Нечётные числа: наибольшее B − A — задание 20 ЕГЭ по профильной математике
Средние арифметические набора. 5 примера с ответом и проверкой.
Пример 1
Из 30 последовательных нечётных чисел 1, 3, 5, …, 59 выбрали 7 различных чисел, которые записали в порядке возрастания. Пусть A — четвёртое по величине среди этих чисел, а B — среднее арифметическое выбранных 7 чисел.
а) Может ли B − A равняться 27?
б) Может ли B − A равняться 37?
в) Найдите наибольшее возможное значение B − A.
а) Может ли B − A равняться 27?
б) Может ли B − A равняться 37?
в) Найдите наибольшее возможное значение B − A.
Показать ответ
а) да, например 1, 3, 5, 7, 9, 11, 15
б) нет: B − A = (Σ(aᵢ − A))/7, а все выбранные числа нечётны, поэтому каждая разность aᵢ − A чётна и числитель чётен. Дробь 3/7 имеет нечётный числитель
в) 19 5/7; например 1, 3, 5, 7, 55, 57, 59
Решение
Пусть выбраны a1 < a2 < … < a7, тогда A = a4 и
B − A = (a1 + … + a7 − 7A)/7 = ((a1 − A) + … + (a7 − A))/7.
а) Пример: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 15.
б) Все числа нечётны, поэтому все разности aᵢ − A чётны, и числитель дроби чётен. У дроби 3/7 числитель нечётный, значит такое значение невозможно.
в) Числитель равен (сумма 3 наибольших) + (сумма 3 наименьших) − 6A, поэтому выгодно взять наименьшую возможную медиану A = 7 (под ней стоят 1, 3, …, 5) и 3 наибольших чисел 55, …, 59. Тогда B − A = 6(30 − 7)/7 = 19 5/7.
Ответ: 19 5/7.
B − A = (a1 + … + a7 − 7A)/7 = ((a1 − A) + … + (a7 − A))/7.
а) Пример: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 15.
б) Все числа нечётны, поэтому все разности aᵢ − A чётны, и числитель дроби чётен. У дроби 3/7 числитель нечётный, значит такое значение невозможно.
в) Числитель равен (сумма 3 наибольших) + (сумма 3 наименьших) − 6A, поэтому выгодно взять наименьшую возможную медиану A = 7 (под ней стоят 1, 3, …, 5) и 3 наибольших чисел 55, …, 59. Тогда B − A = 6(30 − 7)/7 = 19 5/7.
Ответ: 19 5/7.
Пример 2
Из 50 последовательных нечётных чисел 1, 3, 5, …, 99 выбрали 7 различных чисел, которые записали в порядке возрастания. Пусть A — четвёртое по величине среди этих чисел, а B — среднее арифметическое выбранных 7 чисел.
а) Может ли B − A равняться 27?
б) Может ли B − A равняться 37?
в) Найдите наибольшее возможное значение B − A.
а) Может ли B − A равняться 27?
б) Может ли B − A равняться 37?
в) Найдите наибольшее возможное значение B − A.
Показать ответ
а) да, например 1, 3, 5, 7, 9, 11, 15
б) нет: B − A = (Σ(aᵢ − A))/7, а все выбранные числа нечётны, поэтому каждая разность aᵢ − A чётна и числитель чётен. Дробь 3/7 имеет нечётный числитель
в) 36 6/7; например 1, 3, 5, 7, 95, 97, 99
Решение
Пусть выбраны a1 < a2 < … < a7, тогда A = a4 и
B − A = (a1 + … + a7 − 7A)/7 = ((a1 − A) + … + (a7 − A))/7.
а) Пример: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 15.
б) Все числа нечётны, поэтому все разности aᵢ − A чётны, и числитель дроби чётен. У дроби 3/7 числитель нечётный, значит такое значение невозможно.
в) Числитель равен (сумма 3 наибольших) + (сумма 3 наименьших) − 6A, поэтому выгодно взять наименьшую возможную медиану A = 7 (под ней стоят 1, 3, …, 5) и 3 наибольших чисел 95, …, 99. Тогда B − A = 6(50 − 7)/7 = 36 6/7.
Ответ: 36 6/7.
B − A = (a1 + … + a7 − 7A)/7 = ((a1 − A) + … + (a7 − A))/7.
а) Пример: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 15.
б) Все числа нечётны, поэтому все разности aᵢ − A чётны, и числитель дроби чётен. У дроби 3/7 числитель нечётный, значит такое значение невозможно.
в) Числитель равен (сумма 3 наибольших) + (сумма 3 наименьших) − 6A, поэтому выгодно взять наименьшую возможную медиану A = 7 (под ней стоят 1, 3, …, 5) и 3 наибольших чисел 95, …, 99. Тогда B − A = 6(50 − 7)/7 = 36 6/7.
Ответ: 36 6/7.
Пример 3
Из 45 последовательных нечётных чисел 1, 3, 5, …, 89 выбрали 7 различных чисел, которые записали в порядке возрастания. Пусть A — четвёртое по величине среди этих чисел, а B — среднее арифметическое выбранных 7 чисел.
а) Может ли B − A равняться 27?
б) Может ли B − A равняться 37?
в) Найдите наибольшее возможное значение B − A.
а) Может ли B − A равняться 27?
б) Может ли B − A равняться 37?
в) Найдите наибольшее возможное значение B − A.
Показать ответ
а) да, например 1, 3, 5, 7, 9, 11, 15
б) нет: B − A = (Σ(aᵢ − A))/7, а все выбранные числа нечётны, поэтому каждая разность aᵢ − A чётна и числитель чётен. Дробь 3/7 имеет нечётный числитель
в) 32 4/7; например 1, 3, 5, 7, 85, 87, 89
Решение
Пусть выбраны a1 < a2 < … < a7, тогда A = a4 и
B − A = (a1 + … + a7 − 7A)/7 = ((a1 − A) + … + (a7 − A))/7.
а) Пример: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 15.
б) Все числа нечётны, поэтому все разности aᵢ − A чётны, и числитель дроби чётен. У дроби 3/7 числитель нечётный, значит такое значение невозможно.
в) Числитель равен (сумма 3 наибольших) + (сумма 3 наименьших) − 6A, поэтому выгодно взять наименьшую возможную медиану A = 7 (под ней стоят 1, 3, …, 5) и 3 наибольших чисел 85, …, 89. Тогда B − A = 6(45 − 7)/7 = 32 4/7.
Ответ: 32 4/7.
B − A = (a1 + … + a7 − 7A)/7 = ((a1 − A) + … + (a7 − A))/7.
а) Пример: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 15.
б) Все числа нечётны, поэтому все разности aᵢ − A чётны, и числитель дроби чётен. У дроби 3/7 числитель нечётный, значит такое значение невозможно.
в) Числитель равен (сумма 3 наибольших) + (сумма 3 наименьших) − 6A, поэтому выгодно взять наименьшую возможную медиану A = 7 (под ней стоят 1, 3, …, 5) и 3 наибольших чисел 85, …, 89. Тогда B − A = 6(45 − 7)/7 = 32 4/7.
Ответ: 32 4/7.
Пример 4
Из 36 последовательных нечётных чисел 1, 3, 5, …, 71 выбрали 7 различных чисел, которые записали в порядке возрастания. Пусть A — четвёртое по величине среди этих чисел, а B — среднее арифметическое выбранных 7 чисел.
а) Может ли B − A равняться 27?
б) Может ли B − A равняться 37?
в) Найдите наибольшее возможное значение B − A.
а) Может ли B − A равняться 27?
б) Может ли B − A равняться 37?
в) Найдите наибольшее возможное значение B − A.
Показать ответ
а) да, например 1, 3, 5, 7, 9, 11, 15
б) нет: B − A = (Σ(aᵢ − A))/7, а все выбранные числа нечётны, поэтому каждая разность aᵢ − A чётна и числитель чётен. Дробь 3/7 имеет нечётный числитель
в) 24 6/7; например 1, 3, 5, 7, 67, 69, 71
Решение
Пусть выбраны a1 < a2 < … < a7, тогда A = a4 и
B − A = (a1 + … + a7 − 7A)/7 = ((a1 − A) + … + (a7 − A))/7.
а) Пример: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 15.
б) Все числа нечётны, поэтому все разности aᵢ − A чётны, и числитель дроби чётен. У дроби 3/7 числитель нечётный, значит такое значение невозможно.
в) Числитель равен (сумма 3 наибольших) + (сумма 3 наименьших) − 6A, поэтому выгодно взять наименьшую возможную медиану A = 7 (под ней стоят 1, 3, …, 5) и 3 наибольших чисел 67, …, 71. Тогда B − A = 6(36 − 7)/7 = 24 6/7.
Ответ: 24 6/7.
B − A = (a1 + … + a7 − 7A)/7 = ((a1 − A) + … + (a7 − A))/7.
а) Пример: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 15.
б) Все числа нечётны, поэтому все разности aᵢ − A чётны, и числитель дроби чётен. У дроби 3/7 числитель нечётный, значит такое значение невозможно.
в) Числитель равен (сумма 3 наибольших) + (сумма 3 наименьших) − 6A, поэтому выгодно взять наименьшую возможную медиану A = 7 (под ней стоят 1, 3, …, 5) и 3 наибольших чисел 67, …, 71. Тогда B − A = 6(36 − 7)/7 = 24 6/7.
Ответ: 24 6/7.
Пример 5
Из 40 последовательных нечётных чисел 1, 3, 5, …, 79 выбрали 7 различных чисел, которые записали в порядке возрастания. Пусть A — четвёртое по величине среди этих чисел, а B — среднее арифметическое выбранных 7 чисел.
а) Может ли B − A равняться 27?
б) Может ли B − A равняться 37?
в) Найдите наибольшее возможное значение B − A.
а) Может ли B − A равняться 27?
б) Может ли B − A равняться 37?
в) Найдите наибольшее возможное значение B − A.
Показать ответ
а) да, например 1, 3, 5, 7, 9, 11, 15
б) нет: B − A = (Σ(aᵢ − A))/7, а все выбранные числа нечётны, поэтому каждая разность aᵢ − A чётна и числитель чётен. Дробь 3/7 имеет нечётный числитель
в) 28 2/7; например 1, 3, 5, 7, 75, 77, 79
Решение
Пусть выбраны a1 < a2 < … < a7, тогда A = a4 и
B − A = (a1 + … + a7 − 7A)/7 = ((a1 − A) + … + (a7 − A))/7.
а) Пример: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 15.
б) Все числа нечётны, поэтому все разности aᵢ − A чётны, и числитель дроби чётен. У дроби 3/7 числитель нечётный, значит такое значение невозможно.
в) Числитель равен (сумма 3 наибольших) + (сумма 3 наименьших) − 6A, поэтому выгодно взять наименьшую возможную медиану A = 7 (под ней стоят 1, 3, …, 5) и 3 наибольших чисел 75, …, 79. Тогда B − A = 6(40 − 7)/7 = 28 2/7.
Ответ: 28 2/7.
B − A = (a1 + … + a7 − 7A)/7 = ((a1 − A) + … + (a7 − A))/7.
а) Пример: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 15.
б) Все числа нечётны, поэтому все разности aᵢ − A чётны, и числитель дроби чётен. У дроби 3/7 числитель нечётный, значит такое значение невозможно.
в) Числитель равен (сумма 3 наибольших) + (сумма 3 наименьших) − 6A, поэтому выгодно взять наименьшую возможную медиану A = 7 (под ней стоят 1, 3, …, 5) и 3 наибольших чисел 75, …, 79. Тогда B − A = 6(40 − 7)/7 = 28 2/7.
Ответ: 28 2/7.
Другие темы задания №20
1Каждый следующий в 10 раз больше или меньше: наибольшее число членов2Сумма соседей — одна из трёх: наименьшее число членов3Вдвое меньше либо больше на D: наименьший максимум4Средние без k-го члена: наибольшее M₃5Возрастающая с шагом ≤ 10: наибольшее среднее всех членов6Член больше среднего соседей: наименьшая сумма при n членах7Концы нулевые: наименьший второй член8Числа 1–4 и степенные суммы S₁…S₄9Целые числа: средние всех / положительных / отрицательных10Средние арифметические набора11Средние арифметические набора12Деление на три группы: наименьшее из наибольших средних
Нужен репетитор по математике?
Посмотрите репетиторов, которые ведут занятия в Precettore, или оставьте заявку — подберём сами.
Готовьтесь к ЕГЭ по профильной математике в Precettore
Варианты с автопроверкой, домашние задания от репетитора, онлайн-доска и разбор ошибок — в одном кабинете. Регистрация бесплатная.