n единиц и знаки «+»: для скольких n сумма достижима — задание 20 ЕГЭ по профильной математике
Игры и операции с инвариантом. 5 примера с ответом и проверкой.
Пример 1
На доске написано n единиц подряд. Между некоторыми из них расставляют знаки «+» и считают получившуюся сумму. Например, если было написано 12 единиц, то можно получить сумму 147: 1+11+11+111+11+1+1+1.
а) Можно ли получить сумму 198, если n = 54?
б) Можно ли получить сумму 198, если n = 69?
в) Для скольких значений n можно получить сумму 198?
а) Можно ли получить сумму 198, если n = 54?
б) Можно ли получить сумму 198, если n = 69?
в) Для скольких значений n можно получить сумму 198?
Показать ответ
а) да, например 11 + … + 11 (16 слагаемых) + 1 + … + 1 (22 слагаемых) = 198
б) нет: каждое слагаемое состоит из единиц, а число из L единиц даёт при делении на 9 такой же остаток, как L; поэтому сумма сравнима с n по модулю 9, а 198 и 69 дают разные остатки (0 и 6)
в) 20
Решение
Слагаемые — это числа вида 1, 11, 111, …; число из L единиц равно (10^L − 1)/9 и даёт при делении на 9 тот же остаток, что и L. Значит вся сумма сравнима с общим количеством единиц n по модулю 9 — это сразу отвечает на пункт б).
Далее, если использовано k слагаемых-единиц, a слагаемых «11» и b слагаемых «111», то 198 = k + 11a + 111b, а n = k + 2a + 3b. Перебирая b и a, получаем все подходящие n; их оказывается 20.
Далее, если использовано k слагаемых-единиц, a слагаемых «11» и b слагаемых «111», то 198 = k + 11a + 111b, а n = k + 2a + 3b. Перебирая b и a, получаем все подходящие n; их оказывается 20.
Пример 2
На доске написано n единиц подряд. Между некоторыми из них расставляют знаки «+» и считают получившуюся сумму. Например, если было написано 12 единиц, то можно получить сумму 147: 1+11+11+111+11+1+1+1.
а) Можно ли получить сумму 180, если n = 180?
б) Можно ли получить сумму 180, если n = 76?
в) Для скольких значений n можно получить сумму 180?
а) Можно ли получить сумму 180, если n = 180?
б) Можно ли получить сумму 180, если n = 76?
в) Для скольких значений n можно получить сумму 180?
Показать ответ
а) да, например 1 + … + 1 (180 слагаемых) = 180
б) нет: каждое слагаемое состоит из единиц, а число из L единиц даёт при делении на 9 такой же остаток, как L; поэтому сумма сравнима с n по модулю 9, а 180 и 76 дают разные остатки (0 и 4)
в) 19
Решение
Слагаемые — это числа вида 1, 11, 111, …; число из L единиц равно (10^L − 1)/9 и даёт при делении на 9 тот же остаток, что и L. Значит вся сумма сравнима с общим количеством единиц n по модулю 9 — это сразу отвечает на пункт б).
Далее, если использовано k слагаемых-единиц, a слагаемых «11» и b слагаемых «111», то 180 = k + 11a + 111b, а n = k + 2a + 3b. Перебирая b и a, получаем все подходящие n; их оказывается 19.
Далее, если использовано k слагаемых-единиц, a слагаемых «11» и b слагаемых «111», то 180 = k + 11a + 111b, а n = k + 2a + 3b. Перебирая b и a, получаем все подходящие n; их оказывается 19.
Пример 3
На доске написано n единиц подряд. Между некоторыми из них расставляют знаки «+» и считают получившуюся сумму. Например, если было написано 12 единиц, то можно получить сумму 147: 1+11+11+111+11+1+1+1.
а) Можно ли получить сумму 264, если n = 39?
б) Можно ли получить сумму 264, если n = 154?
в) Для скольких значений n можно получить сумму 264?
а) Можно ли получить сумму 264, если n = 39?
б) Можно ли получить сумму 264, если n = 154?
в) Для скольких значений n можно получить сумму 264?
Показать ответ
а) да, например 111 + 11 + … + 11 (13 слагаемых) + 1 + … + 1 (10 слагаемых) = 264
б) нет: каждое слагаемое состоит из единиц, а число из L единиц даёт при делении на 9 такой же остаток, как L; поэтому сумма сравнима с n по модулю 9, а 264 и 154 дают разные остатки (3 и 1)
в) 28
Решение
Слагаемые — это числа вида 1, 11, 111, …; число из L единиц равно (10^L − 1)/9 и даёт при делении на 9 тот же остаток, что и L. Значит вся сумма сравнима с общим количеством единиц n по модулю 9 — это сразу отвечает на пункт б).
Далее, если использовано k слагаемых-единиц, a слагаемых «11» и b слагаемых «111», то 264 = k + 11a + 111b, а n = k + 2a + 3b. Перебирая b и a, получаем все подходящие n; их оказывается 28.
Далее, если использовано k слагаемых-единиц, a слагаемых «11» и b слагаемых «111», то 264 = k + 11a + 111b, а n = k + 2a + 3b. Перебирая b и a, получаем все подходящие n; их оказывается 28.
Пример 4
На доске написано n единиц подряд. Между некоторыми из них расставляют знаки «+» и считают получившуюся сумму. Например, если было написано 12 единиц, то можно получить сумму 147: 1+11+11+111+11+1+1+1.
а) Можно ли получить сумму 180, если n = 126?
б) Можно ли получить сумму 180, если n = 154?
в) Для скольких значений n можно получить сумму 180?
а) Можно ли получить сумму 180, если n = 126?
б) Можно ли получить сумму 180, если n = 154?
в) Для скольких значений n можно получить сумму 180?
Показать ответ
а) да, например 11 + … + 11 (6 слагаемых) + 1 + … + 1 (114 слагаемых) = 180
б) нет: каждое слагаемое состоит из единиц, а число из L единиц даёт при делении на 9 такой же остаток, как L; поэтому сумма сравнима с n по модулю 9, а 180 и 154 дают разные остатки (0 и 1)
в) 19
Решение
Слагаемые — это числа вида 1, 11, 111, …; число из L единиц равно (10^L − 1)/9 и даёт при делении на 9 тот же остаток, что и L. Значит вся сумма сравнима с общим количеством единиц n по модулю 9 — это сразу отвечает на пункт б).
Далее, если использовано k слагаемых-единиц, a слагаемых «11» и b слагаемых «111», то 180 = k + 11a + 111b, а n = k + 2a + 3b. Перебирая b и a, получаем все подходящие n; их оказывается 19.
Далее, если использовано k слагаемых-единиц, a слагаемых «11» и b слагаемых «111», то 180 = k + 11a + 111b, а n = k + 2a + 3b. Перебирая b и a, получаем все подходящие n; их оказывается 19.
Пример 5
На доске написано n единиц подряд. Между некоторыми из них расставляют знаки «+» и считают получившуюся сумму. Например, если было написано 12 единиц, то можно получить сумму 147: 1+11+11+111+11+1+1+1.
а) Можно ли получить сумму 231, если n = 141?
б) Можно ли получить сумму 231, если n = 45?
в) Для скольких значений n можно получить сумму 231?
а) Можно ли получить сумму 231, если n = 141?
б) Можно ли получить сумму 231, если n = 45?
в) Для скольких значений n можно получить сумму 231?
Показать ответ
а) да, например 11 + … + 11 (10 слагаемых) + 1 + … + 1 (121 слагаемое) = 231
б) нет: каждое слагаемое состоит из единиц, а число из L единиц даёт при делении на 9 такой же остаток, как L; поэтому сумма сравнима с n по модулю 9, а 231 и 45 дают разные остатки (6 и 0)
в) 24
Решение
Слагаемые — это числа вида 1, 11, 111, …; число из L единиц равно (10^L − 1)/9 и даёт при делении на 9 тот же остаток, что и L. Значит вся сумма сравнима с общим количеством единиц n по модулю 9 — это сразу отвечает на пункт б).
Далее, если использовано k слагаемых-единиц, a слагаемых «11» и b слагаемых «111», то 231 = k + 11a + 111b, а n = k + 2a + 3b. Перебирая b и a, получаем все подходящие n; их оказывается 24.
Далее, если использовано k слагаемых-единиц, a слагаемых «11» и b слагаемых «111», то 231 = k + 11a + 111b, а n = k + 2a + 3b. Перебирая b и a, получаем все подходящие n; их оказывается 24.
Другие темы задания №20
1Каждый следующий в 10 раз больше или меньше: наибольшее число членов2Сумма соседей — одна из трёх: наименьшее число членов3Вдвое меньше либо больше на D: наименьший максимум4Средние без k-го члена: наибольшее M₃5Возрастающая с шагом ≤ 10: наибольшее среднее всех членов6Член больше среднего соседей: наименьшая сумма при n членах7Концы нулевые: наименьший второй член8Числа 1–4 и степенные суммы S₁…S₄9Целые числа: средние всех / положительных / отрицательных10Средние арифметические набора11Средние арифметические набора12Деление на три группы: наименьшее из наибольших средних
Нужен репетитор по математике?
Посмотрите репетиторов, которые ведут занятия в Precettore, или оставьте заявку — подберём сами.
Готовьтесь к ЕГЭ по профильной математике в Precettore
Варианты с автопроверкой, домашние задания от репетитора, онлайн-доска и разбор ошибок — в одном кабинете. Регистрация бесплатная.