Любые два отличаются не более чем втрое — задание 20 ЕГЭ по профильной математике
Доска: набор чисел с ограничением на сумму. 5 примера с ответом и проверкой.
Пример 1
На доске написано несколько (более одного) различных натуральных чисел, причём любые два из них отличаются не более чем в три раза.
а) Может ли на доске быть 6 чисел, сумма которых равна 49?
б) Может ли на доске быть 12 чисел, сумма которых равна 137?
в) Сколько может быть чисел на доске, если их произведение равно 4000?
а) Может ли на доске быть 6 чисел, сумма которых равна 49?
б) Может ли на доске быть 12 чисел, сумма которых равна 137?
в) Сколько может быть чисел на доске, если их произведение равно 4000?
Показать ответ
а) да, например 4, 5, 7, 10, 11, 12
б) нет: если наименьшее из написанных чисел равно m, то все числа лежат между m и 3m, поэтому 12 различных чисел найдётся лишь при 3m − m + 1 ≥ 12, то есть при m ≥ 6. Тогда сумма не меньше 12m + 66 ≥ 138 > 137
в) 2 и 3; например 2: 40 · 100; 3: 10 · 16 · 25
Решение
Пусть наименьшее из написанных чисел равно m. Тогда все числа лежат в промежутке от m до 3m.
а) Пример: 4, 5, 7, 10, 11, 12 — все числа различны, наибольшее не больше 3m, сумма равна 49.
б) Чтобы на доске поместилось 12 различных чисел, нужно 3m − m + 1 ≥ 12, то есть m ≥ 6. Наименьшая возможная сумма 12 различных чисел, не меньших m, равна 12m + 66 и при m ≥ 6 не меньше 138. Значит сумма 137 невозможна.
в) Разложим 4000 на различные множители, лежащие в промежутке от m до 3m. Возможные количества: 2 и 3
2: 40 · 100 = 4000
3: 10 · 16 · 25 = 4000.
Ответ: 2 и 3.
а) Пример: 4, 5, 7, 10, 11, 12 — все числа различны, наибольшее не больше 3m, сумма равна 49.
б) Чтобы на доске поместилось 12 различных чисел, нужно 3m − m + 1 ≥ 12, то есть m ≥ 6. Наименьшая возможная сумма 12 различных чисел, не меньших m, равна 12m + 66 и при m ≥ 6 не меньше 138. Значит сумма 137 невозможна.
в) Разложим 4000 на различные множители, лежащие в промежутке от m до 3m. Возможные количества: 2 и 3
2: 40 · 100 = 4000
3: 10 · 16 · 25 = 4000.
Ответ: 2 и 3.
Пример 2
На доске написано несколько (более одного) различных натуральных чисел, причём любые два из них отличаются не более чем в три раза.
а) Может ли на доске быть 4 числа, сумма которых равна 28?
б) Может ли на доске быть 9 чисел, сумма которых равна 71?
в) Сколько может быть чисел на доске, если их произведение равно 64000?
а) Может ли на доске быть 4 числа, сумма которых равна 28?
б) Может ли на доске быть 9 чисел, сумма которых равна 71?
в) Сколько может быть чисел на доске, если их произведение равно 64000?
Показать ответ
а) да, например 4, 5, 7, 12
б) нет: если наименьшее из написанных чисел равно m, то все числа лежат между m и 3m, поэтому 9 различных чисел найдётся лишь при 3m − m + 1 ≥ 9, то есть при m ≥ 4. Тогда сумма не меньше 9m + 36 ≥ 72 > 71
в) 2 и 3; например 2: 160 · 400; 3: 25 · 40 · 64
Решение
Пусть наименьшее из написанных чисел равно m. Тогда все числа лежат в промежутке от m до 3m.
а) Пример: 4, 5, 7, 12 — все числа различны, наибольшее не больше 3m, сумма равна 28.
б) Чтобы на доске поместилось 9 различных чисел, нужно 3m − m + 1 ≥ 9, то есть m ≥ 4. Наименьшая возможная сумма 9 различных чисел, не меньших m, равна 9m + 36 и при m ≥ 4 не меньше 72. Значит сумма 71 невозможна.
в) Разложим 64000 на различные множители, лежащие в промежутке от m до 3m. Возможные количества: 2 и 3
2: 160 · 400 = 64000
3: 25 · 40 · 64 = 64000.
Ответ: 2 и 3.
а) Пример: 4, 5, 7, 12 — все числа различны, наибольшее не больше 3m, сумма равна 28.
б) Чтобы на доске поместилось 9 различных чисел, нужно 3m − m + 1 ≥ 9, то есть m ≥ 4. Наименьшая возможная сумма 9 различных чисел, не меньших m, равна 9m + 36 и при m ≥ 4 не меньше 72. Значит сумма 71 невозможна.
в) Разложим 64000 на различные множители, лежащие в промежутке от m до 3m. Возможные количества: 2 и 3
2: 160 · 400 = 64000
3: 25 · 40 · 64 = 64000.
Ответ: 2 и 3.
Пример 3
На доске написано несколько (более одного) различных натуральных чисел, причём любые два из них отличаются не более чем в три раза.
а) Может ли на доске быть 6 чисел, сумма которых равна 47?
б) Может ли на доске быть 12 чисел, сумма которых равна 137?
в) Сколько может быть чисел на доске, если их произведение равно 64000?
а) Может ли на доске быть 6 чисел, сумма которых равна 47?
б) Может ли на доске быть 12 чисел, сумма которых равна 137?
в) Сколько может быть чисел на доске, если их произведение равно 64000?
Показать ответ
а) да, например 4, 5, 6, 9, 11, 12
б) нет: если наименьшее из написанных чисел равно m, то все числа лежат между m и 3m, поэтому 12 различных чисел найдётся лишь при 3m − m + 1 ≥ 12, то есть при m ≥ 6. Тогда сумма не меньше 12m + 66 ≥ 138 > 137
в) 2 и 3; например 2: 160 · 400; 3: 25 · 40 · 64
Решение
Пусть наименьшее из написанных чисел равно m. Тогда все числа лежат в промежутке от m до 3m.
а) Пример: 4, 5, 6, 9, 11, 12 — все числа различны, наибольшее не больше 3m, сумма равна 47.
б) Чтобы на доске поместилось 12 различных чисел, нужно 3m − m + 1 ≥ 12, то есть m ≥ 6. Наименьшая возможная сумма 12 различных чисел, не меньших m, равна 12m + 66 и при m ≥ 6 не меньше 138. Значит сумма 137 невозможна.
в) Разложим 64000 на различные множители, лежащие в промежутке от m до 3m. Возможные количества: 2 и 3
2: 160 · 400 = 64000
3: 25 · 40 · 64 = 64000.
Ответ: 2 и 3.
а) Пример: 4, 5, 6, 9, 11, 12 — все числа различны, наибольшее не больше 3m, сумма равна 47.
б) Чтобы на доске поместилось 12 различных чисел, нужно 3m − m + 1 ≥ 12, то есть m ≥ 6. Наименьшая возможная сумма 12 различных чисел, не меньших m, равна 12m + 66 и при m ≥ 6 не меньше 138. Значит сумма 137 невозможна.
в) Разложим 64000 на различные множители, лежащие в промежутке от m до 3m. Возможные количества: 2 и 3
2: 160 · 400 = 64000
3: 25 · 40 · 64 = 64000.
Ответ: 2 и 3.
Пример 4
На доске написано несколько (более одного) различных натуральных чисел, причём любые два из них отличаются не более чем в три раза.
а) Может ли на доске быть 5 чисел, сумма которых равна 41?
б) Может ли на доске быть 8 чисел, сумма которых равна 59?
в) Сколько может быть чисел на доске, если их произведение равно 64000?
а) Может ли на доске быть 5 чисел, сумма которых равна 41?
б) Может ли на доске быть 8 чисел, сумма которых равна 59?
в) Сколько может быть чисел на доске, если их произведение равно 64000?
Показать ответ
а) да, например 4, 5, 9, 11, 12
б) нет: если наименьшее из написанных чисел равно m, то все числа лежат между m и 3m, поэтому 8 различных чисел найдётся лишь при 3m − m + 1 ≥ 8, то есть при m ≥ 4. Тогда сумма не меньше 8m + 28 ≥ 60 > 59
в) 2 и 3; например 2: 160 · 400; 3: 25 · 40 · 64
Решение
Пусть наименьшее из написанных чисел равно m. Тогда все числа лежат в промежутке от m до 3m.
а) Пример: 4, 5, 9, 11, 12 — все числа различны, наибольшее не больше 3m, сумма равна 41.
б) Чтобы на доске поместилось 8 различных чисел, нужно 3m − m + 1 ≥ 8, то есть m ≥ 4. Наименьшая возможная сумма 8 различных чисел, не меньших m, равна 8m + 28 и при m ≥ 4 не меньше 60. Значит сумма 59 невозможна.
в) Разложим 64000 на различные множители, лежащие в промежутке от m до 3m. Возможные количества: 2 и 3
2: 160 · 400 = 64000
3: 25 · 40 · 64 = 64000.
Ответ: 2 и 3.
а) Пример: 4, 5, 9, 11, 12 — все числа различны, наибольшее не больше 3m, сумма равна 41.
б) Чтобы на доске поместилось 8 различных чисел, нужно 3m − m + 1 ≥ 8, то есть m ≥ 4. Наименьшая возможная сумма 8 различных чисел, не меньших m, равна 8m + 28 и при m ≥ 4 не меньше 60. Значит сумма 59 невозможна.
в) Разложим 64000 на различные множители, лежащие в промежутке от m до 3m. Возможные количества: 2 и 3
2: 160 · 400 = 64000
3: 25 · 40 · 64 = 64000.
Ответ: 2 и 3.
Пример 5
На доске написано несколько (более одного) различных натуральных чисел, причём любые два из них отличаются не более чем в три раза.
а) Может ли на доске быть 5 чисел, сумма которых равна 31?
б) Может ли на доске быть 9 чисел, сумма которых равна 71?
в) Сколько может быть чисел на доске, если их произведение равно 8000?
а) Может ли на доске быть 5 чисел, сумма которых равна 31?
б) Может ли на доске быть 9 чисел, сумма которых равна 71?
в) Сколько может быть чисел на доске, если их произведение равно 8000?
Показать ответ
а) да, например 4, 5, 6, 7, 9
б) нет: если наименьшее из написанных чисел равно m, то все числа лежат между m и 3m, поэтому 9 различных чисел найдётся лишь при 3m − m + 1 ≥ 9, то есть при m ≥ 4. Тогда сумма не меньше 9m + 36 ≥ 72 > 71
в) 2 и 3; например 2: 64 · 125; 3: 16 · 20 · 25
Решение
Пусть наименьшее из написанных чисел равно m. Тогда все числа лежат в промежутке от m до 3m.
а) Пример: 4, 5, 6, 7, 9 — все числа различны, наибольшее не больше 3m, сумма равна 31.
б) Чтобы на доске поместилось 9 различных чисел, нужно 3m − m + 1 ≥ 9, то есть m ≥ 4. Наименьшая возможная сумма 9 различных чисел, не меньших m, равна 9m + 36 и при m ≥ 4 не меньше 72. Значит сумма 71 невозможна.
в) Разложим 8000 на различные множители, лежащие в промежутке от m до 3m. Возможные количества: 2 и 3
2: 64 · 125 = 8000
3: 16 · 20 · 25 = 8000.
Ответ: 2 и 3.
а) Пример: 4, 5, 6, 7, 9 — все числа различны, наибольшее не больше 3m, сумма равна 31.
б) Чтобы на доске поместилось 9 различных чисел, нужно 3m − m + 1 ≥ 9, то есть m ≥ 4. Наименьшая возможная сумма 9 различных чисел, не меньших m, равна 9m + 36 и при m ≥ 4 не меньше 72. Значит сумма 71 невозможна.
в) Разложим 8000 на различные множители, лежащие в промежутке от m до 3m. Возможные количества: 2 и 3
2: 64 · 125 = 8000
3: 16 · 20 · 25 = 8000.
Ответ: 2 и 3.
Другие темы задания №20
1Каждый следующий в 10 раз больше или меньше: наибольшее число членов2Сумма соседей — одна из трёх: наименьшее число членов3Вдвое меньше либо больше на D: наименьший максимум4Средние без k-го члена: наибольшее M₃5Возрастающая с шагом ≤ 10: наибольшее среднее всех членов6Член больше среднего соседей: наименьшая сумма при n членах7Концы нулевые: наименьший второй член8Числа 1–4 и степенные суммы S₁…S₄9Целые числа: средние всех / положительных / отрицательных10Средние арифметические набора11Средние арифметические набора12Деление на три группы: наименьшее из наибольших средних
Нужен репетитор по математике?
Посмотрите репетиторов, которые ведут занятия в Precettore, или оставьте заявку — подберём сами.
Готовьтесь к ЕГЭ по профильной математике в Precettore
Варианты с автопроверкой, домашние задания от репетитора, онлайн-доска и разбор ошибок — в одном кабинете. Регистрация бесплатная.