Наименьшее число, дающее все числа 1…N — задание 20 ЕГЭ по профильной математике
Операции над записью числа. 5 примера с ответом и проверкой.
Пример 1
Из записи натурального числа вычёркивают несколько цифр (оставшиеся цифры сохраняют свой порядок) и получают новое натуральное число.
а) Приведите пример семизначного числа, вычёркивая цифры которого, можно получить каждое из чисел: 769, 549, 191.
б) Существует ли девятизначное число, вычёркивая цифры которого, можно получить каждое из чисел: 921, 710, 806, 332, 962?
в) Найдите наименьшее число, из которого можно получить все числа от 1 до 40 включительно, вычёркивая из него цифры.
а) Приведите пример семизначного числа, вычёркивая цифры которого, можно получить каждое из чисел: 769, 549, 191.
б) Существует ли девятизначное число, вычёркивая цифры которого, можно получить каждое из чисел: 921, 710, 806, 332, 962?
в) Найдите наименьшее число, из которого можно получить все числа от 1 до 40 включительно, вычёркивая из него цифры.
Показать ответ
а) 1547691
б) нет: поиск кратчайшего числа, из которого получаются все пять данных чисел, даёт 10 цифр — меньше чем 10 цифрами обойтись нельзя, а 9 < 10
в) 1231234056789
Решение
а) Подходит число 1547691: из него вычёркиванием получаются 769, 549, 191.
б) Кратчайшее число, из которого получаются все числа 921, 710, 806, 332, 962, содержит 10 цифр, поэтому 9-значного числа недостаточно.
в) Чтобы получить все числа вида 10a + b при a = 1, …, 3 и b = 0, …, 9, после первого вхождения каждой из цифр 1, …, 3 должны встретиться все десять цифр. Значит длина записи не меньше 3 + 10 = 13. Столько цифр и достаточно: 1231234056789 — здесь сначала идут 1, 2, 3, а затем все десять цифр в порядке 1, 2, 3, 4, 0, 5, 6, 7, 8, 9, причём цифра 4 стоит раньше нуля (это нужно для числа 40).
Ответ: 1231234056789.
б) Кратчайшее число, из которого получаются все числа 921, 710, 806, 332, 962, содержит 10 цифр, поэтому 9-значного числа недостаточно.
в) Чтобы получить все числа вида 10a + b при a = 1, …, 3 и b = 0, …, 9, после первого вхождения каждой из цифр 1, …, 3 должны встретиться все десять цифр. Значит длина записи не меньше 3 + 10 = 13. Столько цифр и достаточно: 1231234056789 — здесь сначала идут 1, 2, 3, а затем все десять цифр в порядке 1, 2, 3, 4, 0, 5, 6, 7, 8, 9, причём цифра 4 стоит раньше нуля (это нужно для числа 40).
Ответ: 1231234056789.
Пример 2
Из записи натурального числа вычёркивают несколько цифр (оставшиеся цифры сохраняют свой порядок) и получают новое натуральное число.
а) Приведите пример семизначного числа, вычёркивая цифры которого, можно получить каждое из чисел: 886, 905, 386.
б) Существует ли девятизначное число, вычёркивая цифры которого, можно получить каждое из чисел: 661, 690, 155, 571, 599?
в) Найдите наименьшее число, из которого можно получить все числа от 1 до 30 включительно, вычёркивая из него цифры.
а) Приведите пример семизначного числа, вычёркивая цифры которого, можно получить каждое из чисел: 886, 905, 386.
б) Существует ли девятизначное число, вычёркивая цифры которого, можно получить каждое из чисел: 661, 690, 155, 571, 599?
в) Найдите наименьшее число, из которого можно получить все числа от 1 до 30 включительно, вычёркивая из него цифры.
Показать ответ
а) 3886905
б) нет: поиск кратчайшего числа, из которого получаются все пять данных чисел, даёт 10 цифр — меньше чем 10 цифрами обойтись нельзя, а 9 < 10
в) 121230456789
Решение
а) Подходит число 3886905: из него вычёркиванием получаются 886, 905, 386.
б) Кратчайшее число, из которого получаются все числа 661, 690, 155, 571, 599, содержит 10 цифр, поэтому 9-значного числа недостаточно.
в) Чтобы получить все числа вида 10a + b при a = 1, …, 2 и b = 0, …, 9, после первого вхождения каждой из цифр 1, …, 2 должны встретиться все десять цифр. Значит длина записи не меньше 2 + 10 = 12. Столько цифр и достаточно: 121230456789 — здесь сначала идут 1, 2, а затем все десять цифр в порядке 1, 2, 3, 0, 4, 5, 6, 7, 8, 9, причём цифра 3 стоит раньше нуля (это нужно для числа 30).
Ответ: 121230456789.
б) Кратчайшее число, из которого получаются все числа 661, 690, 155, 571, 599, содержит 10 цифр, поэтому 9-значного числа недостаточно.
в) Чтобы получить все числа вида 10a + b при a = 1, …, 2 и b = 0, …, 9, после первого вхождения каждой из цифр 1, …, 2 должны встретиться все десять цифр. Значит длина записи не меньше 2 + 10 = 12. Столько цифр и достаточно: 121230456789 — здесь сначала идут 1, 2, а затем все десять цифр в порядке 1, 2, 3, 0, 4, 5, 6, 7, 8, 9, причём цифра 3 стоит раньше нуля (это нужно для числа 30).
Ответ: 121230456789.
Пример 3
Из записи натурального числа вычёркивают несколько цифр (оставшиеся цифры сохраняют свой порядок) и получают новое натуральное число.
а) Приведите пример семизначного числа, вычёркивая цифры которого, можно получить каждое из чисел: 134, 733, 210.
б) Существует ли девятизначное число, вычёркивая цифры которого, можно получить каждое из чисел: 700, 171, 250, 387, 338?
в) Найдите наименьшее число, из которого можно получить все числа от 1 до 40 включительно, вычёркивая из него цифры.
а) Приведите пример семизначного числа, вычёркивая цифры которого, можно получить каждое из чисел: 134, 733, 210.
б) Существует ли девятизначное число, вычёркивая цифры которого, можно получить каждое из чисел: 700, 171, 250, 387, 338?
в) Найдите наименьшее число, из которого можно получить все числа от 1 до 40 включительно, вычёркивая из него цифры.
Показать ответ
а) 2107334
б) нет: поиск кратчайшего числа, из которого получаются все пять данных чисел, даёт 10 цифр — меньше чем 10 цифрами обойтись нельзя, а 9 < 10
в) 1231234056789
Решение
а) Подходит число 2107334: из него вычёркиванием получаются 134, 733, 210.
б) Кратчайшее число, из которого получаются все числа 700, 171, 250, 387, 338, содержит 10 цифр, поэтому 9-значного числа недостаточно.
в) Чтобы получить все числа вида 10a + b при a = 1, …, 3 и b = 0, …, 9, после первого вхождения каждой из цифр 1, …, 3 должны встретиться все десять цифр. Значит длина записи не меньше 3 + 10 = 13. Столько цифр и достаточно: 1231234056789 — здесь сначала идут 1, 2, 3, а затем все десять цифр в порядке 1, 2, 3, 4, 0, 5, 6, 7, 8, 9, причём цифра 4 стоит раньше нуля (это нужно для числа 40).
Ответ: 1231234056789.
б) Кратчайшее число, из которого получаются все числа 700, 171, 250, 387, 338, содержит 10 цифр, поэтому 9-значного числа недостаточно.
в) Чтобы получить все числа вида 10a + b при a = 1, …, 3 и b = 0, …, 9, после первого вхождения каждой из цифр 1, …, 3 должны встретиться все десять цифр. Значит длина записи не меньше 3 + 10 = 13. Столько цифр и достаточно: 1231234056789 — здесь сначала идут 1, 2, 3, а затем все десять цифр в порядке 1, 2, 3, 4, 0, 5, 6, 7, 8, 9, причём цифра 4 стоит раньше нуля (это нужно для числа 40).
Ответ: 1231234056789.
Пример 4
Из записи натурального числа вычёркивают несколько цифр (оставшиеся цифры сохраняют свой порядок) и получают новое натуральное число.
а) Приведите пример семизначного числа, вычёркивая цифры которого, можно получить каждое из чисел: 354, 170, 158.
б) Существует ли девятизначное число, вычёркивая цифры которого, можно получить каждое из чисел: 963, 818, 677, 938, 239?
в) Найдите наименьшее число, из которого можно получить все числа от 1 до 40 включительно, вычёркивая из него цифры.
а) Приведите пример семизначного числа, вычёркивая цифры которого, можно получить каждое из чисел: 354, 170, 158.
б) Существует ли девятизначное число, вычёркивая цифры которого, можно получить каждое из чисел: 963, 818, 677, 938, 239?
в) Найдите наименьшее число, из которого можно получить все числа от 1 до 40 включительно, вычёркивая из него цифры.
Показать ответ
а) 1354708
б) нет: поиск кратчайшего числа, из которого получаются все пять данных чисел, даёт 10 цифр — меньше чем 10 цифрами обойтись нельзя, а 9 < 10
в) 1231234056789
Решение
а) Подходит число 1354708: из него вычёркиванием получаются 354, 170, 158.
б) Кратчайшее число, из которого получаются все числа 963, 818, 677, 938, 239, содержит 10 цифр, поэтому 9-значного числа недостаточно.
в) Чтобы получить все числа вида 10a + b при a = 1, …, 3 и b = 0, …, 9, после первого вхождения каждой из цифр 1, …, 3 должны встретиться все десять цифр. Значит длина записи не меньше 3 + 10 = 13. Столько цифр и достаточно: 1231234056789 — здесь сначала идут 1, 2, 3, а затем все десять цифр в порядке 1, 2, 3, 4, 0, 5, 6, 7, 8, 9, причём цифра 4 стоит раньше нуля (это нужно для числа 40).
Ответ: 1231234056789.
б) Кратчайшее число, из которого получаются все числа 963, 818, 677, 938, 239, содержит 10 цифр, поэтому 9-значного числа недостаточно.
в) Чтобы получить все числа вида 10a + b при a = 1, …, 3 и b = 0, …, 9, после первого вхождения каждой из цифр 1, …, 3 должны встретиться все десять цифр. Значит длина записи не меньше 3 + 10 = 13. Столько цифр и достаточно: 1231234056789 — здесь сначала идут 1, 2, 3, а затем все десять цифр в порядке 1, 2, 3, 4, 0, 5, 6, 7, 8, 9, причём цифра 4 стоит раньше нуля (это нужно для числа 40).
Ответ: 1231234056789.
Пример 5
Из записи натурального числа вычёркивают несколько цифр (оставшиеся цифры сохраняют свой порядок) и получают новое натуральное число.
а) Приведите пример семизначного числа, вычёркивая цифры которого, можно получить каждое из чисел: 121, 886, 851.
б) Существует ли девятизначное число, вычёркивая цифры которого, можно получить каждое из чисел: 387, 960, 821, 693, 749?
в) Найдите наименьшее число, из которого можно получить все числа от 1 до 30 включительно, вычёркивая из него цифры.
а) Приведите пример семизначного числа, вычёркивая цифры которого, можно получить каждое из чисел: 121, 886, 851.
б) Существует ли девятизначное число, вычёркивая цифры которого, можно получить каждое из чисел: 387, 960, 821, 693, 749?
в) Найдите наименьшее число, из которого можно получить все числа от 1 до 30 включительно, вычёркивая из него цифры.
Показать ответ
а) 1285186
б) нет: поиск кратчайшего числа, из которого получаются все пять данных чисел, даёт 11 цифр — меньше чем 11 цифрами обойтись нельзя, а 9 < 11
в) 121230456789
Решение
а) Подходит число 1285186: из него вычёркиванием получаются 121, 886, 851.
б) Кратчайшее число, из которого получаются все числа 387, 960, 821, 693, 749, содержит 11 цифр, поэтому 9-значного числа недостаточно.
в) Чтобы получить все числа вида 10a + b при a = 1, …, 2 и b = 0, …, 9, после первого вхождения каждой из цифр 1, …, 2 должны встретиться все десять цифр. Значит длина записи не меньше 2 + 10 = 12. Столько цифр и достаточно: 121230456789 — здесь сначала идут 1, 2, а затем все десять цифр в порядке 1, 2, 3, 0, 4, 5, 6, 7, 8, 9, причём цифра 3 стоит раньше нуля (это нужно для числа 30).
Ответ: 121230456789.
б) Кратчайшее число, из которого получаются все числа 387, 960, 821, 693, 749, содержит 11 цифр, поэтому 9-значного числа недостаточно.
в) Чтобы получить все числа вида 10a + b при a = 1, …, 2 и b = 0, …, 9, после первого вхождения каждой из цифр 1, …, 2 должны встретиться все десять цифр. Значит длина записи не меньше 2 + 10 = 12. Столько цифр и достаточно: 121230456789 — здесь сначала идут 1, 2, а затем все десять цифр в порядке 1, 2, 3, 0, 4, 5, 6, 7, 8, 9, причём цифра 3 стоит раньше нуля (это нужно для числа 30).
Ответ: 121230456789.
Другие темы задания №20
1Каждый следующий в 10 раз больше или меньше: наибольшее число членов2Сумма соседей — одна из трёх: наименьшее число членов3Вдвое меньше либо больше на D: наименьший максимум4Средние без k-го члена: наибольшее M₃5Возрастающая с шагом ≤ 10: наибольшее среднее всех членов6Член больше среднего соседей: наименьшая сумма при n членах7Концы нулевые: наименьший второй член8Числа 1–4 и степенные суммы S₁…S₄9Целые числа: средние всех / положительных / отрицательных10Средние арифметические набора11Средние арифметические набора12Деление на три группы: наименьшее из наибольших средних
Нужен репетитор по математике?
Посмотрите репетиторов, которые ведут занятия в Precettore, или оставьте заявку — подберём сами.
Готовьтесь к ЕГЭ по профильной математике в Precettore
Варианты с автопроверкой, домашние задания от репетитора, онлайн-доска и разбор ошибок — в одном кабинете. Регистрация бесплатная.