Кролики и порции: наибольшее число кроликов — задание 20 ЕГЭ по профильной математике
Сюжетные задачи с перебором. 5 примера с ответом и проверкой.
Пример 1
В школьном живом уголке 4 ученика кормят кроликов. Каждый ученик насыпает нескольким кроликам (хотя бы одному, но не всем) порцию корма. При этом первый ученик даёт порции по 100 г, второй — по 200 г, третий — по 300 г, четвёртый — по 400 г, а какие-то кролики могут остаться без корма.
а) Может ли оказаться, что кроликов было 18 и все они получили одинаковое количество корма?
б) Может ли оказаться, что кроликов было 18 и все кролики получили разное количество корма?
в) Какое наибольшее количество кроликов могло быть в живом уголке, если известно, что каждый ученик засыпал корм ровно 3 кроликам и все кролики получили разное количество корма?
а) Может ли оказаться, что кроликов было 18 и все они получили одинаковое количество корма?
б) Может ли оказаться, что кроликов было 18 и все кролики получили разное количество корма?
в) Какое наибольшее количество кроликов могло быть в живом уголке, если известно, что каждый ученик засыпал корм ровно 3 кроликам и все кролики получили разное количество корма?
Показать ответ
а) да: пусть 1 кролик получает корм от 2-го, 3-го ученика, а остальные 17 — от 1-го, 4-го; тогда каждый кролик получит по 500 г
б) нет: каждый кролик получает сумму порций тех учеников, которые его покормили, то есть одно из значений от 0 до 1000 г с шагом 100 г — всего 11 значений. Кроликов же 18, то есть больше, чем 11, поэтому у каких-то двух количество корма совпадёт
в) 8; например 7 кроликов получают корм от наборов учеников от 1-го; от 2-го; от 1-го, 2-го; от 2-го, 3-го; от 4-го; от 3-го, 4-го; от 1-го, 3-го, 4-го, и ещё один остаётся без корма
Решение
Каждый кролик получает сумму порций тех учеников, которые его покормили, то есть 100 г, умноженные на сумму некоторого подмножества чисел 1, 2, …, 4. Всего таких значений 11 (от 0 до 1000 г).
а) Достаточно разбить кроликов на две группы: одних кормят ученики от 2-го, 3-го, других — от 1-го, 4-го; обе суммы равны 500 г, а каждый ученик покормил кого-то, но не всех.
б) Кроликов 18, а различных значений всего 11 — по принципу Дирихле у каких-то двух кроликов количество корма совпадёт.
в) Если каждый ученик кормит ровно 3 кроликов, роздано 3·10 = 30 сотен граммов. Кролики с кормом получили различные суммы, поэтому их не больше 7; ещё один кролик может остаться без корма. Пример: наборы от 1-го; от 2-го; от 1-го, 2-го; от 2-го, 3-го; от 4-го; от 3-го, 4-го; от 1-го, 3-го, 4-го.
Ответ: 8.
а) Достаточно разбить кроликов на две группы: одних кормят ученики от 2-го, 3-го, других — от 1-го, 4-го; обе суммы равны 500 г, а каждый ученик покормил кого-то, но не всех.
б) Кроликов 18, а различных значений всего 11 — по принципу Дирихле у каких-то двух кроликов количество корма совпадёт.
в) Если каждый ученик кормит ровно 3 кроликов, роздано 3·10 = 30 сотен граммов. Кролики с кормом получили различные суммы, поэтому их не больше 7; ещё один кролик может остаться без корма. Пример: наборы от 1-го; от 2-го; от 1-го, 2-го; от 2-го, 3-го; от 4-го; от 3-го, 4-го; от 1-го, 3-го, 4-го.
Ответ: 8.
Пример 2
В школьном живом уголке 4 ученика кормят кроликов. Каждый ученик насыпает нескольким кроликам (хотя бы одному, но не всем) порцию корма. При этом первый ученик даёт порции по 100 г, второй — по 200 г, третий — по 300 г, четвёртый — по 400 г, а какие-то кролики могут остаться без корма.
а) Может ли оказаться, что кроликов было 15 и все они получили одинаковое количество корма?
б) Может ли оказаться, что кроликов было 15 и все кролики получили разное количество корма?
в) Какое наибольшее количество кроликов могло быть в живом уголке, если известно, что каждый ученик засыпал корм ровно 3 кроликам и все кролики получили разное количество корма?
а) Может ли оказаться, что кроликов было 15 и все они получили одинаковое количество корма?
б) Может ли оказаться, что кроликов было 15 и все кролики получили разное количество корма?
в) Какое наибольшее количество кроликов могло быть в живом уголке, если известно, что каждый ученик засыпал корм ровно 3 кроликам и все кролики получили разное количество корма?
Показать ответ
а) да: пусть 1 кролик получает корм от 2-го, 3-го ученика, а остальные 14 — от 1-го, 4-го; тогда каждый кролик получит по 500 г
б) нет: каждый кролик получает сумму порций тех учеников, которые его покормили, то есть одно из значений от 0 до 1000 г с шагом 100 г — всего 11 значений. Кроликов же 15, то есть больше, чем 11, поэтому у каких-то двух количество корма совпадёт
в) 8; например 7 кроликов получают корм от наборов учеников от 1-го; от 2-го; от 1-го, 2-го; от 2-го, 3-го; от 4-го; от 3-го, 4-го; от 1-го, 3-го, 4-го, и ещё один остаётся без корма
Решение
Каждый кролик получает сумму порций тех учеников, которые его покормили, то есть 100 г, умноженные на сумму некоторого подмножества чисел 1, 2, …, 4. Всего таких значений 11 (от 0 до 1000 г).
а) Достаточно разбить кроликов на две группы: одних кормят ученики от 2-го, 3-го, других — от 1-го, 4-го; обе суммы равны 500 г, а каждый ученик покормил кого-то, но не всех.
б) Кроликов 15, а различных значений всего 11 — по принципу Дирихле у каких-то двух кроликов количество корма совпадёт.
в) Если каждый ученик кормит ровно 3 кроликов, роздано 3·10 = 30 сотен граммов. Кролики с кормом получили различные суммы, поэтому их не больше 7; ещё один кролик может остаться без корма. Пример: наборы от 1-го; от 2-го; от 1-го, 2-го; от 2-го, 3-го; от 4-го; от 3-го, 4-го; от 1-го, 3-го, 4-го.
Ответ: 8.
а) Достаточно разбить кроликов на две группы: одних кормят ученики от 2-го, 3-го, других — от 1-го, 4-го; обе суммы равны 500 г, а каждый ученик покормил кого-то, но не всех.
б) Кроликов 15, а различных значений всего 11 — по принципу Дирихле у каких-то двух кроликов количество корма совпадёт.
в) Если каждый ученик кормит ровно 3 кроликов, роздано 3·10 = 30 сотен граммов. Кролики с кормом получили различные суммы, поэтому их не больше 7; ещё один кролик может остаться без корма. Пример: наборы от 1-го; от 2-го; от 1-го, 2-го; от 2-го, 3-го; от 4-го; от 3-го, 4-го; от 1-го, 3-го, 4-го.
Ответ: 8.
Пример 3
В школьном живом уголке 4 ученика кормят кроликов. Каждый ученик насыпает нескольким кроликам (хотя бы одному, но не всем) порцию корма. При этом первый ученик даёт порции по 100 г, второй — по 200 г, третий — по 300 г, четвёртый — по 400 г, а какие-то кролики могут остаться без корма.
а) Может ли оказаться, что кроликов было 13 и все они получили одинаковое количество корма?
б) Может ли оказаться, что кроликов было 13 и все кролики получили разное количество корма?
в) Какое наибольшее количество кроликов могло быть в живом уголке, если известно, что каждый ученик засыпал корм ровно 3 кроликам и все кролики получили разное количество корма?
а) Может ли оказаться, что кроликов было 13 и все они получили одинаковое количество корма?
б) Может ли оказаться, что кроликов было 13 и все кролики получили разное количество корма?
в) Какое наибольшее количество кроликов могло быть в живом уголке, если известно, что каждый ученик засыпал корм ровно 3 кроликам и все кролики получили разное количество корма?
Показать ответ
а) да: пусть 1 кролик получает корм от 2-го, 3-го ученика, а остальные 12 — от 1-го, 4-го; тогда каждый кролик получит по 500 г
б) нет: каждый кролик получает сумму порций тех учеников, которые его покормили, то есть одно из значений от 0 до 1000 г с шагом 100 г — всего 11 значений. Кроликов же 13, то есть больше, чем 11, поэтому у каких-то двух количество корма совпадёт
в) 8; например 7 кроликов получают корм от наборов учеников от 1-го; от 2-го; от 1-го, 2-го; от 2-го, 3-го; от 4-го; от 3-го, 4-го; от 1-го, 3-го, 4-го, и ещё один остаётся без корма
Решение
Каждый кролик получает сумму порций тех учеников, которые его покормили, то есть 100 г, умноженные на сумму некоторого подмножества чисел 1, 2, …, 4. Всего таких значений 11 (от 0 до 1000 г).
а) Достаточно разбить кроликов на две группы: одних кормят ученики от 2-го, 3-го, других — от 1-го, 4-го; обе суммы равны 500 г, а каждый ученик покормил кого-то, но не всех.
б) Кроликов 13, а различных значений всего 11 — по принципу Дирихле у каких-то двух кроликов количество корма совпадёт.
в) Если каждый ученик кормит ровно 3 кроликов, роздано 3·10 = 30 сотен граммов. Кролики с кормом получили различные суммы, поэтому их не больше 7; ещё один кролик может остаться без корма. Пример: наборы от 1-го; от 2-го; от 1-го, 2-го; от 2-го, 3-го; от 4-го; от 3-го, 4-го; от 1-го, 3-го, 4-го.
Ответ: 8.
а) Достаточно разбить кроликов на две группы: одних кормят ученики от 2-го, 3-го, других — от 1-го, 4-го; обе суммы равны 500 г, а каждый ученик покормил кого-то, но не всех.
б) Кроликов 13, а различных значений всего 11 — по принципу Дирихле у каких-то двух кроликов количество корма совпадёт.
в) Если каждый ученик кормит ровно 3 кроликов, роздано 3·10 = 30 сотен граммов. Кролики с кормом получили различные суммы, поэтому их не больше 7; ещё один кролик может остаться без корма. Пример: наборы от 1-го; от 2-го; от 1-го, 2-го; от 2-го, 3-го; от 4-го; от 3-го, 4-го; от 1-го, 3-го, 4-го.
Ответ: 8.
Пример 4
В школьном живом уголке 4 ученика кормят кроликов. Каждый ученик насыпает нескольким кроликам (хотя бы одному, но не всем) порцию корма. При этом первый ученик даёт порции по 100 г, второй — по 200 г, третий — по 300 г, четвёртый — по 400 г, а какие-то кролики могут остаться без корма.
а) Может ли оказаться, что кроликов было 15 и все они получили одинаковое количество корма?
б) Может ли оказаться, что кроликов было 15 и все кролики получили разное количество корма?
в) Какое наибольшее количество кроликов могло быть в живом уголке, если известно, что каждый ученик засыпал корм ровно 5 кроликам и все кролики получили разное количество корма?
а) Может ли оказаться, что кроликов было 15 и все они получили одинаковое количество корма?
б) Может ли оказаться, что кроликов было 15 и все кролики получили разное количество корма?
в) Какое наибольшее количество кроликов могло быть в живом уголке, если известно, что каждый ученик засыпал корм ровно 5 кроликам и все кролики получили разное количество корма?
Показать ответ
а) да: пусть 1 кролик получает корм от 2-го, 3-го ученика, а остальные 14 — от 1-го, 4-го; тогда каждый кролик получит по 500 г
б) нет: каждый кролик получает сумму порций тех учеников, которые его покормили, то есть одно из значений от 0 до 1000 г с шагом 100 г — всего 11 значений. Кроликов же 15, то есть больше, чем 11, поэтому у каких-то двух количество корма совпадёт
в) 10; например 9 кроликов получают корм от наборов учеников от 1-го; от 2-го; от 1-го, 2-го; от 1-го, 3-го; от 2-го, 4-го; от 3-го, 4-го; от 1-го, 3-го, 4-го; от 2-го, 3-го, 4-го; от 1-го, 2-го, 3-го, 4-го, и ещё один остаётся без корма
Решение
Каждый кролик получает сумму порций тех учеников, которые его покормили, то есть 100 г, умноженные на сумму некоторого подмножества чисел 1, 2, …, 4. Всего таких значений 11 (от 0 до 1000 г).
а) Достаточно разбить кроликов на две группы: одних кормят ученики от 2-го, 3-го, других — от 1-го, 4-го; обе суммы равны 500 г, а каждый ученик покормил кого-то, но не всех.
б) Кроликов 15, а различных значений всего 11 — по принципу Дирихле у каких-то двух кроликов количество корма совпадёт.
в) Если каждый ученик кормит ровно 5 кроликов, роздано 5·10 = 50 сотен граммов. Кролики с кормом получили различные суммы, поэтому их не больше 9; ещё один кролик может остаться без корма. Пример: наборы от 1-го; от 2-го; от 1-го, 2-го; от 1-го, 3-го; от 2-го, 4-го; от 3-го, 4-го; от 1-го, 3-го, 4-го; от 2-го, 3-го, 4-го; от 1-го, 2-го, 3-го, 4-го.
Ответ: 10.
а) Достаточно разбить кроликов на две группы: одних кормят ученики от 2-го, 3-го, других — от 1-го, 4-го; обе суммы равны 500 г, а каждый ученик покормил кого-то, но не всех.
б) Кроликов 15, а различных значений всего 11 — по принципу Дирихле у каких-то двух кроликов количество корма совпадёт.
в) Если каждый ученик кормит ровно 5 кроликов, роздано 5·10 = 50 сотен граммов. Кролики с кормом получили различные суммы, поэтому их не больше 9; ещё один кролик может остаться без корма. Пример: наборы от 1-го; от 2-го; от 1-го, 2-го; от 1-го, 3-го; от 2-го, 4-го; от 3-го, 4-го; от 1-го, 3-го, 4-го; от 2-го, 3-го, 4-го; от 1-го, 2-го, 3-го, 4-го.
Ответ: 10.
Пример 5
В школьном живом уголке 4 ученика кормят кроликов. Каждый ученик насыпает нескольким кроликам (хотя бы одному, но не всем) порцию корма. При этом первый ученик даёт порции по 100 г, второй — по 200 г, третий — по 300 г, четвёртый — по 400 г, а какие-то кролики могут остаться без корма.
а) Может ли оказаться, что кроликов было 13 и все они получили одинаковое количество корма?
б) Может ли оказаться, что кроликов было 13 и все кролики получили разное количество корма?
в) Какое наибольшее количество кроликов могло быть в живом уголке, если известно, что каждый ученик засыпал корм ровно 4 кроликам и все кролики получили разное количество корма?
а) Может ли оказаться, что кроликов было 13 и все они получили одинаковое количество корма?
б) Может ли оказаться, что кроликов было 13 и все кролики получили разное количество корма?
в) Какое наибольшее количество кроликов могло быть в живом уголке, если известно, что каждый ученик засыпал корм ровно 4 кроликам и все кролики получили разное количество корма?
Показать ответ
а) да: пусть 1 кролик получает корм от 2-го, 3-го ученика, а остальные 12 — от 1-го, 4-го; тогда каждый кролик получит по 500 г
б) нет: каждый кролик получает сумму порций тех учеников, которые его покормили, то есть одно из значений от 0 до 1000 г с шагом 100 г — всего 11 значений. Кроликов же 13, то есть больше, чем 11, поэтому у каких-то двух количество корма совпадёт
в) 9; например 8 кроликов получают корм от наборов учеников от 1-го; от 2-го; от 1-го, 2-го; от 1-го, 3-го; от 2-го, 4-го; от 3-го, 4-го; от 1-го, 3-го, 4-го; от 2-го, 3-го, 4-го, и ещё один остаётся без корма
Решение
Каждый кролик получает сумму порций тех учеников, которые его покормили, то есть 100 г, умноженные на сумму некоторого подмножества чисел 1, 2, …, 4. Всего таких значений 11 (от 0 до 1000 г).
а) Достаточно разбить кроликов на две группы: одних кормят ученики от 2-го, 3-го, других — от 1-го, 4-го; обе суммы равны 500 г, а каждый ученик покормил кого-то, но не всех.
б) Кроликов 13, а различных значений всего 11 — по принципу Дирихле у каких-то двух кроликов количество корма совпадёт.
в) Если каждый ученик кормит ровно 4 кроликов, роздано 4·10 = 40 сотен граммов. Кролики с кормом получили различные суммы, поэтому их не больше 8; ещё один кролик может остаться без корма. Пример: наборы от 1-го; от 2-го; от 1-го, 2-го; от 1-го, 3-го; от 2-го, 4-го; от 3-го, 4-го; от 1-го, 3-го, 4-го; от 2-го, 3-го, 4-го.
Ответ: 9.
а) Достаточно разбить кроликов на две группы: одних кормят ученики от 2-го, 3-го, других — от 1-го, 4-го; обе суммы равны 500 г, а каждый ученик покормил кого-то, но не всех.
б) Кроликов 13, а различных значений всего 11 — по принципу Дирихле у каких-то двух кроликов количество корма совпадёт.
в) Если каждый ученик кормит ровно 4 кроликов, роздано 4·10 = 40 сотен граммов. Кролики с кормом получили различные суммы, поэтому их не больше 8; ещё один кролик может остаться без корма. Пример: наборы от 1-го; от 2-го; от 1-го, 2-го; от 1-го, 3-го; от 2-го, 4-го; от 3-го, 4-го; от 1-го, 3-го, 4-го; от 2-го, 3-го, 4-го.
Ответ: 9.
Другие темы задания №20
1Каждый следующий в 10 раз больше или меньше: наибольшее число членов2Сумма соседей — одна из трёх: наименьшее число членов3Вдвое меньше либо больше на D: наименьший максимум4Средние без k-го члена: наибольшее M₃5Возрастающая с шагом ≤ 10: наибольшее среднее всех членов6Член больше среднего соседей: наименьшая сумма при n членах7Концы нулевые: наименьший второй член8Числа 1–4 и степенные суммы S₁…S₄9Целые числа: средние всех / положительных / отрицательных10Средние арифметические набора11Средние арифметические набора12Деление на три группы: наименьшее из наибольших средних
Нужен репетитор по математике?
Посмотрите репетиторов, которые ведут занятия в Precettore, или оставьте заявку — подберём сами.
Готовьтесь к ЕГЭ по профильной математике в Precettore
Варианты с автопроверкой, домашние задания от репетитора, онлайн-доска и разбор ошибок — в одном кабинете. Регистрация бесплатная.