Круг: суммы четвёрок и троек — наибольшее N — задание 20 ЕГЭ по профильной математике
Расстановки и покрытия. 5 примера с ответом и проверкой.
Пример 1
По кругу расставлено N различных натуральных чисел, каждое из которых не превосходит 313. Сумма любых четырёх идущих подряд чисел делится на 4, а сумма любых трёх идущих подряд чисел чётна.
а) Может ли N быть равным 224?
б) Может ли N быть равным 111?
в) Найдите наибольшее значение N.
а) Может ли N быть равным 224?
б) Может ли N быть равным 111?
в) Найдите наибольшее значение N.
Показать ответ
а) нет: все числа обязаны быть чётными, а чётных натуральных чисел, не превосходящих 313, всего 156 — меньше 224
б) нет: при нечётном N остатки по модулю 4 у всех чисел одинаковы, то есть все числа лежат в одном классе (кратные 4 либо дающие остаток 2), а в каждом таком классе не больше 78 чисел — меньше 111
в) 156; например, по кругу 4, 2, 8, 6, 12, 10, …, 312, 310: остатки по модулю 4 чередуются как 0, 2, 0, 2
Решение
Из чётности суммы любых трёх подряд следует aᵢ ≡ aᵢ₊3 (mod 2), а из делимости суммы любых четырёх подряд на 4 — aᵢ ≡ aᵢ₊4 (mod 4), в частности aᵢ ≡ aᵢ₊4 (mod 2). Значит чётность чисел имеет период 3 и период 4, то есть период 1 — она одинакова у всех. Три числа одной чётности дают чётную сумму только если они чётны, поэтому все числа чётны. Чётных чисел, не превосходящих 313, ровно 156: 78 кратных 4 и 78 с остатком 2.
а) 224 > 156, поэтому столько различных чисел просто нет. Ответ: нет.
б) При нечётном N период остатков по модулю 4 равен НОД(4, N) = 1, то есть все числа дают один и тот же остаток. В каждом классе не больше 78 чисел, а 111 больше. Ответ: нет.
в) Больше 156 чётных чисел взять неоткуда, а 156 достигается чередованием классов: 4, 2, 8, 6, 12, 10, …, 312, 310. Любые четыре подряд дают остатки 0, 2, 0, 2 с суммой 4 ≡ 0 (mod 4), а любые три подряд чётны как сумма чётных. Ответ: 156.
а) 224 > 156, поэтому столько различных чисел просто нет. Ответ: нет.
б) При нечётном N период остатков по модулю 4 равен НОД(4, N) = 1, то есть все числа дают один и тот же остаток. В каждом классе не больше 78 чисел, а 111 больше. Ответ: нет.
в) Больше 156 чётных чисел взять неоткуда, а 156 достигается чередованием классов: 4, 2, 8, 6, 12, 10, …, 312, 310. Любые четыре подряд дают остатки 0, 2, 0, 2 с суммой 4 ≡ 0 (mod 4), а любые три подряд чётны как сумма чётных. Ответ: 156.
Пример 2
По кругу расставлено N различных натуральных чисел, каждое из которых не превосходит 425. Сумма любых четырёх идущих подряд чисел делится на 4, а сумма любых трёх идущих подряд чисел чётна.
а) Может ли N быть равным 308?
б) Может ли N быть равным 137?
в) Найдите наибольшее значение N.
а) Может ли N быть равным 308?
б) Может ли N быть равным 137?
в) Найдите наибольшее значение N.
Показать ответ
а) нет: все числа обязаны быть чётными, а чётных натуральных чисел, не превосходящих 425, всего 212 — меньше 308
б) нет: при нечётном N остатки по модулю 4 у всех чисел одинаковы, то есть все числа лежат в одном классе (кратные 4 либо дающие остаток 2), а в каждом таком классе не больше 106 чисел — меньше 137
в) 212; например, по кругу 4, 2, 8, 6, 12, 10, …, 424, 422: остатки по модулю 4 чередуются как 0, 2, 0, 2
Решение
Из чётности суммы любых трёх подряд следует aᵢ ≡ aᵢ₊3 (mod 2), а из делимости суммы любых четырёх подряд на 4 — aᵢ ≡ aᵢ₊4 (mod 4), в частности aᵢ ≡ aᵢ₊4 (mod 2). Значит чётность чисел имеет период 3 и период 4, то есть период 1 — она одинакова у всех. Три числа одной чётности дают чётную сумму только если они чётны, поэтому все числа чётны. Чётных чисел, не превосходящих 425, ровно 212: 106 кратных 4 и 106 с остатком 2.
а) 308 > 212, поэтому столько различных чисел просто нет. Ответ: нет.
б) При нечётном N период остатков по модулю 4 равен НОД(4, N) = 1, то есть все числа дают один и тот же остаток. В каждом классе не больше 106 чисел, а 137 больше. Ответ: нет.
в) Больше 212 чётных чисел взять неоткуда, а 212 достигается чередованием классов: 4, 2, 8, 6, 12, 10, …, 424, 422. Любые четыре подряд дают остатки 0, 2, 0, 2 с суммой 4 ≡ 0 (mod 4), а любые три подряд чётны как сумма чётных. Ответ: 212.
а) 308 > 212, поэтому столько различных чисел просто нет. Ответ: нет.
б) При нечётном N период остатков по модулю 4 равен НОД(4, N) = 1, то есть все числа дают один и тот же остаток. В каждом классе не больше 106 чисел, а 137 больше. Ответ: нет.
в) Больше 212 чётных чисел взять неоткуда, а 212 достигается чередованием классов: 4, 2, 8, 6, 12, 10, …, 424, 422. Любые четыре подряд дают остатки 0, 2, 0, 2 с суммой 4 ≡ 0 (mod 4), а любые три подряд чётны как сумма чётных. Ответ: 212.
Пример 3
По кругу расставлено N различных натуральных чисел, каждое из которых не превосходит 425. Сумма любых четырёх идущих подряд чисел делится на 4, а сумма любых трёх идущих подряд чисел чётна.
а) Может ли N быть равным 253?
б) Может ли N быть равным 149?
в) Найдите наибольшее значение N.
а) Может ли N быть равным 253?
б) Может ли N быть равным 149?
в) Найдите наибольшее значение N.
Показать ответ
а) нет: все числа обязаны быть чётными, а чётных натуральных чисел, не превосходящих 425, всего 212 — меньше 253
б) нет: при нечётном N остатки по модулю 4 у всех чисел одинаковы, то есть все числа лежат в одном классе (кратные 4 либо дающие остаток 2), а в каждом таком классе не больше 106 чисел — меньше 149
в) 212; например, по кругу 4, 2, 8, 6, 12, 10, …, 424, 422: остатки по модулю 4 чередуются как 0, 2, 0, 2
Решение
Из чётности суммы любых трёх подряд следует aᵢ ≡ aᵢ₊3 (mod 2), а из делимости суммы любых четырёх подряд на 4 — aᵢ ≡ aᵢ₊4 (mod 4), в частности aᵢ ≡ aᵢ₊4 (mod 2). Значит чётность чисел имеет период 3 и период 4, то есть период 1 — она одинакова у всех. Три числа одной чётности дают чётную сумму только если они чётны, поэтому все числа чётны. Чётных чисел, не превосходящих 425, ровно 212: 106 кратных 4 и 106 с остатком 2.
а) 253 > 212, поэтому столько различных чисел просто нет. Ответ: нет.
б) При нечётном N период остатков по модулю 4 равен НОД(4, N) = 1, то есть все числа дают один и тот же остаток. В каждом классе не больше 106 чисел, а 149 больше. Ответ: нет.
в) Больше 212 чётных чисел взять неоткуда, а 212 достигается чередованием классов: 4, 2, 8, 6, 12, 10, …, 424, 422. Любые четыре подряд дают остатки 0, 2, 0, 2 с суммой 4 ≡ 0 (mod 4), а любые три подряд чётны как сумма чётных. Ответ: 212.
а) 253 > 212, поэтому столько различных чисел просто нет. Ответ: нет.
б) При нечётном N период остатков по модулю 4 равен НОД(4, N) = 1, то есть все числа дают один и тот же остаток. В каждом классе не больше 106 чисел, а 149 больше. Ответ: нет.
в) Больше 212 чётных чисел взять неоткуда, а 212 достигается чередованием классов: 4, 2, 8, 6, 12, 10, …, 424, 422. Любые четыре подряд дают остатки 0, 2, 0, 2 с суммой 4 ≡ 0 (mod 4), а любые три подряд чётны как сумма чётных. Ответ: 212.
Пример 4
По кругу расставлено N различных натуральных чисел, каждое из которых не превосходит 401. Сумма любых четырёх идущих подряд чисел делится на 4, а сумма любых трёх идущих подряд чисел чётна.
а) Может ли N быть равным 225?
б) Может ли N быть равным 147?
в) Найдите наибольшее значение N.
а) Может ли N быть равным 225?
б) Может ли N быть равным 147?
в) Найдите наибольшее значение N.
Показать ответ
а) нет: все числа обязаны быть чётными, а чётных натуральных чисел, не превосходящих 401, всего 200 — меньше 225
б) нет: при нечётном N остатки по модулю 4 у всех чисел одинаковы, то есть все числа лежат в одном классе (кратные 4 либо дающие остаток 2), а в каждом таком классе не больше 100 чисел — меньше 147
в) 200; например, по кругу 4, 2, 8, 6, 12, 10, …, 400, 398: остатки по модулю 4 чередуются как 0, 2, 0, 2
Решение
Из чётности суммы любых трёх подряд следует aᵢ ≡ aᵢ₊3 (mod 2), а из делимости суммы любых четырёх подряд на 4 — aᵢ ≡ aᵢ₊4 (mod 4), в частности aᵢ ≡ aᵢ₊4 (mod 2). Значит чётность чисел имеет период 3 и период 4, то есть период 1 — она одинакова у всех. Три числа одной чётности дают чётную сумму только если они чётны, поэтому все числа чётны. Чётных чисел, не превосходящих 401, ровно 200: 100 кратных 4 и 100 с остатком 2.
а) 225 > 200, поэтому столько различных чисел просто нет. Ответ: нет.
б) При нечётном N период остатков по модулю 4 равен НОД(4, N) = 1, то есть все числа дают один и тот же остаток. В каждом классе не больше 100 чисел, а 147 больше. Ответ: нет.
в) Больше 200 чётных чисел взять неоткуда, а 200 достигается чередованием классов: 4, 2, 8, 6, 12, 10, …, 400, 398. Любые четыре подряд дают остатки 0, 2, 0, 2 с суммой 4 ≡ 0 (mod 4), а любые три подряд чётны как сумма чётных. Ответ: 200.
а) 225 > 200, поэтому столько различных чисел просто нет. Ответ: нет.
б) При нечётном N период остатков по модулю 4 равен НОД(4, N) = 1, то есть все числа дают один и тот же остаток. В каждом классе не больше 100 чисел, а 147 больше. Ответ: нет.
в) Больше 200 чётных чисел взять неоткуда, а 200 достигается чередованием классов: 4, 2, 8, 6, 12, 10, …, 400, 398. Любые четыре подряд дают остатки 0, 2, 0, 2 с суммой 4 ≡ 0 (mod 4), а любые три подряд чётны как сумма чётных. Ответ: 200.
Пример 5
По кругу расставлено N различных натуральных чисел, каждое из которых не превосходит 425. Сумма любых четырёх идущих подряд чисел делится на 4, а сумма любых трёх идущих подряд чисел чётна.
а) Может ли N быть равным 300?
б) Может ли N быть равным 131?
в) Найдите наибольшее значение N.
а) Может ли N быть равным 300?
б) Может ли N быть равным 131?
в) Найдите наибольшее значение N.
Показать ответ
а) нет: все числа обязаны быть чётными, а чётных натуральных чисел, не превосходящих 425, всего 212 — меньше 300
б) нет: при нечётном N остатки по модулю 4 у всех чисел одинаковы, то есть все числа лежат в одном классе (кратные 4 либо дающие остаток 2), а в каждом таком классе не больше 106 чисел — меньше 131
в) 212; например, по кругу 4, 2, 8, 6, 12, 10, …, 424, 422: остатки по модулю 4 чередуются как 0, 2, 0, 2
Решение
Из чётности суммы любых трёх подряд следует aᵢ ≡ aᵢ₊3 (mod 2), а из делимости суммы любых четырёх подряд на 4 — aᵢ ≡ aᵢ₊4 (mod 4), в частности aᵢ ≡ aᵢ₊4 (mod 2). Значит чётность чисел имеет период 3 и период 4, то есть период 1 — она одинакова у всех. Три числа одной чётности дают чётную сумму только если они чётны, поэтому все числа чётны. Чётных чисел, не превосходящих 425, ровно 212: 106 кратных 4 и 106 с остатком 2.
а) 300 > 212, поэтому столько различных чисел просто нет. Ответ: нет.
б) При нечётном N период остатков по модулю 4 равен НОД(4, N) = 1, то есть все числа дают один и тот же остаток. В каждом классе не больше 106 чисел, а 131 больше. Ответ: нет.
в) Больше 212 чётных чисел взять неоткуда, а 212 достигается чередованием классов: 4, 2, 8, 6, 12, 10, …, 424, 422. Любые четыре подряд дают остатки 0, 2, 0, 2 с суммой 4 ≡ 0 (mod 4), а любые три подряд чётны как сумма чётных. Ответ: 212.
а) 300 > 212, поэтому столько различных чисел просто нет. Ответ: нет.
б) При нечётном N период остатков по модулю 4 равен НОД(4, N) = 1, то есть все числа дают один и тот же остаток. В каждом классе не больше 106 чисел, а 131 больше. Ответ: нет.
в) Больше 212 чётных чисел взять неоткуда, а 212 достигается чередованием классов: 4, 2, 8, 6, 12, 10, …, 424, 422. Любые четыре подряд дают остатки 0, 2, 0, 2 с суммой 4 ≡ 0 (mod 4), а любые три подряд чётны как сумма чётных. Ответ: 212.
Другие темы задания №20
1Каждый следующий в 10 раз больше или меньше: наибольшее число членов2Сумма соседей — одна из трёх: наименьшее число членов3Вдвое меньше либо больше на D: наименьший максимум4Средние без k-го члена: наибольшее M₃5Возрастающая с шагом ≤ 10: наибольшее среднее всех членов6Член больше среднего соседей: наименьшая сумма при n членах7Концы нулевые: наименьший второй член8Числа 1–4 и степенные суммы S₁…S₄9Целые числа: средние всех / положительных / отрицательных10Средние арифметические набора11Средние арифметические набора12Деление на три группы: наименьшее из наибольших средних
Нужен репетитор по математике?
Посмотрите репетиторов, которые ведут занятия в Precettore, или оставьте заявку — подберём сами.
Готовьтесь к ЕГЭ по профильной математике в Precettore
Варианты с автопроверкой, домашние задания от репетитора, онлайн-доска и разбор ошибок — в одном кабинете. Регистрация бесплатная.