Отношение целое, первая цифра задана: наименьшее — задание 20 ЕГЭ по профильной математике
Трёхзначное число и сумма его цифр. 5 примера с ответом и проверкой.
Пример 1
Отношение трёхзначного натурального числа к сумме его цифр — целое число.
а) Может ли это отношение быть равным 40?
б) Может ли это отношение быть равным 94?
в) Какое наименьшее значение может принимать это отношение, если первая цифра трёхзначного числа равна 5?
а) Может ли это отношение быть равным 40?
б) Может ли это отношение быть равным 94?
в) Какое наименьшее значение может принимать это отношение, если первая цифра трёхзначного числа равна 5?
Показать ответ
а) да, например 120 (сумма цифр 3, 120 : 3 = 40)
б) нет: из A = 94·S и A ≡ S (mod 9) следует, что 93·S кратно 9; подходят только S = 3, 6 и 9; суммы цифр чисел 282, 564 и 846 равны 12, 15 и 18 — ни одна не совпала с нужной
в) 28; пример: 588 (сумма цифр 21, 588 : 21 = 28); меньше нельзя — при частном q < 28 из A = q·S и S ≤ 27 следует A ≤ 729, и прямая проверка всех оставшихся пар (q, S) трёхзначных чисел не даёт
Решение
Обозначим число A, сумму его цифр S. Всегда A ≡ S (mod 9), поэтому из A = q·S следует, что (q − 1)·S кратно 9 — это отсекает большинство значений q.
Для q = 94: подходят только S = 3, 6 и 9; суммы цифр чисел 282, 564 и 846 равны 12, 15 и 18 — ни одна не совпала с нужной, значит 94 невозможно.
Для q = 40 подходит число 120. Наименьшее значение равно 28 и достигается на 588: при частном q < 28 из A = q·S и S ≤ 27 следует A ≤ 729, а оставшиеся пары (q, S) проверяются напрямую.
Для q = 94: подходят только S = 3, 6 и 9; суммы цифр чисел 282, 564 и 846 равны 12, 15 и 18 — ни одна не совпала с нужной, значит 94 невозможно.
Для q = 40 подходит число 120. Наименьшее значение равно 28 и достигается на 588: при частном q < 28 из A = q·S и S ≤ 27 следует A ≤ 729, а оставшиеся пары (q, S) проверяются напрямую.
Пример 2
Отношение трёхзначного натурального числа к сумме его цифр — целое число.
а) Может ли это отношение быть равным 25?
б) Может ли это отношение быть равным 94?
в) Какое наименьшее значение может принимать это отношение, если первая цифра трёхзначного числа равна 4?
а) Может ли это отношение быть равным 25?
б) Может ли это отношение быть равным 94?
в) Какое наименьшее значение может принимать это отношение, если первая цифра трёхзначного числа равна 4?
Показать ответ
а) да, например 150 (сумма цифр 6, 150 : 6 = 25)
б) нет: из A = 94·S и A ≡ S (mod 9) следует, что 93·S кратно 9; подходят только S = 3, 6 и 9; суммы цифр чисел 282, 564 и 846 равны 12, 15 и 18 — ни одна не совпала с нужной
в) 26; пример: 468 (сумма цифр 18, 468 : 18 = 26); меньше нельзя — при частном q < 26 из A = q·S и S ≤ 27 следует A ≤ 675, и прямая проверка всех оставшихся пар (q, S) трёхзначных чисел не даёт
Решение
Обозначим число A, сумму его цифр S. Всегда A ≡ S (mod 9), поэтому из A = q·S следует, что (q − 1)·S кратно 9 — это отсекает большинство значений q.
Для q = 94: подходят только S = 3, 6 и 9; суммы цифр чисел 282, 564 и 846 равны 12, 15 и 18 — ни одна не совпала с нужной, значит 94 невозможно.
Для q = 25 подходит число 150. Наименьшее значение равно 26 и достигается на 468: при частном q < 26 из A = q·S и S ≤ 27 следует A ≤ 675, а оставшиеся пары (q, S) проверяются напрямую.
Для q = 94: подходят только S = 3, 6 и 9; суммы цифр чисел 282, 564 и 846 равны 12, 15 и 18 — ни одна не совпала с нужной, значит 94 невозможно.
Для q = 25 подходит число 150. Наименьшее значение равно 26 и достигается на 468: при частном q < 26 из A = q·S и S ≤ 27 следует A ≤ 675, а оставшиеся пары (q, S) проверяются напрямую.
Пример 3
Отношение трёхзначного натурального числа к сумме его цифр — целое число.
а) Может ли это отношение быть равным 29?
б) Может ли это отношение быть равным 94?
в) Какое наименьшее значение может принимать это отношение, если первая цифра трёхзначного числа равна 5?
а) Может ли это отношение быть равным 29?
б) Может ли это отношение быть равным 94?
в) Какое наименьшее значение может принимать это отношение, если первая цифра трёхзначного числа равна 5?
Показать ответ
а) да, например 261 (сумма цифр 9, 261 : 9 = 29)
б) нет: из A = 94·S и A ≡ S (mod 9) следует, что 93·S кратно 9; подходят только S = 3, 6 и 9; суммы цифр чисел 282, 564 и 846 равны 12, 15 и 18 — ни одна не совпала с нужной
в) 28; пример: 588 (сумма цифр 21, 588 : 21 = 28); меньше нельзя — при частном q < 28 из A = q·S и S ≤ 27 следует A ≤ 729, и прямая проверка всех оставшихся пар (q, S) трёхзначных чисел не даёт
Решение
Обозначим число A, сумму его цифр S. Всегда A ≡ S (mod 9), поэтому из A = q·S следует, что (q − 1)·S кратно 9 — это отсекает большинство значений q.
Для q = 94: подходят только S = 3, 6 и 9; суммы цифр чисел 282, 564 и 846 равны 12, 15 и 18 — ни одна не совпала с нужной, значит 94 невозможно.
Для q = 29 подходит число 261. Наименьшее значение равно 28 и достигается на 588: при частном q < 28 из A = q·S и S ≤ 27 следует A ≤ 729, а оставшиеся пары (q, S) проверяются напрямую.
Для q = 94: подходят только S = 3, 6 и 9; суммы цифр чисел 282, 564 и 846 равны 12, 15 и 18 — ни одна не совпала с нужной, значит 94 невозможно.
Для q = 29 подходит число 261. Наименьшее значение равно 28 и достигается на 588: при частном q < 28 из A = q·S и S ≤ 27 следует A ≤ 729, а оставшиеся пары (q, S) проверяются напрямую.
Пример 4
Отношение трёхзначного натурального числа к сумме его цифр — целое число.
а) Может ли это отношение быть равным 91?
б) Может ли это отношение быть равным 81?
в) Какое наименьшее значение может принимать это отношение, если первая цифра трёхзначного числа равна 7?
а) Может ли это отношение быть равным 91?
б) Может ли это отношение быть равным 81?
в) Какое наименьшее значение может принимать это отношение, если первая цифра трёхзначного числа равна 7?
Показать ответ
а) да, например 910 (сумма цифр 10, 910 : 10 = 91)
б) нет: из A = 81·S и A ≡ S (mod 9) следует, что 80·S кратно 9; подходит только S = 9, но сумма цифр числа 729 равна 18, а не 9
в) 37; пример: 777 (сумма цифр 21, 777 : 21 = 37); меньше нельзя — при частном q < 37 из A = q·S и S ≤ 27 следует A ≤ 972, и прямая проверка всех оставшихся пар (q, S) трёхзначных чисел не даёт
Решение
Обозначим число A, сумму его цифр S. Всегда A ≡ S (mod 9), поэтому из A = q·S следует, что (q − 1)·S кратно 9 — это отсекает большинство значений q.
Для q = 81: подходит только S = 9, но сумма цифр числа 729 равна 18, а не 9, значит 81 невозможно.
Для q = 91 подходит число 910. Наименьшее значение равно 37 и достигается на 777: при частном q < 37 из A = q·S и S ≤ 27 следует A ≤ 972, а оставшиеся пары (q, S) проверяются напрямую.
Для q = 81: подходит только S = 9, но сумма цифр числа 729 равна 18, а не 9, значит 81 невозможно.
Для q = 91 подходит число 910. Наименьшее значение равно 37 и достигается на 777: при частном q < 37 из A = q·S и S ≤ 27 следует A ≤ 972, а оставшиеся пары (q, S) проверяются напрямую.
Пример 5
Отношение трёхзначного натурального числа к сумме его цифр — целое число.
а) Может ли это отношение быть равным 35?
б) Может ли это отношение быть равным 75?
в) Какое наименьшее значение может принимать это отношение, если первая цифра трёхзначного числа равна 2?
а) Может ли это отношение быть равным 35?
б) Может ли это отношение быть равным 75?
в) Какое наименьшее значение может принимать это отношение, если первая цифра трёхзначного числа равна 2?
Показать ответ
а) да, например 315 (сумма цифр 9, 315 : 9 = 35)
б) нет: из A = 75·S и A ≡ S (mod 9) следует, что 74·S кратно 9; подходит только S = 9, но сумма цифр числа 675 равна 18, а не 9
в) 16; пример: 288 (сумма цифр 18, 288 : 18 = 16); меньше нельзя — при частном q < 16 из A = q·S и S ≤ 27 следует A ≤ 405, и прямая проверка всех оставшихся пар (q, S) трёхзначных чисел не даёт
Решение
Обозначим число A, сумму его цифр S. Всегда A ≡ S (mod 9), поэтому из A = q·S следует, что (q − 1)·S кратно 9 — это отсекает большинство значений q.
Для q = 75: подходит только S = 9, но сумма цифр числа 675 равна 18, а не 9, значит 75 невозможно.
Для q = 35 подходит число 315. Наименьшее значение равно 16 и достигается на 288: при частном q < 16 из A = q·S и S ≤ 27 следует A ≤ 405, а оставшиеся пары (q, S) проверяются напрямую.
Для q = 75: подходит только S = 9, но сумма цифр числа 675 равна 18, а не 9, значит 75 невозможно.
Для q = 35 подходит число 315. Наименьшее значение равно 16 и достигается на 288: при частном q < 16 из A = q·S и S ≤ 27 следует A ≤ 405, а оставшиеся пары (q, S) проверяются напрямую.
Другие темы задания №20
1Каждый следующий в 10 раз больше или меньше: наибольшее число членов2Сумма соседей — одна из трёх: наименьшее число членов3Вдвое меньше либо больше на D: наименьший максимум4Средние без k-го члена: наибольшее M₃5Возрастающая с шагом ≤ 10: наибольшее среднее всех членов6Член больше среднего соседей: наименьшая сумма при n членах7Концы нулевые: наименьший второй член8Числа 1–4 и степенные суммы S₁…S₄9Целые числа: средние всех / положительных / отрицательных10Средние арифметические набора11Средние арифметические набора12Деление на три группы: наименьшее из наибольших средних
Нужен репетитор по математике?
Посмотрите репетиторов, которые ведут занятия в Precettore, или оставьте заявку — подберём сами.
Готовьтесь к ЕГЭ по профильной математике в Precettore
Варианты с автопроверкой, домашние задания от репетитора, онлайн-доска и разбор ошибок — в одном кабинете. Регистрация бесплатная.