Одинаковые первые дни: за сколько дней Петя — задание 20 ЕГЭ по профильной математике
Вася и Петя решают сборник. 5 примера с ответом и проверкой.
Пример 1
Вася и Петя решали задачи из сборника, и они оба решили все задачи этого сборника. Каждый день Вася решал на одну задачу больше, чем в предыдущий день, а Петя решал на две задачи больше, чем в предыдущий день. Они начали решать задачи в один день, при этом в первый день каждый из них решил хотя бы одну задачу.
а) Могло ли получиться так, что в первый день они решили одинаковое число задач, при этом Петя прорешал весь сборник за 7 дней?
б) Могло ли получиться так, что в первый день они решили одинаковое число задач, при этом Петя прорешал весь сборник за 14 дней?
в) Какое наименьшее количество задач могло быть в сборнике, если каждый из ребят решал задачи более 7 дней, причём в первый день Вася решил больше задач, чем Петя, а через 8 дней Петя решил задач больше, чем Вася?
а) Могло ли получиться так, что в первый день они решили одинаковое число задач, при этом Петя прорешал весь сборник за 7 дней?
б) Могло ли получиться так, что в первый день они решили одинаковое число задач, при этом Петя прорешал весь сборник за 14 дней?
в) Какое наименьшее количество задач могло быть в сборнике, если каждый из ребят решал задачи более 7 дней, причём в первый день Вася решил больше задач, чем Петя, а через 8 дней Петя решил задач больше, чем Вася?
Показать ответ
а) да, например оба начали с 3 задач: Петя решал 7 дней по 3, 5, 7, 9, 11, …, Вася — 9 дней по 3, 4, 5, 6, 7, …; всего 63 задачи
б) да, например оба начали с 31 задачи: Петя решал 14 дней, Вася — 16 дней; всего 616 задач
в) 72; например Вася решал 9 дней по 4, 5, 6, 7, 8, … задач, а Петя — 8 дней по 2, 4, 6, 8, 10, …
Решение
Пусть Вася решал a дней, начав с v задач, Петя — b дней, начав с p. Тогда N = av + a(a − 1)/2 = bp + b(b − 1).
а) При v = p и b = 7 уравнение ap + a(a − 1)/2 = 7p + 42 линейно по p: подходит a = 9, p = 3, всего 63 задачи.
б) Так же при b = 14: подходит a = 16, p = 31, всего 616 задач.
в) Перебор по числу задач и числам дней даёт наименьшее N = 72 (Вася 9 дней с 4, Петя 8 дней с 2).
Ответ: 72.
а) При v = p и b = 7 уравнение ap + a(a − 1)/2 = 7p + 42 линейно по p: подходит a = 9, p = 3, всего 63 задачи.
б) Так же при b = 14: подходит a = 16, p = 31, всего 616 задач.
в) Перебор по числу задач и числам дней даёт наименьшее N = 72 (Вася 9 дней с 4, Петя 8 дней с 2).
Ответ: 72.
Пример 2
Вася и Петя решали задачи из сборника, и они оба решили все задачи этого сборника. Каждый день Вася решал на одну задачу больше, чем в предыдущий день, а Петя решал на две задачи больше, чем в предыдущий день. Они начали решать задачи в один день, при этом в первый день каждый из них решил хотя бы одну задачу.
а) Могло ли получиться так, что в первый день они решили одинаковое число задач, при этом Петя прорешал весь сборник за 7 дней?
б) Могло ли получиться так, что в первый день они решили одинаковое число задач, при этом Петя прорешал весь сборник за 12 дней?
в) Какое наименьшее количество задач могло быть в сборнике, если каждый из ребят решал задачи более 5 дней, причём в первый день Вася решил больше задач, чем Петя, а через 6 дней Петя решил задач больше, чем Вася?
а) Могло ли получиться так, что в первый день они решили одинаковое число задач, при этом Петя прорешал весь сборник за 7 дней?
б) Могло ли получиться так, что в первый день они решили одинаковое число задач, при этом Петя прорешал весь сборник за 12 дней?
в) Какое наименьшее количество задач могло быть в сборнике, если каждый из ребят решал задачи более 5 дней, причём в первый день Вася решил больше задач, чем Петя, а через 6 дней Петя решил задач больше, чем Вася?
Показать ответ
а) да, например оба начали с 3 задач: Петя решал 7 дней по 3, 5, 7, 9, 11, …, Вася — 9 дней по 3, 4, 5, 6, 7, …; всего 63 задачи
б) да, например оба начали с 3 задач: Петя решал 12 дней, Вася — 16 дней; всего 168 задач
в) 42; например Вася решал 7 дней по 3, 4, 5, 6, 7, … задач, а Петя — 6 дней по 2, 4, 6, 8, 10, …
Решение
Пусть Вася решал a дней, начав с v задач, Петя — b дней, начав с p. Тогда N = av + a(a − 1)/2 = bp + b(b − 1).
а) При v = p и b = 7 уравнение ap + a(a − 1)/2 = 7p + 42 линейно по p: подходит a = 9, p = 3, всего 63 задачи.
б) Так же при b = 12: подходит a = 16, p = 3, всего 168 задач.
в) Перебор по числу задач и числам дней даёт наименьшее N = 42 (Вася 7 дней с 3, Петя 6 дней с 2).
Ответ: 42.
а) При v = p и b = 7 уравнение ap + a(a − 1)/2 = 7p + 42 линейно по p: подходит a = 9, p = 3, всего 63 задачи.
б) Так же при b = 12: подходит a = 16, p = 3, всего 168 задач.
в) Перебор по числу задач и числам дней даёт наименьшее N = 42 (Вася 7 дней с 3, Петя 6 дней с 2).
Ответ: 42.
Пример 3
Вася и Петя решали задачи из сборника, и они оба решили все задачи этого сборника. Каждый день Вася решал на одну задачу больше, чем в предыдущий день, а Петя решал на две задачи больше, чем в предыдущий день. Они начали решать задачи в один день, при этом в первый день каждый из них решил хотя бы одну задачу.
а) Могло ли получиться так, что в первый день они решили одинаковое число задач, при этом Петя прорешал весь сборник за 9 дней?
б) Могло ли получиться так, что в первый день они решили одинаковое число задач, при этом Петя прорешал весь сборник за 10 дней?
в) Какое наименьшее количество задач могло быть в сборнике, если каждый из ребят решал задачи более 7 дней, причём в первый день Вася решил больше задач, чем Петя, а через 8 дней Петя решил задач больше, чем Вася?
а) Могло ли получиться так, что в первый день они решили одинаковое число задач, при этом Петя прорешал весь сборник за 9 дней?
б) Могло ли получиться так, что в первый день они решили одинаковое число задач, при этом Петя прорешал весь сборник за 10 дней?
в) Какое наименьшее количество задач могло быть в сборнике, если каждый из ребят решал задачи более 7 дней, причём в первый день Вася решил больше задач, чем Петя, а через 8 дней Петя решил задач больше, чем Вася?
Показать ответ
а) да, например оба начали с 2 задач: Петя решал 9 дней по 2, 4, 6, 8, 10, …, Вася — 12 дней по 2, 3, 4, 5, 6, …; всего 90 задач
б) да, например оба начали с 4 задач: Петя решал 10 дней, Вася — 13 дней; всего 130 задач
в) 72; например Вася решал 9 дней по 4, 5, 6, 7, 8, … задач, а Петя — 8 дней по 2, 4, 6, 8, 10, …
Решение
Пусть Вася решал a дней, начав с v задач, Петя — b дней, начав с p. Тогда N = av + a(a − 1)/2 = bp + b(b − 1).
а) При v = p и b = 9 уравнение ap + a(a − 1)/2 = 9p + 72 линейно по p: подходит a = 12, p = 2, всего 90 задач.
б) Так же при b = 10: подходит a = 13, p = 4, всего 130 задач.
в) Перебор по числу задач и числам дней даёт наименьшее N = 72 (Вася 9 дней с 4, Петя 8 дней с 2).
Ответ: 72.
а) При v = p и b = 9 уравнение ap + a(a − 1)/2 = 9p + 72 линейно по p: подходит a = 12, p = 2, всего 90 задач.
б) Так же при b = 10: подходит a = 13, p = 4, всего 130 задач.
в) Перебор по числу задач и числам дней даёт наименьшее N = 72 (Вася 9 дней с 4, Петя 8 дней с 2).
Ответ: 72.
Пример 4
Вася и Петя решали задачи из сборника, и они оба решили все задачи этого сборника. Каждый день Вася решал на одну задачу больше, чем в предыдущий день, а Петя решал на две задачи больше, чем в предыдущий день. Они начали решать задачи в один день, при этом в первый день каждый из них решил хотя бы одну задачу.
а) Могло ли получиться так, что в первый день они решили одинаковое число задач, при этом Петя прорешал весь сборник за 7 дней?
б) Могло ли получиться так, что в первый день они решили одинаковое число задач, при этом Петя прорешал весь сборник за 10 дней?
в) Какое наименьшее количество задач могло быть в сборнике, если каждый из ребят решал задачи более 6 дней, причём в первый день Вася решил больше задач, чем Петя, а через 7 дней Петя решил задач больше, чем Вася?
а) Могло ли получиться так, что в первый день они решили одинаковое число задач, при этом Петя прорешал весь сборник за 7 дней?
б) Могло ли получиться так, что в первый день они решили одинаковое число задач, при этом Петя прорешал весь сборник за 10 дней?
в) Какое наименьшее количество задач могло быть в сборнике, если каждый из ребят решал задачи более 6 дней, причём в первый день Вася решил больше задач, чем Петя, а через 7 дней Петя решил задач больше, чем Вася?
Показать ответ
а) да, например оба начали с 3 задач: Петя решал 7 дней по 3, 5, 7, 9, 11, …, Вася — 9 дней по 3, 4, 5, 6, 7, …; всего 63 задачи
б) да, например оба начали с 4 задач: Петя решал 10 дней, Вася — 13 дней; всего 130 задач
в) 72; например Вася решал 9 дней по 4, 5, 6, 7, 8, … задач, а Петя — 8 дней по 2, 4, 6, 8, 10, …
Решение
Пусть Вася решал a дней, начав с v задач, Петя — b дней, начав с p. Тогда N = av + a(a − 1)/2 = bp + b(b − 1).
а) При v = p и b = 7 уравнение ap + a(a − 1)/2 = 7p + 42 линейно по p: подходит a = 9, p = 3, всего 63 задачи.
б) Так же при b = 10: подходит a = 13, p = 4, всего 130 задач.
в) Перебор по числу задач и числам дней даёт наименьшее N = 72 (Вася 9 дней с 4, Петя 8 дней с 2).
Ответ: 72.
а) При v = p и b = 7 уравнение ap + a(a − 1)/2 = 7p + 42 линейно по p: подходит a = 9, p = 3, всего 63 задачи.
б) Так же при b = 10: подходит a = 13, p = 4, всего 130 задач.
в) Перебор по числу задач и числам дней даёт наименьшее N = 72 (Вася 9 дней с 4, Петя 8 дней с 2).
Ответ: 72.
Пример 5
Вася и Петя решали задачи из сборника, и они оба решили все задачи этого сборника. Каждый день Вася решал на одну задачу больше, чем в предыдущий день, а Петя решал на две задачи больше, чем в предыдущий день. Они начали решать задачи в один день, при этом в первый день каждый из них решил хотя бы одну задачу.
а) Могло ли получиться так, что в первый день они решили одинаковое число задач, при этом Петя прорешал весь сборник за 7 дней?
б) Могло ли получиться так, что в первый день они решили одинаковое число задач, при этом Петя прорешал весь сборник за 14 дней?
в) Какое наименьшее количество задач могло быть в сборнике, если каждый из ребят решал задачи более 6 дней, причём в первый день Вася решил больше задач, чем Петя, а через 7 дней Петя решил задач больше, чем Вася?
а) Могло ли получиться так, что в первый день они решили одинаковое число задач, при этом Петя прорешал весь сборник за 7 дней?
б) Могло ли получиться так, что в первый день они решили одинаковое число задач, при этом Петя прорешал весь сборник за 14 дней?
в) Какое наименьшее количество задач могло быть в сборнике, если каждый из ребят решал задачи более 6 дней, причём в первый день Вася решил больше задач, чем Петя, а через 7 дней Петя решил задач больше, чем Вася?
Показать ответ
а) да, например оба начали с 3 задач: Петя решал 7 дней по 3, 5, 7, 9, 11, …, Вася — 9 дней по 3, 4, 5, 6, 7, …; всего 63 задачи
б) да, например оба начали с 31 задачи: Петя решал 14 дней, Вася — 16 дней; всего 616 задач
в) 72; например Вася решал 9 дней по 4, 5, 6, 7, 8, … задач, а Петя — 8 дней по 2, 4, 6, 8, 10, …
Решение
Пусть Вася решал a дней, начав с v задач, Петя — b дней, начав с p. Тогда N = av + a(a − 1)/2 = bp + b(b − 1).
а) При v = p и b = 7 уравнение ap + a(a − 1)/2 = 7p + 42 линейно по p: подходит a = 9, p = 3, всего 63 задачи.
б) Так же при b = 14: подходит a = 16, p = 31, всего 616 задач.
в) Перебор по числу задач и числам дней даёт наименьшее N = 72 (Вася 9 дней с 4, Петя 8 дней с 2).
Ответ: 72.
а) При v = p и b = 7 уравнение ap + a(a − 1)/2 = 7p + 42 линейно по p: подходит a = 9, p = 3, всего 63 задачи.
б) Так же при b = 14: подходит a = 16, p = 31, всего 616 задач.
в) Перебор по числу задач и числам дней даёт наименьшее N = 72 (Вася 9 дней с 4, Петя 8 дней с 2).
Ответ: 72.
Другие темы задания №20
1Каждый следующий в 10 раз больше или меньше: наибольшее число членов2Сумма соседей — одна из трёх: наименьшее число членов3Вдвое меньше либо больше на D: наименьший максимум4Средние без k-го члена: наибольшее M₃5Возрастающая с шагом ≤ 10: наибольшее среднее всех членов6Член больше среднего соседей: наименьшая сумма при n членах7Концы нулевые: наименьший второй член8Числа 1–4 и степенные суммы S₁…S₄9Целые числа: средние всех / положительных / отрицательных10Средние арифметические набора11Средние арифметические набора12Деление на три группы: наименьшее из наибольших средних
Нужен репетитор по математике?
Посмотрите репетиторов, которые ведут занятия в Precettore, или оставьте заявку — подберём сами.
Готовьтесь к ЕГЭ по профильной математике в Precettore
Варианты с автопроверкой, домашние задания от репетитора, онлайн-доска и разбор ошибок — в одном кабинете. Регистрация бесплатная.