Оба решили сборник: за сколько дней и наименьшее число задач — задание 20 ЕГЭ по профильной математике
Вася и Петя решают сборник. 5 примера с ответом и проверкой.
Пример 1
Готовясь к экзамену, Вася и Петя решали задачи из сборника, и каждый из них решил все задачи этого сборника. Каждый день Вася решал на одну задачу больше, чем в предыдущий день, а Петя решал на две задачи больше, чем в предыдущий день. Они начали решать задачи в один день, при этом в первый день каждый из них решил хотя бы одну задачу.
а) Могло ли получиться так, что каждый из них решил все задачи сборника ровно за 9 дней?
б) Могло ли получиться так, что каждый из них решил все задачи сборника ровно за 12 дней?
в) Какое наименьшее число задач могло быть в сборнике, если известно, что каждый из них решал задачи более 7 дней, в первый день Вася решил больше задач, чем Петя, а за 8 дней Петя решил больше задач, чем Вася?
а) Могло ли получиться так, что каждый из них решил все задачи сборника ровно за 9 дней?
б) Могло ли получиться так, что каждый из них решил все задачи сборника ровно за 12 дней?
в) Какое наименьшее число задач могло быть в сборнике, если известно, что каждый из них решал задачи более 7 дней, в первый день Вася решил больше задач, чем Петя, а за 8 дней Петя решил больше задач, чем Вася?
Показать ответ
а) да, например Вася решал по 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14 задач, а Петя — по 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18: в сборнике 90 задач
б) нет: если оба решали ровно d дней, то dv + d(d − 1)/2 = dp + d(d − 1), откуда v − p = (d − 1)/2. При d = 12 правая часть равна 5,5 — не целое число, а v и p целые
в) 72; например Вася решал 9 дней, начав с 4 задач, а Петя — 8 дней, начав с 2
Решение
Пусть Вася решал a дней и в первый день решил v задач, а Петя решал b дней и в первый день p задач. Тогда
N = av + a(a − 1)/2 = bp + b(b − 1).
а) При a = b = 9 получаем v − p = 4: например Петя начинал с 2, Вася — с 6, и в сборнике 90 задач.
б) При a = b = d равенство даёт v − p = (d − 1)/2, а при чётном d = 12 это число не целое — противоречие.
в) Перебирая число задач N и числа дней a, b > 7 (первые дни восстанавливаются из N однозначно), получаем наименьшее N = 72: Вася решал 9 дней по 4, 5, 6, 7, … задач, Петя — 8 дней по 2, 4, 6, 8, … задач.
Ответ: 72.
N = av + a(a − 1)/2 = bp + b(b − 1).
а) При a = b = 9 получаем v − p = 4: например Петя начинал с 2, Вася — с 6, и в сборнике 90 задач.
б) При a = b = d равенство даёт v − p = (d − 1)/2, а при чётном d = 12 это число не целое — противоречие.
в) Перебирая число задач N и числа дней a, b > 7 (первые дни восстанавливаются из N однозначно), получаем наименьшее N = 72: Вася решал 9 дней по 4, 5, 6, 7, … задач, Петя — 8 дней по 2, 4, 6, 8, … задач.
Ответ: 72.
Пример 2
Готовясь к экзамену, Вася и Петя решали задачи из сборника, и каждый из них решил все задачи этого сборника. Каждый день Вася решал на одну задачу больше, чем в предыдущий день, а Петя решал на две задачи больше, чем в предыдущий день. Они начали решать задачи в один день, при этом в первый день каждый из них решил хотя бы одну задачу.
а) Могло ли получиться так, что каждый из них решил все задачи сборника ровно за 9 дней?
б) Могло ли получиться так, что каждый из них решил все задачи сборника ровно за 10 дней?
в) Какое наименьшее число задач могло быть в сборнике, если известно, что каждый из них решал задачи более 5 дней, в первый день Вася решил больше задач, чем Петя, а за 6 дней Петя решил больше задач, чем Вася?
а) Могло ли получиться так, что каждый из них решил все задачи сборника ровно за 9 дней?
б) Могло ли получиться так, что каждый из них решил все задачи сборника ровно за 10 дней?
в) Какое наименьшее число задач могло быть в сборнике, если известно, что каждый из них решал задачи более 5 дней, в первый день Вася решил больше задач, чем Петя, а за 6 дней Петя решил больше задач, чем Вася?
Показать ответ
а) да, например Вася решал по 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14 задач, а Петя — по 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18: в сборнике 90 задач
б) нет: если оба решали ровно d дней, то dv + d(d − 1)/2 = dp + d(d − 1), откуда v − p = (d − 1)/2. При d = 10 правая часть равна 4,5 — не целое число, а v и p целые
в) 42; например Вася решал 7 дней, начав с 3 задач, а Петя — 6 дней, начав с 2
Решение
Пусть Вася решал a дней и в первый день решил v задач, а Петя решал b дней и в первый день p задач. Тогда
N = av + a(a − 1)/2 = bp + b(b − 1).
а) При a = b = 9 получаем v − p = 4: например Петя начинал с 2, Вася — с 6, и в сборнике 90 задач.
б) При a = b = d равенство даёт v − p = (d − 1)/2, а при чётном d = 10 это число не целое — противоречие.
в) Перебирая число задач N и числа дней a, b > 5 (первые дни восстанавливаются из N однозначно), получаем наименьшее N = 42: Вася решал 7 дней по 3, 4, 5, 6, … задач, Петя — 6 дней по 2, 4, 6, 8, … задач.
Ответ: 42.
N = av + a(a − 1)/2 = bp + b(b − 1).
а) При a = b = 9 получаем v − p = 4: например Петя начинал с 2, Вася — с 6, и в сборнике 90 задач.
б) При a = b = d равенство даёт v − p = (d − 1)/2, а при чётном d = 10 это число не целое — противоречие.
в) Перебирая число задач N и числа дней a, b > 5 (первые дни восстанавливаются из N однозначно), получаем наименьшее N = 42: Вася решал 7 дней по 3, 4, 5, 6, … задач, Петя — 6 дней по 2, 4, 6, 8, … задач.
Ответ: 42.
Пример 3
Готовясь к экзамену, Вася и Петя решали задачи из сборника, и каждый из них решил все задачи этого сборника. Каждый день Вася решал на одну задачу больше, чем в предыдущий день, а Петя решал на две задачи больше, чем в предыдущий день. Они начали решать задачи в один день, при этом в первый день каждый из них решил хотя бы одну задачу.
а) Могло ли получиться так, что каждый из них решил все задачи сборника ровно за 5 дней?
б) Могло ли получиться так, что каждый из них решил все задачи сборника ровно за 12 дней?
в) Какое наименьшее число задач могло быть в сборнике, если известно, что каждый из них решал задачи более 5 дней, в первый день Вася решил больше задач, чем Петя, а за 6 дней Петя решил больше задач, чем Вася?
а) Могло ли получиться так, что каждый из них решил все задачи сборника ровно за 5 дней?
б) Могло ли получиться так, что каждый из них решил все задачи сборника ровно за 12 дней?
в) Какое наименьшее число задач могло быть в сборнике, если известно, что каждый из них решал задачи более 5 дней, в первый день Вася решил больше задач, чем Петя, а за 6 дней Петя решил больше задач, чем Вася?
Показать ответ
а) да, например Вася решал по 5, 6, 7, 8, 9 задач, а Петя — по 3, 5, 7, 9, 11: в сборнике 35 задач
б) нет: если оба решали ровно d дней, то dv + d(d − 1)/2 = dp + d(d − 1), откуда v − p = (d − 1)/2. При d = 12 правая часть равна 5,5 — не целое число, а v и p целые
в) 42; например Вася решал 7 дней, начав с 3 задач, а Петя — 6 дней, начав с 2
Решение
Пусть Вася решал a дней и в первый день решил v задач, а Петя решал b дней и в первый день p задач. Тогда
N = av + a(a − 1)/2 = bp + b(b − 1).
а) При a = b = 5 получаем v − p = 2: например Петя начинал с 3, Вася — с 5, и в сборнике 35 задач.
б) При a = b = d равенство даёт v − p = (d − 1)/2, а при чётном d = 12 это число не целое — противоречие.
в) Перебирая число задач N и числа дней a, b > 5 (первые дни восстанавливаются из N однозначно), получаем наименьшее N = 42: Вася решал 7 дней по 3, 4, 5, 6, … задач, Петя — 6 дней по 2, 4, 6, 8, … задач.
Ответ: 42.
N = av + a(a − 1)/2 = bp + b(b − 1).
а) При a = b = 5 получаем v − p = 2: например Петя начинал с 3, Вася — с 5, и в сборнике 35 задач.
б) При a = b = d равенство даёт v − p = (d − 1)/2, а при чётном d = 12 это число не целое — противоречие.
в) Перебирая число задач N и числа дней a, b > 5 (первые дни восстанавливаются из N однозначно), получаем наименьшее N = 42: Вася решал 7 дней по 3, 4, 5, 6, … задач, Петя — 6 дней по 2, 4, 6, 8, … задач.
Ответ: 42.
Пример 4
Готовясь к экзамену, Вася и Петя решали задачи из сборника, и каждый из них решил все задачи этого сборника. Каждый день Вася решал на одну задачу больше, чем в предыдущий день, а Петя решал на две задачи больше, чем в предыдущий день. Они начали решать задачи в один день, при этом в первый день каждый из них решил хотя бы одну задачу.
а) Могло ли получиться так, что каждый из них решил все задачи сборника ровно за 7 дней?
б) Могло ли получиться так, что каждый из них решил все задачи сборника ровно за 12 дней?
в) Какое наименьшее число задач могло быть в сборнике, если известно, что каждый из них решал задачи более 5 дней, в первый день Вася решил больше задач, чем Петя, а за 6 дней Петя решил больше задач, чем Вася?
а) Могло ли получиться так, что каждый из них решил все задачи сборника ровно за 7 дней?
б) Могло ли получиться так, что каждый из них решил все задачи сборника ровно за 12 дней?
в) Какое наименьшее число задач могло быть в сборнике, если известно, что каждый из них решал задачи более 5 дней, в первый день Вася решил больше задач, чем Петя, а за 6 дней Петя решил больше задач, чем Вася?
Показать ответ
а) да, например Вася решал по 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 задач, а Петя — по 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13: в сборнике 49 задач
б) нет: если оба решали ровно d дней, то dv + d(d − 1)/2 = dp + d(d − 1), откуда v − p = (d − 1)/2. При d = 12 правая часть равна 5,5 — не целое число, а v и p целые
в) 42; например Вася решал 7 дней, начав с 3 задач, а Петя — 6 дней, начав с 2
Решение
Пусть Вася решал a дней и в первый день решил v задач, а Петя решал b дней и в первый день p задач. Тогда
N = av + a(a − 1)/2 = bp + b(b − 1).
а) При a = b = 7 получаем v − p = 3: например Петя начинал с 1, Вася — с 4, и в сборнике 49 задач.
б) При a = b = d равенство даёт v − p = (d − 1)/2, а при чётном d = 12 это число не целое — противоречие.
в) Перебирая число задач N и числа дней a, b > 5 (первые дни восстанавливаются из N однозначно), получаем наименьшее N = 42: Вася решал 7 дней по 3, 4, 5, 6, … задач, Петя — 6 дней по 2, 4, 6, 8, … задач.
Ответ: 42.
N = av + a(a − 1)/2 = bp + b(b − 1).
а) При a = b = 7 получаем v − p = 3: например Петя начинал с 1, Вася — с 4, и в сборнике 49 задач.
б) При a = b = d равенство даёт v − p = (d − 1)/2, а при чётном d = 12 это число не целое — противоречие.
в) Перебирая число задач N и числа дней a, b > 5 (первые дни восстанавливаются из N однозначно), получаем наименьшее N = 42: Вася решал 7 дней по 3, 4, 5, 6, … задач, Петя — 6 дней по 2, 4, 6, 8, … задач.
Ответ: 42.
Пример 5
Готовясь к экзамену, Вася и Петя решали задачи из сборника, и каждый из них решил все задачи этого сборника. Каждый день Вася решал на одну задачу больше, чем в предыдущий день, а Петя решал на две задачи больше, чем в предыдущий день. Они начали решать задачи в один день, при этом в первый день каждый из них решил хотя бы одну задачу.
а) Могло ли получиться так, что каждый из них решил все задачи сборника ровно за 7 дней?
б) Могло ли получиться так, что каждый из них решил все задачи сборника ровно за 10 дней?
в) Какое наименьшее число задач могло быть в сборнике, если известно, что каждый из них решал задачи более 6 дней, в первый день Вася решил больше задач, чем Петя, а за 7 дней Петя решил больше задач, чем Вася?
а) Могло ли получиться так, что каждый из них решил все задачи сборника ровно за 7 дней?
б) Могло ли получиться так, что каждый из них решил все задачи сборника ровно за 10 дней?
в) Какое наименьшее число задач могло быть в сборнике, если известно, что каждый из них решал задачи более 6 дней, в первый день Вася решил больше задач, чем Петя, а за 7 дней Петя решил больше задач, чем Вася?
Показать ответ
а) да, например Вася решал по 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13 задач, а Петя — по 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16: в сборнике 70 задач
б) нет: если оба решали ровно d дней, то dv + d(d − 1)/2 = dp + d(d − 1), откуда v − p = (d − 1)/2. При d = 10 правая часть равна 4,5 — не целое число, а v и p целые
в) 72; например Вася решал 9 дней, начав с 4 задач, а Петя — 8 дней, начав с 2
Решение
Пусть Вася решал a дней и в первый день решил v задач, а Петя решал b дней и в первый день p задач. Тогда
N = av + a(a − 1)/2 = bp + b(b − 1).
а) При a = b = 7 получаем v − p = 3: например Петя начинал с 4, Вася — с 7, и в сборнике 70 задач.
б) При a = b = d равенство даёт v − p = (d − 1)/2, а при чётном d = 10 это число не целое — противоречие.
в) Перебирая число задач N и числа дней a, b > 6 (первые дни восстанавливаются из N однозначно), получаем наименьшее N = 72: Вася решал 9 дней по 4, 5, 6, 7, … задач, Петя — 8 дней по 2, 4, 6, 8, … задач.
Ответ: 72.
N = av + a(a − 1)/2 = bp + b(b − 1).
а) При a = b = 7 получаем v − p = 3: например Петя начинал с 4, Вася — с 7, и в сборнике 70 задач.
б) При a = b = d равенство даёт v − p = (d − 1)/2, а при чётном d = 10 это число не целое — противоречие.
в) Перебирая число задач N и числа дней a, b > 6 (первые дни восстанавливаются из N однозначно), получаем наименьшее N = 72: Вася решал 9 дней по 4, 5, 6, 7, … задач, Петя — 8 дней по 2, 4, 6, 8, … задач.
Ответ: 72.
Другие темы задания №20
1Каждый следующий в 10 раз больше или меньше: наибольшее число членов2Сумма соседей — одна из трёх: наименьшее число членов3Вдвое меньше либо больше на D: наименьший максимум4Средние без k-го члена: наибольшее M₃5Возрастающая с шагом ≤ 10: наибольшее среднее всех членов6Член больше среднего соседей: наименьшая сумма при n членах7Концы нулевые: наименьший второй член8Числа 1–4 и степенные суммы S₁…S₄9Целые числа: средние всех / положительных / отрицательных10Средние арифметические набора11Средние арифметические набора12Деление на три группы: наименьшее из наибольших средних
Нужен репетитор по математике?
Посмотрите репетиторов, которые ведут занятия в Precettore, или оставьте заявку — подберём сами.
Готовьтесь к ЕГЭ по профильной математике в Precettore
Варианты с автопроверкой, домашние задания от репетитора, онлайн-доска и разбор ошибок — в одном кабинете. Регистрация бесплатная.