N различных, сумма S: наименьшее количество кратных d — задание 20 ЕГЭ по профильной математике
Доска: набор чисел с ограничением на сумму. 5 примера с ответом и проверкой.
Пример 1
На доске написано 23 различных натуральных числа, сумма которых равна 291.
а) Может ли оказаться, что на доске написано число 67?
б) Может ли оказаться, что на доске нет числа 8?
в) Какое наименьшее количество чисел, кратных 6, может быть на доске?
а) Может ли оказаться, что на доске написано число 67?
б) Может ли оказаться, что на доске нет числа 8?
в) Какое наименьшее количество чисел, кратных 6, может быть на доске?
Показать ответ
а) нет: остальные 22 различных натуральных числа дают не менее 253, поэтому наибольшее число на доске не превосходит 38 < 67
б) нет: 23 различных натуральных числа без числа 8 дают в сумме не менее 292 > 291
в) 2; пример: числа 1, 2, 3, …, 23, в которых 18 заменено на 33; меньше нельзя — каждая следующая замена кратного 6 стоит не меньше 14, а запас суммы равен всего 15
Решение
Наименьшая возможная сумма 23 различных натуральных чисел равна 1+2+…+23 = 276, поэтому «запас» равен 291 − 276 = 15.
Любой набор получается из {1, 2, …, 23} увеличением чисел суммарно на 15. Среди 1…23 ровно 3 числа кратны 6. Чтобы избавиться от кратного, его нужно заменить на некратное число, большее 23; дешевле всего менять наибольшие кратные на наименьшие свободные: стоимости замен равны 7, 14 и 21…
На запас 15 хватает ровно 1 замены, поэтому кратных остаётся 2.
Любой набор получается из {1, 2, …, 23} увеличением чисел суммарно на 15. Среди 1…23 ровно 3 числа кратны 6. Чтобы избавиться от кратного, его нужно заменить на некратное число, большее 23; дешевле всего менять наибольшие кратные на наименьшие свободные: стоимости замен равны 7, 14 и 21…
На запас 15 хватает ровно 1 замены, поэтому кратных остаётся 2.
Пример 2
На доске написано 16 различных натуральных чисел, сумма которых равна 141.
а) Может ли оказаться, что на доске написано число 21?
б) Может ли оказаться, что на доске нет числа 2?
в) Какое наименьшее количество чисел, кратных 8, может быть на доске?
а) Может ли оказаться, что на доске написано число 21?
б) Может ли оказаться, что на доске нет числа 2?
в) Какое наименьшее количество чисел, кратных 8, может быть на доске?
Показать ответ
а) да, например 1, 2, 3, …, 15 и 21
б) нет: 16 различных натуральных чисел без числа 2 дают в сумме не менее 151 > 141
в) 1; пример: числа 1, 2, 3, …, 16, в которых 16 заменено на 21; меньше нельзя — каждая следующая замена кратного 8 стоит не меньше 10, а запас суммы равен всего 5
Решение
Наименьшая возможная сумма 16 различных натуральных чисел равна 1+2+…+16 = 136, поэтому «запас» равен 141 − 136 = 5.
Любой набор получается из {1, 2, …, 16} увеличением чисел суммарно на 5. Среди 1…16 ровно 2 числа кратны 8. Чтобы избавиться от кратного, его нужно заменить на некратное число, большее 16; дешевле всего менять наибольшие кратные на наименьшие свободные: стоимости замен равны 1 и 10…
На запас 5 хватает ровно 1 замены, поэтому кратных остаётся 1.
Любой набор получается из {1, 2, …, 16} увеличением чисел суммарно на 5. Среди 1…16 ровно 2 числа кратны 8. Чтобы избавиться от кратного, его нужно заменить на некратное число, большее 16; дешевле всего менять наибольшие кратные на наименьшие свободные: стоимости замен равны 1 и 10…
На запас 5 хватает ровно 1 замены, поэтому кратных остаётся 1.
Пример 3
На доске написано 15 различных натуральных чисел, сумма которых равна 125.
а) Может ли оказаться, что на доске написано число 60?
б) Может ли оказаться, что на доске нет числа 10?
в) Какое наименьшее количество чисел, кратных 7, может быть на доске?
а) Может ли оказаться, что на доске написано число 60?
б) Может ли оказаться, что на доске нет числа 10?
в) Какое наименьшее количество чисел, кратных 7, может быть на доске?
Показать ответ
а) нет: остальные 14 различных натуральных числа дают не менее 105, поэтому наибольшее число на доске не превосходит 20 < 60
б) нет: 15 различных натуральных чисел без числа 10 дают в сумме не менее 126 > 125
в) 1; пример: числа 1, 2, 3, …, 15, в которых 14 заменено на 19; меньше нельзя — каждая следующая замена кратного 7 стоит не меньше 10, а запас суммы равен всего 5
Решение
Наименьшая возможная сумма 15 различных натуральных чисел равна 1+2+…+15 = 120, поэтому «запас» равен 125 − 120 = 5.
Любой набор получается из {1, 2, …, 15} увеличением чисел суммарно на 5. Среди 1…15 ровно 2 числа кратны 7. Чтобы избавиться от кратного, его нужно заменить на некратное число, большее 15; дешевле всего менять наибольшие кратные на наименьшие свободные: стоимости замен равны 2 и 10…
На запас 5 хватает ровно 1 замены, поэтому кратных остаётся 1.
Любой набор получается из {1, 2, …, 15} увеличением чисел суммарно на 5. Среди 1…15 ровно 2 числа кратны 7. Чтобы избавиться от кратного, его нужно заменить на некратное число, большее 15; дешевле всего менять наибольшие кратные на наименьшие свободные: стоимости замен равны 2 и 10…
На запас 5 хватает ровно 1 замены, поэтому кратных остаётся 1.
Пример 4
На доске написано 26 различных натуральных чисел, сумма которых равна 358.
а) Может ли оказаться, что на доске написано число 47?
б) Может ли оказаться, что на доске нет числа 5?
в) Какое наименьшее количество чисел, кратных 8, может быть на доске?
а) Может ли оказаться, что на доске написано число 47?
б) Может ли оказаться, что на доске нет числа 5?
в) Какое наименьшее количество чисел, кратных 8, может быть на доске?
Показать ответ
а) нет: остальные 25 различных натуральных числа дают не менее 325, поэтому наибольшее число на доске не превосходит 33 < 47
б) нет: 26 различных натуральных чисел без числа 5 дают в сумме не менее 373 > 358
в) 2; пример: числа 1, 2, 3, …, 26, в которых 24 заменено на 31; меньше нельзя — каждая следующая замена кратного 8 стоит не меньше 12, а запас суммы равен всего 7
Решение
Наименьшая возможная сумма 26 различных натуральных чисел равна 1+2+…+26 = 351, поэтому «запас» равен 358 − 351 = 7.
Любой набор получается из {1, 2, …, 26} увеличением чисел суммарно на 7. Среди 1…26 ровно 3 числа кратны 8. Чтобы избавиться от кратного, его нужно заменить на некратное число, большее 26; дешевле всего менять наибольшие кратные на наименьшие свободные: стоимости замен равны 3, 12 и 21…
На запас 7 хватает ровно 1 замены, поэтому кратных остаётся 2.
Любой набор получается из {1, 2, …, 26} увеличением чисел суммарно на 7. Среди 1…26 ровно 3 числа кратны 8. Чтобы избавиться от кратного, его нужно заменить на некратное число, большее 26; дешевле всего менять наибольшие кратные на наименьшие свободные: стоимости замен равны 3, 12 и 21…
На запас 7 хватает ровно 1 замены, поэтому кратных остаётся 2.
Пример 5
На доске написано 21 различное натуральное число, сумма которых равна 238.
а) Может ли оказаться, что на доске написано число 28?
б) Может ли оказаться, что на доске нет числа 7?
в) Какое наименьшее количество чисел, кратных 8, может быть на доске?
а) Может ли оказаться, что на доске написано число 28?
б) Может ли оказаться, что на доске нет числа 7?
в) Какое наименьшее количество чисел, кратных 8, может быть на доске?
Показать ответ
а) да, например 1, 2, 3, …, 20 и 28
б) нет: 21 различное натуральное число без числа 7 дают в сумме не менее 246 > 238
в) 1; пример: числа 1, 2, 3, …, 21, в которых 16 заменено на 23; меньше нельзя — каждая следующая замена кратного 8 стоит не меньше 15, а запас суммы равен всего 7
Решение
Наименьшая возможная сумма 21 различных натуральных чисел равна 1+2+…+21 = 231, поэтому «запас» равен 238 − 231 = 7.
Любой набор получается из {1, 2, …, 21} увеличением чисел суммарно на 7. Среди 1…21 ровно 2 числа кратны 8. Чтобы избавиться от кратного, его нужно заменить на некратное число, большее 21; дешевле всего менять наибольшие кратные на наименьшие свободные: стоимости замен равны 6 и 15…
На запас 7 хватает ровно 1 замены, поэтому кратных остаётся 1.
Любой набор получается из {1, 2, …, 21} увеличением чисел суммарно на 7. Среди 1…21 ровно 2 числа кратны 8. Чтобы избавиться от кратного, его нужно заменить на некратное число, большее 21; дешевле всего менять наибольшие кратные на наименьшие свободные: стоимости замен равны 6 и 15…
На запас 7 хватает ровно 1 замены, поэтому кратных остаётся 1.
Другие темы задания №20
1Каждый следующий в 10 раз больше или меньше: наибольшее число членов2Сумма соседей — одна из трёх: наименьшее число членов3Вдвое меньше либо больше на D: наименьший максимум4Средние без k-го члена: наибольшее M₃5Возрастающая с шагом ≤ 10: наибольшее среднее всех членов6Член больше среднего соседей: наименьшая сумма при n членах7Концы нулевые: наименьший второй член8Числа 1–4 и степенные суммы S₁…S₄9Целые числа: средние всех / положительных / отрицательных10Средние арифметические набора11Средние арифметические набора12Деление на три группы: наименьшее из наибольших средних
Нужен репетитор по математике?
Посмотрите репетиторов, которые ведут занятия в Precettore, или оставьте заявку — подберём сами.
Готовьтесь к ЕГЭ по профильной математике в Precettore
Варианты с автопроверкой, домашние задания от репетитора, онлайн-доска и разбор ошибок — в одном кабинете. Регистрация бесплатная.