онлайн-доска и разбор ошибок — в одном кабинете. Регистрация бесплатная.