N чисел на c₁ или c₂, сумма S: наименьшее количество на c₂ — задание 20 ЕГЭ по профильной математике
Доска: набор чисел с ограничением на сумму. 5 примера с ответом и проверкой.
Пример 1
На доске написано 26 различных натуральных чисел, десятичная запись каждого из которых оканчивается или на цифру 7, или на цифру 1. Сумма написанных чисел равна 1958.
а) Может ли на доске быть поровну чисел, оканчивающихся на 7 и на 1?
б) Могут ли ровно 4 числа на доске оканчиваться на 1?
в) Какое наименьшее количество чисел, оканчивающихся на 1, может быть на доске?
а) Может ли на доске быть поровну чисел, оканчивающихся на 7 и на 1?
б) Могут ли ровно 4 числа на доске оканчиваться на 1?
в) Какое наименьшее количество чисел, оканчивающихся на 1, может быть на доске?
Показать ответ
а) нет: если на 1 оканчивается b чисел, то сумма всех чисел сравнима с 26·7 + b·(1−7) по модулю 10, откуда b даёт остаток 4 при делении на 5, а 13 такого остатка не даёт
б) нет: 4 числа, оканчивающихся на 1, дают не менее 64, а 22 различных числа, оканчивающихся на 7, — не менее 2464; вместе 2528 > 1958
в) 9; пример: 1, 11, 21, …, 81 и 7, 17, 27, …, 157, 277; меньше нельзя — ближайшее меньшее допустимое количество 4 даёт сумму не меньше 2528 > 1958
Решение
Пусть на 1 оканчивается b чисел, тогда на 7 — (26−b). Сумма всех чисел по модулю 10 равна (26−b)·7 + b·1, поэтому остаток b по модулю 5 определён однозначно: b ≡ 4 (mod 5).
Наименьшая сумма b различных чисел, оканчивающихся на 1, равна 1 + (1+10) + … = b·1 + 5b(b−1); аналогично для второго класса. Минимальная сумма набора f(b) = (26−b)·7 + 5(26−b)(26−b−1) + b·1 + 5b(b−1).
f(4) = 2528 > 1958, f(9) = 1848 ≤ 1958, а разность 1958 − 1848 = 110 кратна 10, поэтому её добавляем к наибольшему числу. Ответ: 9.
Наименьшая сумма b различных чисел, оканчивающихся на 1, равна 1 + (1+10) + … = b·1 + 5b(b−1); аналогично для второго класса. Минимальная сумма набора f(b) = (26−b)·7 + 5(26−b)(26−b−1) + b·1 + 5b(b−1).
f(4) = 2528 > 1958, f(9) = 1848 ≤ 1958, а разность 1958 − 1848 = 110 кратна 10, поэтому её добавляем к наибольшему числу. Ответ: 9.
Пример 2
На доске написано 28 различных натуральных чисел, десятичная запись каждого из которых оканчивается или на цифру 3, или на цифру 9. Сумма написанных чисел равна 2056.
а) Может ли на доске быть поровну чисел, оканчивающихся на 3 и на 9?
б) Могут ли ровно 7 чисел на доске оканчиваться на 9?
в) Какое наименьшее количество чисел, оканчивающихся на 9, может быть на доске?
а) Может ли на доске быть поровну чисел, оканчивающихся на 3 и на 9?
б) Могут ли ровно 7 чисел на доске оканчиваться на 9?
в) Какое наименьшее количество чисел, оканчивающихся на 9, может быть на доске?
Показать ответ
а) нет: если на 9 оканчивается b чисел, то сумма всех чисел сравнима с 28·3 + b·(9−3) по модулю 10, откуда b даёт остаток 2 при делении на 5, а 14 такого остатка не даёт
б) нет: 7 чисел, оканчивающихся на 9, дают не менее 273, а 21 различное число, оканчивающихся на 3, — не менее 2163; вместе 2436 > 2056
в) 12; пример: 9, 19, 29, …, 119 и 3, 13, 23, …, 143, 193; меньше нельзя — ближайшее меньшее допустимое количество 7 даёт сумму не меньше 2436 > 2056
Решение
Пусть на 9 оканчивается b чисел, тогда на 3 — (28−b). Сумма всех чисел по модулю 10 равна (28−b)·3 + b·9, поэтому остаток b по модулю 5 определён однозначно: b ≡ 2 (mod 5).
Наименьшая сумма b различных чисел, оканчивающихся на 9, равна 9 + (9+10) + … = b·9 + 5b(b−1); аналогично для второго класса. Минимальная сумма набора f(b) = (28−b)·3 + 5(28−b)(28−b−1) + b·9 + 5b(b−1).
f(7) = 2436 > 2056, f(12) = 2016 ≤ 2056, а разность 2056 − 2016 = 40 кратна 10, поэтому её добавляем к наибольшему числу. Ответ: 12.
Наименьшая сумма b различных чисел, оканчивающихся на 9, равна 9 + (9+10) + … = b·9 + 5b(b−1); аналогично для второго класса. Минимальная сумма набора f(b) = (28−b)·3 + 5(28−b)(28−b−1) + b·9 + 5b(b−1).
f(7) = 2436 > 2056, f(12) = 2016 ≤ 2056, а разность 2056 − 2016 = 40 кратна 10, поэтому её добавляем к наибольшему числу. Ответ: 12.
Пример 3
На доске написано 26 различных натуральных чисел, десятичная запись каждого из которых оканчивается или на цифру 2, или на цифру 6. Сумма написанных чисел равна 2090.
а) Может ли на доске быть поровну чисел, оканчивающихся на 2 и на 6?
б) Могут ли ровно 2 числа на доске оканчиваться на 6?
в) Какое наименьшее количество чисел, оканчивающихся на 6, может быть на доске?
а) Может ли на доске быть поровну чисел, оканчивающихся на 2 и на 6?
б) Могут ли ровно 2 числа на доске оканчиваться на 6?
в) Какое наименьшее количество чисел, оканчивающихся на 6, может быть на доске?
Показать ответ
а) нет: если на 6 оканчивается b чисел, то сумма всех чисел сравнима с 26·2 + b·(6−2) по модулю 10, откуда b даёт остаток 2 при делении на 5, а 13 такого остатка не даёт
б) нет: 2 числа, оканчивающихся на 6, дают не менее 22, а 24 различных числа, оканчивающихся на 2, — не менее 2808; вместе 2830 > 2090
в) 7; пример: 6, 16, 26, …, 66 и 2, 12, 22, …, 172, 272; меньше нельзя — ближайшее меньшее допустимое количество 2 даёт сумму не меньше 2830 > 2090
Решение
Пусть на 6 оканчивается b чисел, тогда на 2 — (26−b). Сумма всех чисел по модулю 10 равна (26−b)·2 + b·6, поэтому остаток b по модулю 5 определён однозначно: b ≡ 2 (mod 5).
Наименьшая сумма b различных чисел, оканчивающихся на 6, равна 6 + (6+10) + … = b·6 + 5b(b−1); аналогично для второго класса. Минимальная сумма набора f(b) = (26−b)·2 + 5(26−b)(26−b−1) + b·6 + 5b(b−1).
f(2) = 2830 > 2090, f(7) = 2000 ≤ 2090, а разность 2090 − 2000 = 90 кратна 10, поэтому её добавляем к наибольшему числу. Ответ: 7.
Наименьшая сумма b различных чисел, оканчивающихся на 6, равна 6 + (6+10) + … = b·6 + 5b(b−1); аналогично для второго класса. Минимальная сумма набора f(b) = (26−b)·2 + 5(26−b)(26−b−1) + b·6 + 5b(b−1).
f(2) = 2830 > 2090, f(7) = 2000 ≤ 2090, а разность 2090 − 2000 = 90 кратна 10, поэтому её добавляем к наибольшему числу. Ответ: 7.
Пример 4
На доске написано 28 различных натуральных чисел, десятичная запись каждого из которых оканчивается или на цифру 4, или на цифру 6. Сумма написанных чисел равна 2154.
а) Может ли на доске быть поровну чисел, оканчивающихся на 4 и на 6?
б) Могут ли ровно 6 чисел на доске оканчиваться на 6?
в) Какое наименьшее количество чисел, оканчивающихся на 6, может быть на доске?
а) Может ли на доске быть поровну чисел, оканчивающихся на 4 и на 6?
б) Могут ли ровно 6 чисел на доске оканчиваться на 6?
в) Какое наименьшее количество чисел, оканчивающихся на 6, может быть на доске?
Показать ответ
а) нет: если на 6 оканчивается b чисел, то сумма всех чисел сравнима с 28·4 + b·(6−4) по модулю 10, откуда b даёт остаток 1 при делении на 5, а 14 такого остатка не даёт
б) нет: 6 чисел, оканчивающихся на 6, дают не менее 186, а 22 различных числа, оканчивающихся на 4, — не менее 2398; вместе 2584 > 2154
в) 11; пример: 6, 16, 26, …, 106 и 4, 14, 24, …, 154, 274; меньше нельзя — ближайшее меньшее допустимое количество 6 даёт сумму не меньше 2584 > 2154
Решение
Пусть на 6 оканчивается b чисел, тогда на 4 — (28−b). Сумма всех чисел по модулю 10 равна (28−b)·4 + b·6, поэтому остаток b по модулю 5 определён однозначно: b ≡ 1 (mod 5).
Наименьшая сумма b различных чисел, оканчивающихся на 6, равна 6 + (6+10) + … = b·6 + 5b(b−1); аналогично для второго класса. Минимальная сумма набора f(b) = (28−b)·4 + 5(28−b)(28−b−1) + b·6 + 5b(b−1).
f(6) = 2584 > 2154, f(11) = 2044 ≤ 2154, а разность 2154 − 2044 = 110 кратна 10, поэтому её добавляем к наибольшему числу. Ответ: 11.
Наименьшая сумма b различных чисел, оканчивающихся на 6, равна 6 + (6+10) + … = b·6 + 5b(b−1); аналогично для второго класса. Минимальная сумма набора f(b) = (28−b)·4 + 5(28−b)(28−b−1) + b·6 + 5b(b−1).
f(6) = 2584 > 2154, f(11) = 2044 ≤ 2154, а разность 2154 − 2044 = 110 кратна 10, поэтому её добавляем к наибольшему числу. Ответ: 11.
Пример 5
На доске написано 28 различных натуральных чисел, десятичная запись каждого из которых оканчивается или на цифру 1, или на цифру 7. Сумма написанных чисел равна 2158.
а) Может ли на доске быть поровну чисел, оканчивающихся на 1 и на 7?
б) Могут ли ровно 5 чисел на доске оканчиваться на 7?
в) Какое наименьшее количество чисел, оканчивающихся на 7, может быть на доске?
а) Может ли на доске быть поровну чисел, оканчивающихся на 1 и на 7?
б) Могут ли ровно 5 чисел на доске оканчиваться на 7?
в) Какое наименьшее количество чисел, оканчивающихся на 7, может быть на доске?
Показать ответ
а) нет: если на 7 оканчивается b чисел, то сумма всех чисел сравнима с 28·1 + b·(7−1) по модулю 10, откуда b даёт остаток 0 при делении на 5, а 14 такого остатка не даёт
б) нет: 5 чисел, оканчивающихся на 7, дают не менее 135, а 23 различных числа, оканчивающихся на 1, — не менее 2553; вместе 2688 > 2158
в) 10; пример: 7, 17, 27, …, 97 и 1, 11, 21, …, 161, 261; меньше нельзя — ближайшее меньшее допустимое количество 5 даёт сумму не меньше 2688 > 2158
Решение
Пусть на 7 оканчивается b чисел, тогда на 1 — (28−b). Сумма всех чисел по модулю 10 равна (28−b)·1 + b·7, поэтому остаток b по модулю 5 определён однозначно: b ≡ 0 (mod 5).
Наименьшая сумма b различных чисел, оканчивающихся на 7, равна 7 + (7+10) + … = b·7 + 5b(b−1); аналогично для второго класса. Минимальная сумма набора f(b) = (28−b)·1 + 5(28−b)(28−b−1) + b·7 + 5b(b−1).
f(5) = 2688 > 2158, f(10) = 2068 ≤ 2158, а разность 2158 − 2068 = 90 кратна 10, поэтому её добавляем к наибольшему числу. Ответ: 10.
Наименьшая сумма b различных чисел, оканчивающихся на 7, равна 7 + (7+10) + … = b·7 + 5b(b−1); аналогично для второго класса. Минимальная сумма набора f(b) = (28−b)·1 + 5(28−b)(28−b−1) + b·7 + 5b(b−1).
f(5) = 2688 > 2158, f(10) = 2068 ≤ 2158, а разность 2158 − 2068 = 90 кратна 10, поэтому её добавляем к наибольшему числу. Ответ: 10.
Другие темы задания №20
1Каждый следующий в 10 раз больше или меньше: наибольшее число членов2Сумма соседей — одна из трёх: наименьшее число членов3Вдвое меньше либо больше на D: наименьший максимум4Средние без k-го члена: наибольшее M₃5Возрастающая с шагом ≤ 10: наибольшее среднее всех членов6Член больше среднего соседей: наименьшая сумма при n членах7Концы нулевые: наименьший второй член8Числа 1–4 и степенные суммы S₁…S₄9Целые числа: средние всех / положительных / отрицательных10Средние арифметические набора11Средние арифметические набора12Деление на три группы: наименьшее из наибольших средних
Нужен репетитор по математике?
Посмотрите репетиторов, которые ведут занятия в Precettore, или оставьте заявку — подберём сами.
Готовьтесь к ЕГЭ по профильной математике в Precettore
Варианты с автопроверкой, домашние задания от репетитора, онлайн-доска и разбор ошибок — в одном кабинете. Регистрация бесплатная.