Пара чисел и ход (a+b, 2a−1): наименьшая разность — задание 20 ЕГЭ по профильной математике
Игры и операции с инвариантом. 5 примера с ответом и проверкой.
Пример 1
На доске написаны числа 2 и 3. За один ход два числа a и b, записанные на доске, заменяются на два числа: или a + b и 2a − 1, или a + b и 2b − 1 (например, из чисел 2 и 3 можно получить либо 5 и 3, либо 5 и 5).
а) Приведите пример последовательности ходов, после которых одно из двух чисел, написанных на доске, окажется числом 13.
б) Может ли после 150 ходов одно из двух чисел, написанных на доске, оказаться числом 400?
в) Сделали 513 ходов, причём на доске никогда не было написано одновременно двух равных чисел. Какое наименьшее значение может принимать разность большего и меньшего из полученных чисел?
а) Приведите пример последовательности ходов, после которых одно из двух чисел, написанных на доске, окажется числом 13.
б) Может ли после 150 ходов одно из двух чисел, написанных на доске, оказаться числом 400?
в) Сделали 513 ходов, причём на доске никогда не было написано одновременно двух равных чисел. Какое наименьшее значение может принимать разность большего и меньшего из полученных чисел?
Показать ответ
а) 2 и 3 → 3 и 5 → 5 и 8 → 9 и 13
б) нет: меньшее из двух чисел не убывает, а после хода оно не меньше 2m − 1, где m — прежнее меньшее. Начиная с 2, после n ходов оба числа не меньше 2ⁿ + 1, поэтому уже после десяти ходов они больше 400, а ходов 150
в) 2
Решение
Обозначим d = a − b. После хода получается пара (a + b, 2a − 1) или (a + b, 2b − 1), и её разность равна (a + b) − (2a − 1) = 1 − d или (a + b) − (2b − 1) = d + 1. Значит модуль разности меняется ровно на единицу: |d| → |d| ± 1.
а) 2 и 3 → 3 и 5 → 5 и 8 → 9 и 13 — получилось число 13.
б) Меньшее число не убывает: из пары (a, b) с a ≤ b получаются числа a + b и 2a − 1 (или 2b − 1), и оба не меньше 2a − 1. Значит после n ходов числа не меньше 2n + 1, что при 150 ходах несравнимо больше 400.
в) Вначале |d| = 1, за каждый ход модуль разности меняется на единицу, поэтому после 513 ходов он имеет ту же чётность, что и 1 + 513. Нулевая разность запрещена условием, поэтому наименьшее возможное значение равно 2; оно достигается, если чередовать ходы, переводящие |d| между 2 и 3.
Ответ: 2.
а) 2 и 3 → 3 и 5 → 5 и 8 → 9 и 13 — получилось число 13.
б) Меньшее число не убывает: из пары (a, b) с a ≤ b получаются числа a + b и 2a − 1 (или 2b − 1), и оба не меньше 2a − 1. Значит после n ходов числа не меньше 2n + 1, что при 150 ходах несравнимо больше 400.
в) Вначале |d| = 1, за каждый ход модуль разности меняется на единицу, поэтому после 513 ходов он имеет ту же чётность, что и 1 + 513. Нулевая разность запрещена условием, поэтому наименьшее возможное значение равно 2; оно достигается, если чередовать ходы, переводящие |d| между 2 и 3.
Ответ: 2.
Пример 2
На доске написаны числа 2 и 3. За один ход два числа a и b, записанные на доске, заменяются на два числа: или a + b и 2a − 1, или a + b и 2b − 1 (например, из чисел 2 и 3 можно получить либо 5 и 3, либо 5 и 5).
а) Приведите пример последовательности ходов, после которых одно из двух чисел, написанных на доске, окажется числом 13.
б) Может ли после 200 ходов одно из двух чисел, написанных на доске, оказаться числом 640?
в) Сделали 401 ход, причём на доске никогда не было написано одновременно двух равных чисел. Какое наименьшее значение может принимать разность большего и меньшего из полученных чисел?
а) Приведите пример последовательности ходов, после которых одно из двух чисел, написанных на доске, окажется числом 13.
б) Может ли после 200 ходов одно из двух чисел, написанных на доске, оказаться числом 640?
в) Сделали 401 ход, причём на доске никогда не было написано одновременно двух равных чисел. Какое наименьшее значение может принимать разность большего и меньшего из полученных чисел?
Показать ответ
а) 2 и 3 → 3 и 5 → 5 и 8 → 9 и 13
б) нет: меньшее из двух чисел не убывает, а после хода оно не меньше 2m − 1, где m — прежнее меньшее. Начиная с 2, после n ходов оба числа не меньше 2ⁿ + 1, поэтому уже после десяти ходов они больше 640, а ходов 200
в) 2
Решение
Обозначим d = a − b. После хода получается пара (a + b, 2a − 1) или (a + b, 2b − 1), и её разность равна (a + b) − (2a − 1) = 1 − d или (a + b) − (2b − 1) = d + 1. Значит модуль разности меняется ровно на единицу: |d| → |d| ± 1.
а) 2 и 3 → 3 и 5 → 5 и 8 → 9 и 13 — получилось число 13.
б) Меньшее число не убывает: из пары (a, b) с a ≤ b получаются числа a + b и 2a − 1 (или 2b − 1), и оба не меньше 2a − 1. Значит после n ходов числа не меньше 2n + 1, что при 200 ходах несравнимо больше 640.
в) Вначале |d| = 1, за каждый ход модуль разности меняется на единицу, поэтому после 401 ходов он имеет ту же чётность, что и 1 + 401. Нулевая разность запрещена условием, поэтому наименьшее возможное значение равно 2; оно достигается, если чередовать ходы, переводящие |d| между 2 и 3.
Ответ: 2.
а) 2 и 3 → 3 и 5 → 5 и 8 → 9 и 13 — получилось число 13.
б) Меньшее число не убывает: из пары (a, b) с a ≤ b получаются числа a + b и 2a − 1 (или 2b − 1), и оба не меньше 2a − 1. Значит после n ходов числа не меньше 2n + 1, что при 200 ходах несравнимо больше 640.
в) Вначале |d| = 1, за каждый ход модуль разности меняется на единицу, поэтому после 401 ходов он имеет ту же чётность, что и 1 + 401. Нулевая разность запрещена условием, поэтому наименьшее возможное значение равно 2; оно достигается, если чередовать ходы, переводящие |d| между 2 и 3.
Ответ: 2.
Пример 3
На доске написаны числа 2 и 3. За один ход два числа a и b, записанные на доске, заменяются на два числа: или a + b и 2a − 1, или a + b и 2b − 1 (например, из чисел 2 и 3 можно получить либо 5 и 3, либо 5 и 5).
а) Приведите пример последовательности ходов, после которых одно из двух чисел, написанных на доске, окажется числом 13.
б) Может ли после 200 ходов одно из двух чисел, написанных на доске, оказаться числом 640?
в) Сделали 621 ход, причём на доске никогда не было написано одновременно двух равных чисел. Какое наименьшее значение может принимать разность большего и меньшего из полученных чисел?
а) Приведите пример последовательности ходов, после которых одно из двух чисел, написанных на доске, окажется числом 13.
б) Может ли после 200 ходов одно из двух чисел, написанных на доске, оказаться числом 640?
в) Сделали 621 ход, причём на доске никогда не было написано одновременно двух равных чисел. Какое наименьшее значение может принимать разность большего и меньшего из полученных чисел?
Показать ответ
а) 2 и 3 → 3 и 5 → 5 и 8 → 9 и 13
б) нет: меньшее из двух чисел не убывает, а после хода оно не меньше 2m − 1, где m — прежнее меньшее. Начиная с 2, после n ходов оба числа не меньше 2ⁿ + 1, поэтому уже после десяти ходов они больше 640, а ходов 200
в) 2
Решение
Обозначим d = a − b. После хода получается пара (a + b, 2a − 1) или (a + b, 2b − 1), и её разность равна (a + b) − (2a − 1) = 1 − d или (a + b) − (2b − 1) = d + 1. Значит модуль разности меняется ровно на единицу: |d| → |d| ± 1.
а) 2 и 3 → 3 и 5 → 5 и 8 → 9 и 13 — получилось число 13.
б) Меньшее число не убывает: из пары (a, b) с a ≤ b получаются числа a + b и 2a − 1 (или 2b − 1), и оба не меньше 2a − 1. Значит после n ходов числа не меньше 2n + 1, что при 200 ходах несравнимо больше 640.
в) Вначале |d| = 1, за каждый ход модуль разности меняется на единицу, поэтому после 621 ходов он имеет ту же чётность, что и 1 + 621. Нулевая разность запрещена условием, поэтому наименьшее возможное значение равно 2; оно достигается, если чередовать ходы, переводящие |d| между 2 и 3.
Ответ: 2.
а) 2 и 3 → 3 и 5 → 5 и 8 → 9 и 13 — получилось число 13.
б) Меньшее число не убывает: из пары (a, b) с a ≤ b получаются числа a + b и 2a − 1 (или 2b − 1), и оба не меньше 2a − 1. Значит после n ходов числа не меньше 2n + 1, что при 200 ходах несравнимо больше 640.
в) Вначале |d| = 1, за каждый ход модуль разности меняется на единицу, поэтому после 621 ходов он имеет ту же чётность, что и 1 + 621. Нулевая разность запрещена условием, поэтому наименьшее возможное значение равно 2; оно достигается, если чередовать ходы, переводящие |d| между 2 и 3.
Ответ: 2.
Пример 4
На доске написаны числа 2 и 3. За один ход два числа a и b, записанные на доске, заменяются на два числа: или a + b и 2a − 1, или a + b и 2b − 1 (например, из чисел 2 и 3 можно получить либо 5 и 3, либо 5 и 5).
а) Приведите пример последовательности ходов, после которых одно из двух чисел, написанных на доске, окажется числом 13.
б) Может ли после 100 ходов одно из двух чисел, написанных на доске, оказаться числом 500?
в) Сделали 621 ход, причём на доске никогда не было написано одновременно двух равных чисел. Какое наименьшее значение может принимать разность большего и меньшего из полученных чисел?
а) Приведите пример последовательности ходов, после которых одно из двух чисел, написанных на доске, окажется числом 13.
б) Может ли после 100 ходов одно из двух чисел, написанных на доске, оказаться числом 500?
в) Сделали 621 ход, причём на доске никогда не было написано одновременно двух равных чисел. Какое наименьшее значение может принимать разность большего и меньшего из полученных чисел?
Показать ответ
а) 2 и 3 → 3 и 5 → 5 и 8 → 9 и 13
б) нет: меньшее из двух чисел не убывает, а после хода оно не меньше 2m − 1, где m — прежнее меньшее. Начиная с 2, после n ходов оба числа не меньше 2ⁿ + 1, поэтому уже после десяти ходов они больше 500, а ходов 100
в) 2
Решение
Обозначим d = a − b. После хода получается пара (a + b, 2a − 1) или (a + b, 2b − 1), и её разность равна (a + b) − (2a − 1) = 1 − d или (a + b) − (2b − 1) = d + 1. Значит модуль разности меняется ровно на единицу: |d| → |d| ± 1.
а) 2 и 3 → 3 и 5 → 5 и 8 → 9 и 13 — получилось число 13.
б) Меньшее число не убывает: из пары (a, b) с a ≤ b получаются числа a + b и 2a − 1 (или 2b − 1), и оба не меньше 2a − 1. Значит после n ходов числа не меньше 2n + 1, что при 100 ходах несравнимо больше 500.
в) Вначале |d| = 1, за каждый ход модуль разности меняется на единицу, поэтому после 621 ходов он имеет ту же чётность, что и 1 + 621. Нулевая разность запрещена условием, поэтому наименьшее возможное значение равно 2; оно достигается, если чередовать ходы, переводящие |d| между 2 и 3.
Ответ: 2.
а) 2 и 3 → 3 и 5 → 5 и 8 → 9 и 13 — получилось число 13.
б) Меньшее число не убывает: из пары (a, b) с a ≤ b получаются числа a + b и 2a − 1 (или 2b − 1), и оба не меньше 2a − 1. Значит после n ходов числа не меньше 2n + 1, что при 100 ходах несравнимо больше 500.
в) Вначале |d| = 1, за каждый ход модуль разности меняется на единицу, поэтому после 621 ходов он имеет ту же чётность, что и 1 + 621. Нулевая разность запрещена условием, поэтому наименьшее возможное значение равно 2; оно достигается, если чередовать ходы, переводящие |d| между 2 и 3.
Ответ: 2.
Пример 5
На доске написаны числа 2 и 3. За один ход два числа a и b, записанные на доске, заменяются на два числа: или a + b и 2a − 1, или a + b и 2b − 1 (например, из чисел 2 и 3 можно получить либо 5 и 3, либо 5 и 5).
а) Приведите пример последовательности ходов, после которых одно из двух чисел, написанных на доске, окажется числом 13.
б) Может ли после 100 ходов одно из двух чисел, написанных на доске, оказаться числом 500?
в) Сделали 513 ходов, причём на доске никогда не было написано одновременно двух равных чисел. Какое наименьшее значение может принимать разность большего и меньшего из полученных чисел?
а) Приведите пример последовательности ходов, после которых одно из двух чисел, написанных на доске, окажется числом 13.
б) Может ли после 100 ходов одно из двух чисел, написанных на доске, оказаться числом 500?
в) Сделали 513 ходов, причём на доске никогда не было написано одновременно двух равных чисел. Какое наименьшее значение может принимать разность большего и меньшего из полученных чисел?
Показать ответ
а) 2 и 3 → 3 и 5 → 5 и 8 → 9 и 13
б) нет: меньшее из двух чисел не убывает, а после хода оно не меньше 2m − 1, где m — прежнее меньшее. Начиная с 2, после n ходов оба числа не меньше 2ⁿ + 1, поэтому уже после десяти ходов они больше 500, а ходов 100
в) 2
Решение
Обозначим d = a − b. После хода получается пара (a + b, 2a − 1) или (a + b, 2b − 1), и её разность равна (a + b) − (2a − 1) = 1 − d или (a + b) − (2b − 1) = d + 1. Значит модуль разности меняется ровно на единицу: |d| → |d| ± 1.
а) 2 и 3 → 3 и 5 → 5 и 8 → 9 и 13 — получилось число 13.
б) Меньшее число не убывает: из пары (a, b) с a ≤ b получаются числа a + b и 2a − 1 (или 2b − 1), и оба не меньше 2a − 1. Значит после n ходов числа не меньше 2n + 1, что при 100 ходах несравнимо больше 500.
в) Вначале |d| = 1, за каждый ход модуль разности меняется на единицу, поэтому после 513 ходов он имеет ту же чётность, что и 1 + 513. Нулевая разность запрещена условием, поэтому наименьшее возможное значение равно 2; оно достигается, если чередовать ходы, переводящие |d| между 2 и 3.
Ответ: 2.
а) 2 и 3 → 3 и 5 → 5 и 8 → 9 и 13 — получилось число 13.
б) Меньшее число не убывает: из пары (a, b) с a ≤ b получаются числа a + b и 2a − 1 (или 2b − 1), и оба не меньше 2a − 1. Значит после n ходов числа не меньше 2n + 1, что при 100 ходах несравнимо больше 500.
в) Вначале |d| = 1, за каждый ход модуль разности меняется на единицу, поэтому после 513 ходов он имеет ту же чётность, что и 1 + 513. Нулевая разность запрещена условием, поэтому наименьшее возможное значение равно 2; оно достигается, если чередовать ходы, переводящие |d| между 2 и 3.
Ответ: 2.
Другие темы задания №20
1Каждый следующий в 10 раз больше или меньше: наибольшее число членов2Сумма соседей — одна из трёх: наименьшее число членов3Вдвое меньше либо больше на D: наименьший максимум4Средние без k-го члена: наибольшее M₃5Возрастающая с шагом ≤ 10: наибольшее среднее всех членов6Член больше среднего соседей: наименьшая сумма при n членах7Концы нулевые: наименьший второй член8Числа 1–4 и степенные суммы S₁…S₄9Целые числа: средние всех / положительных / отрицательных10Средние арифметические набора11Средние арифметические набора12Деление на три группы: наименьшее из наибольших средних
Нужен репетитор по математике?
Посмотрите репетиторов, которые ведут занятия в Precettore, или оставьте заявку — подберём сами.
Готовьтесь к ЕГЭ по профильной математике в Precettore
Варианты с автопроверкой, домашние задания от репетитора, онлайн-доска и разбор ошибок — в одном кабинете. Регистрация бесплатная.