N чисел: чётные или на 3, сумма S: наименьшее количество на 3 — задание 20 ЕГЭ по профильной математике
Доска: набор чисел с ограничением на сумму. 5 примера с ответом и проверкой.
Пример 1
На доске написано 28 различных натуральных чисел, каждое из которых либо чётное, либо его десятичная запись оканчивается на цифру 3. Сумма написанных чисел равна 688.
а) Может ли на доске быть ровно 22 чётных числа?
б) Могут ли ровно 2 числа на доске оканчиваться на 3?
в) Какое наименьшее количество чисел, оканчивающихся на 3, может быть на доске?
а) Может ли на доске быть ровно 22 чётных числа?
б) Могут ли ровно 2 числа на доске оканчиваться на 3?
в) Какое наименьшее количество чисел, оканчивающихся на 3, может быть на доске?
Показать ответ
а) да, например 3, 13, 23, …, 53 и 2, 4, 6, …, 42, 58
б) нет: 2 числа, оканчивающихся на 3, дают не менее 16, а 26 различных чётных чисел — не менее 702; вместе это 718 > 688
в) 4; пример: 3, 13, 23, 33 и 2, 4, 6, …, 46, 64; меньше нельзя — при 2 числа, оканчивающихся на 3, минимальная сумма равна 718 > 688, а количество чисел на 3 обязано быть той же чётности, что и 688
Решение
Числа, оканчивающиеся на 3, нечётны, остальные чётны. Если таких чисел m, то сумма всех чисел имеет ту же чётность, что и m, значит m ≡ 0 (mod 2).
Наименьшая сумма m различных чисел, оканчивающихся на 3, равна 3+13+…+(10m−7) = 5m2−2m; наименьшая сумма (28−m) различных чётных равна 2+4+…+2(28−m) = (28−m)(28−m+1). Итого минимальная сумма набора равна f(m) = 5m2−2m + (28−m)(28−m+1).
f(2) = 718 > 688, f(4) = 672 ≤ 688, а разность 688 − 672 = 16 чётна, поэтому её можно добавить к наибольшему чётному числу. Значит наименьшее количество равно 4.
Наименьшая сумма m различных чисел, оканчивающихся на 3, равна 3+13+…+(10m−7) = 5m2−2m; наименьшая сумма (28−m) различных чётных равна 2+4+…+2(28−m) = (28−m)(28−m+1). Итого минимальная сумма набора равна f(m) = 5m2−2m + (28−m)(28−m+1).
f(2) = 718 > 688, f(4) = 672 ≤ 688, а разность 688 − 672 = 16 чётна, поэтому её можно добавить к наибольшему чётному числу. Значит наименьшее количество равно 4.
Пример 2
На доске написано 24 различных натуральных числа, каждое из которых либо чётное, либо его десятичная запись оканчивается на цифру 3. Сумма написанных чисел равна 504.
а) Может ли на доске быть ровно 20 чётных чисел?
б) Могут ли ровно 2 числа на доске оканчиваться на 3?
в) Какое наименьшее количество чисел, оканчивающихся на 3, может быть на доске?
а) Может ли на доске быть ровно 20 чётных чисел?
б) Могут ли ровно 2 числа на доске оканчиваться на 3?
в) Какое наименьшее количество чисел, оканчивающихся на 3, может быть на доске?
Показать ответ
а) да, например 3, 13, 23, 33 и 2, 4, 6, …, 38, 52
б) нет: 2 числа, оканчивающихся на 3, дают не менее 16, а 22 различных чётных числа — не менее 506; вместе это 522 > 504
в) 4; пример: 3, 13, 23, 33 и 2, 4, 6, …, 38, 52; меньше нельзя — при 2 числа, оканчивающихся на 3, минимальная сумма равна 522 > 504, а количество чисел на 3 обязано быть той же чётности, что и 504
Решение
Числа, оканчивающиеся на 3, нечётны, остальные чётны. Если таких чисел m, то сумма всех чисел имеет ту же чётность, что и m, значит m ≡ 0 (mod 2).
Наименьшая сумма m различных чисел, оканчивающихся на 3, равна 3+13+…+(10m−7) = 5m2−2m; наименьшая сумма (24−m) различных чётных равна 2+4+…+2(24−m) = (24−m)(24−m+1). Итого минимальная сумма набора равна f(m) = 5m2−2m + (24−m)(24−m+1).
f(2) = 522 > 504, f(4) = 492 ≤ 504, а разность 504 − 492 = 12 чётна, поэтому её можно добавить к наибольшему чётному числу. Значит наименьшее количество равно 4.
Наименьшая сумма m различных чисел, оканчивающихся на 3, равна 3+13+…+(10m−7) = 5m2−2m; наименьшая сумма (24−m) различных чётных равна 2+4+…+2(24−m) = (24−m)(24−m+1). Итого минимальная сумма набора равна f(m) = 5m2−2m + (24−m)(24−m+1).
f(2) = 522 > 504, f(4) = 492 ≤ 504, а разность 504 − 492 = 12 чётна, поэтому её можно добавить к наибольшему чётному числу. Значит наименьшее количество равно 4.
Пример 3
На доске написано 27 различных натуральных чисел, каждое из которых либо чётное, либо его десятичная запись оканчивается на цифру 3. Сумма написанных чисел равна 683.
а) Может ли на доске быть ровно 22 чётных числа?
б) Может ли ровно 1 число на доске оканчиваться на 3?
в) Какое наименьшее количество чисел, оканчивающихся на 3, может быть на доске?
а) Может ли на доске быть ровно 22 чётных числа?
б) Может ли ровно 1 число на доске оканчиваться на 3?
в) Какое наименьшее количество чисел, оканчивающихся на 3, может быть на доске?
Показать ответ
а) да, например 3, 13, 23, 33, 43 и 2, 4, 6, …, 42, 106
б) нет: 1 число, оканчивающееся на 3, даёт не менее 3, а 26 различных чётных чисел — не менее 702; вместе это 705 > 683
в) 3; пример: 3, 13, 23 и 2, 4, 6, …, 46, 92; меньше нельзя — при 1 число, оканчивающихся на 3, минимальная сумма равна 705 > 683, а количество чисел на 3 обязано быть той же чётности, что и 683
Решение
Числа, оканчивающиеся на 3, нечётны, остальные чётны. Если таких чисел m, то сумма всех чисел имеет ту же чётность, что и m, значит m ≡ 1 (mod 2).
Наименьшая сумма m различных чисел, оканчивающихся на 3, равна 3+13+…+(10m−7) = 5m2−2m; наименьшая сумма (27−m) различных чётных равна 2+4+…+2(27−m) = (27−m)(27−m+1). Итого минимальная сумма набора равна f(m) = 5m2−2m + (27−m)(27−m+1).
f(1) = 705 > 683, f(3) = 639 ≤ 683, а разность 683 − 639 = 44 чётна, поэтому её можно добавить к наибольшему чётному числу. Значит наименьшее количество равно 3.
Наименьшая сумма m различных чисел, оканчивающихся на 3, равна 3+13+…+(10m−7) = 5m2−2m; наименьшая сумма (27−m) различных чётных равна 2+4+…+2(27−m) = (27−m)(27−m+1). Итого минимальная сумма набора равна f(m) = 5m2−2m + (27−m)(27−m+1).
f(1) = 705 > 683, f(3) = 639 ≤ 683, а разность 683 − 639 = 44 чётна, поэтому её можно добавить к наибольшему чётному числу. Значит наименьшее количество равно 3.
Пример 4
На доске написано 31 различное натуральное число, каждое из которых либо чётное, либо его десятичная запись оканчивается на цифру 3. Сумма написанных чисел равна 828.
а) Может ли на доске быть ровно 25 чётных чисел?
б) Могут ли ровно 2 числа на доске оканчиваться на 3?
в) Какое наименьшее количество чисел, оканчивающихся на 3, может быть на доске?
а) Может ли на доске быть ровно 25 чётных чисел?
б) Могут ли ровно 2 числа на доске оканчиваться на 3?
в) Какое наименьшее количество чисел, оканчивающихся на 3, может быть на доске?
Показать ответ
а) да, например 3, 13, 23, …, 53 и 2, 4, 6, …, 48, 60
б) нет: 2 числа, оканчивающихся на 3, дают не менее 16, а 29 различных чётных чисел — не менее 870; вместе это 886 > 828
в) 4; пример: 3, 13, 23, 33 и 2, 4, 6, …, 54; меньше нельзя — при 2 числа, оканчивающихся на 3, минимальная сумма равна 886 > 828, а количество чисел на 3 обязано быть той же чётности, что и 828
Решение
Числа, оканчивающиеся на 3, нечётны, остальные чётны. Если таких чисел m, то сумма всех чисел имеет ту же чётность, что и m, значит m ≡ 0 (mod 2).
Наименьшая сумма m различных чисел, оканчивающихся на 3, равна 3+13+…+(10m−7) = 5m2−2m; наименьшая сумма (31−m) различных чётных равна 2+4+…+2(31−m) = (31−m)(31−m+1). Итого минимальная сумма набора равна f(m) = 5m2−2m + (31−m)(31−m+1).
f(2) = 886 > 828, f(4) = 828 ≤ 828, а разность 828 − 828 = 0 чётна, поэтому её можно добавить к наибольшему чётному числу. Значит наименьшее количество равно 4.
Наименьшая сумма m различных чисел, оканчивающихся на 3, равна 3+13+…+(10m−7) = 5m2−2m; наименьшая сумма (31−m) различных чётных равна 2+4+…+2(31−m) = (31−m)(31−m+1). Итого минимальная сумма набора равна f(m) = 5m2−2m + (31−m)(31−m+1).
f(2) = 886 > 828, f(4) = 828 ≤ 828, а разность 828 − 828 = 0 чётна, поэтому её можно добавить к наибольшему чётному числу. Значит наименьшее количество равно 4.
Пример 5
На доске написано 32 различных натуральных числа, каждое из которых либо чётное, либо его десятичная запись оканчивается на цифру 3. Сумма написанных чисел равна 943.
а) Может ли на доске быть ровно 27 чётных чисел?
б) Могут ли ровно 2 числа на доске оканчиваться на 3?
в) Какое наименьшее количество чисел, оканчивающихся на 3, может быть на доске?
а) Может ли на доске быть ровно 27 чётных чисел?
б) Могут ли ровно 2 числа на доске оканчиваться на 3?
в) Какое наименьшее количество чисел, оканчивающихся на 3, может быть на доске?
Показать ответ
а) да, например 3, 13, 23, 33, 43 и 2, 4, 6, …, 52, 126
б) нет: числа, оканчивающиеся на 3, нечётны, поэтому сумма всех чисел имеет ту же чётность, что и их количество, а 943 и 2 разной чётности
в) 3; пример: 3, 13, 23 и 2, 4, 6, …, 56, 92; меньше нельзя — при 1 число, оканчивающихся на 3, минимальная сумма равна 995 > 943, а количество чисел на 3 обязано быть той же чётности, что и 943
Решение
Числа, оканчивающиеся на 3, нечётны, остальные чётны. Если таких чисел m, то сумма всех чисел имеет ту же чётность, что и m, значит m ≡ 1 (mod 2).
Наименьшая сумма m различных чисел, оканчивающихся на 3, равна 3+13+…+(10m−7) = 5m2−2m; наименьшая сумма (32−m) различных чётных равна 2+4+…+2(32−m) = (32−m)(32−m+1). Итого минимальная сумма набора равна f(m) = 5m2−2m + (32−m)(32−m+1).
f(1) = 995 > 943, f(3) = 909 ≤ 943, а разность 943 − 909 = 34 чётна, поэтому её можно добавить к наибольшему чётному числу. Значит наименьшее количество равно 3.
Наименьшая сумма m различных чисел, оканчивающихся на 3, равна 3+13+…+(10m−7) = 5m2−2m; наименьшая сумма (32−m) различных чётных равна 2+4+…+2(32−m) = (32−m)(32−m+1). Итого минимальная сумма набора равна f(m) = 5m2−2m + (32−m)(32−m+1).
f(1) = 995 > 943, f(3) = 909 ≤ 943, а разность 943 − 909 = 34 чётна, поэтому её можно добавить к наибольшему чётному числу. Значит наименьшее количество равно 3.
Другие темы задания №20
1Каждый следующий в 10 раз больше или меньше: наибольшее число членов2Сумма соседей — одна из трёх: наименьшее число членов3Вдвое меньше либо больше на D: наименьший максимум4Средние без k-го члена: наибольшее M₃5Возрастающая с шагом ≤ 10: наибольшее среднее всех членов6Член больше среднего соседей: наименьшая сумма при n членах7Концы нулевые: наименьший второй член8Числа 1–4 и степенные суммы S₁…S₄9Целые числа: средние всех / положительных / отрицательных10Средние арифметические набора11Средние арифметические набора12Деление на три группы: наименьшее из наибольших средних
Нужен репетитор по математике?
Посмотрите репетиторов, которые ведут занятия в Precettore, или оставьте заявку — подберём сами.
Готовьтесь к ЕГЭ по профильной математике в Precettore
Варианты с автопроверкой, домашние задания от репетитора, онлайн-доска и разбор ошибок — в одном кабинете. Регистрация бесплатная.