Мальчики и девочки за грибами: наименьшая сумма — задание 20 ЕГЭ по профильной математике
Сравнение групп. 1 пример с ответом и проверкой.
Пример 1
10 мальчиков и 7 девочек пошли в лес за грибами. Известно, что любые 2 девочки набрали больше грибов, чем любые 3 мальчика, но любые 5 мальчиков набрали больше грибов, чем любые 3 девочки.
а) Может ли так случиться, что какая-то девочка набрала меньше грибов, чем какой-нибудь мальчик?
б) Может ли так случиться, что количество найденных грибов у всех детей будет различным?
в) Найдите минимальное возможное количество грибов, собранное всеми детьми суммарно.
а) Может ли так случиться, что какая-то девочка набрала меньше грибов, чем какой-нибудь мальчик?
б) Может ли так случиться, что количество найденных грибов у всех детей будет различным?
в) Найдите минимальное возможное количество грибов, собранное всеми детьми суммарно.
Показать ответ
а) нет: пусть b — наибольшее количество грибов у мальчика, а g — наименьшее у девочки. Из условия «любые 5 мальчиков больше любых 3 девочек» наименьшие мальчики в сумме больше 3 наибольших девочек, поэтому мальчики не могут быть слишком малы; подставляя эту оценку в первое условие («любые 2 девочки больше любых 3 мальчиков»), получаем b < g. Значит каждый мальчик набрал меньше каждой девочки
б) да, например мальчики набрали 84, 85, 86, 87, 88, 89, 90, 91, 92, 93, а девочки — 138, 139, 140, 141, 142, 143, 144: 277 > 276 и 430 > 429
в) 106; например каждый мальчик набрал по 5 грибов, а каждая девочка — по 8
Решение
Упорядочим количества грибов. Условия означают, что сумма 2 наименьших у девочек больше суммы 3 наибольших у мальчиков, и сумма 5 наименьших у мальчиков больше суммы 3 наибольших у девочек.
а) Из второго условия 5·(наименьший мальчик) не меньше суммы 5 наименьших мальчиков, которая больше 3·(наибольшая девочка) — отсюда мальчики не могут быть слишком малы. Подставляя это в первое условие, получаем, что наибольший мальчик меньше наименьшей девочки: каждый мальчик набрал меньше каждой девочки.
б) Пример со всеми различными количествами: мальчики 84, 85, 86, 87, 88, 89, 90, 91, 92, 93, девочки 138, 139, 140, 141, 142, 143, 144.
в) Внутри каждой группы выгодно выровнять количества: если все мальчики набрали по b, а девочки по G, условия принимают вид 2G > 3b и 5b > 3G. Перебирая b, получаем наименьшую сумму 10b + 7G = 106 при b = 5 и G = 8 (2·8 = 16 > 15 и 5·5 = 25 > 24).
Ответ: 106.
а) Из второго условия 5·(наименьший мальчик) не меньше суммы 5 наименьших мальчиков, которая больше 3·(наибольшая девочка) — отсюда мальчики не могут быть слишком малы. Подставляя это в первое условие, получаем, что наибольший мальчик меньше наименьшей девочки: каждый мальчик набрал меньше каждой девочки.
б) Пример со всеми различными количествами: мальчики 84, 85, 86, 87, 88, 89, 90, 91, 92, 93, девочки 138, 139, 140, 141, 142, 143, 144.
в) Внутри каждой группы выгодно выровнять количества: если все мальчики набрали по b, а девочки по G, условия принимают вид 2G > 3b и 5b > 3G. Перебирая b, получаем наименьшую сумму 10b + 7G = 106 при b = 5 и G = 8 (2·8 = 16 > 15 и 5·5 = 25 > 24).
Ответ: 106.
Другие темы задания №20
1Каждый следующий в 10 раз больше или меньше: наибольшее число членов2Сумма соседей — одна из трёх: наименьшее число членов3Вдвое меньше либо больше на D: наименьший максимум4Средние без k-го члена: наибольшее M₃5Возрастающая с шагом ≤ 10: наибольшее среднее всех членов6Член больше среднего соседей: наименьшая сумма при n членах7Концы нулевые: наименьший второй член8Числа 1–4 и степенные суммы S₁…S₄9Целые числа: средние всех / положительных / отрицательных10Средние арифметические набора11Средние арифметические набора12Деление на три группы: наименьшее из наибольших средних
Нужен репетитор по математике?
Посмотрите репетиторов, которые ведут занятия в Precettore, или оставьте заявку — подберём сами.
Готовьтесь к ЕГЭ по профильной математике в Precettore
Варианты с автопроверкой, домашние задания от репетитора, онлайн-доска и разбор ошибок — в одном кабинете. Регистрация бесплатная.