Пары с различными суммами: наибольшее k — задание 20 ЕГЭ по профильной математике
Сравнение групп. 5 примера с ответом и проверкой.
Пример 1
Из первых 26 натуральных чисел 1, 2, …, 26 выбрали 2k различных чисел. Выбранные числа разбили на пары и посчитали суммы чисел в каждой паре. Оказалось, что все полученные суммы различны и не превосходят 32.
а) Может ли получиться так, что сумма всех 2k выбранных чисел равняется 191 и в каждой паре одно из чисел ровно в три раза больше другого?
б) Может ли число k быть равным 13?
в) Найдите наибольшее возможное значение числа k.
а) Может ли получиться так, что сумма всех 2k выбранных чисел равняется 191 и в каждой паре одно из чисел ровно в три раза больше другого?
б) Может ли число k быть равным 13?
в) Найдите наибольшее возможное значение числа k.
Показать ответ
а) нет: такая пара имеет вид a и 3a, её сумма равна 4a, поэтому сумма всех выбранных чисел делится на 4, а 191 на 4 не делится
б) нет: сумма 26 различных чисел не меньше 1 + 2 + … + 26 = 351, а 13 различных сумм, не превосходящих 32, дают в сумме не больше 32 + 31 + … + 20 = 338 < 351
в) 12; например, пары (1; 24), (2; 22), (3; 23), (4; 19), (5; 17), (6; 21), (7; 13), (8; 11), (9; 12), (10; 20), (14; 18), (15; 16) с суммами 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 30, 31, 32
Решение
а) Если в паре одно число в три раза больше другого, то пара — это a и 3a, а её сумма равна 4a. Сумма всех выбранных чисел равна сумме сумм пар, значит она делится на 4. Число 191 на 4 не делится. Ответ: нет.
б) Пусть k = 13. Выбраны 26 различных натуральных чисел, поэтому их сумма не меньше 1 + 2 + … + 26 = 351. С другой стороны, эта же сумма равна сумме 13 различных сумм пар, каждая из которых не превосходит 32, то есть не больше 32 + 31 + … + 20 = 338. Но 351 > 338 — противоречие. Ответ: нет.
в) То же рассуждение для произвольного k даёт k(2k + 1) ≤ 32k − k(k − 1)/2, откуда k ≤ 12. Значение 12 достигается: пары (1; 24), (2; 22), (3; 23), (4; 19), (5; 17), (6; 21), (7; 13), (8; 11), (9; 12), (10; 20), (14; 18), (15; 16), их суммы 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 30, 31, 32 различны и не превосходят 32. Ответ: 12.
б) Пусть k = 13. Выбраны 26 различных натуральных чисел, поэтому их сумма не меньше 1 + 2 + … + 26 = 351. С другой стороны, эта же сумма равна сумме 13 различных сумм пар, каждая из которых не превосходит 32, то есть не больше 32 + 31 + … + 20 = 338. Но 351 > 338 — противоречие. Ответ: нет.
в) То же рассуждение для произвольного k даёт k(2k + 1) ≤ 32k − k(k − 1)/2, откуда k ≤ 12. Значение 12 достигается: пары (1; 24), (2; 22), (3; 23), (4; 19), (5; 17), (6; 21), (7; 13), (8; 11), (9; 12), (10; 20), (14; 18), (15; 16), их суммы 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 30, 31, 32 различны и не превосходят 32. Ответ: 12.
Пример 2
Из первых 18 натуральных чисел 1, 2, …, 18 выбрали 2k различных чисел. Выбранные числа разбили на пары и посчитали суммы чисел в каждой паре. Оказалось, что все полученные суммы различны и не превосходят 22.
а) Может ли получиться так, что сумма всех 2k выбранных чисел равняется 143 и в каждой паре одно из чисел ровно в три раза больше другого?
б) Может ли число k быть равным 9?
в) Найдите наибольшее возможное значение числа k.
а) Может ли получиться так, что сумма всех 2k выбранных чисел равняется 143 и в каждой паре одно из чисел ровно в три раза больше другого?
б) Может ли число k быть равным 9?
в) Найдите наибольшее возможное значение числа k.
Показать ответ
а) нет: такая пара имеет вид a и 3a, её сумма равна 4a, поэтому сумма всех выбранных чисел делится на 4, а 143 на 4 не делится
б) нет: сумма 18 различных чисел не меньше 1 + 2 + … + 18 = 171, а 9 различных сумм, не превосходящих 22, дают в сумме не больше 22 + 21 + … + 14 = 162 < 171
в) 8; например, пары (1; 16), (2; 14), (3; 15), (4; 11), (5; 9), (6; 7), (8; 13), (10; 12) с суммами 13, 14, 15, 16, 17, 18, 21, 22
Решение
а) Если в паре одно число в три раза больше другого, то пара — это a и 3a, а её сумма равна 4a. Сумма всех выбранных чисел равна сумме сумм пар, значит она делится на 4. Число 143 на 4 не делится. Ответ: нет.
б) Пусть k = 9. Выбраны 18 различных натуральных чисел, поэтому их сумма не меньше 1 + 2 + … + 18 = 171. С другой стороны, эта же сумма равна сумме 9 различных сумм пар, каждая из которых не превосходит 22, то есть не больше 22 + 21 + … + 14 = 162. Но 171 > 162 — противоречие. Ответ: нет.
в) То же рассуждение для произвольного k даёт k(2k + 1) ≤ 22k − k(k − 1)/2, откуда k ≤ 8. Значение 8 достигается: пары (1; 16), (2; 14), (3; 15), (4; 11), (5; 9), (6; 7), (8; 13), (10; 12), их суммы 13, 14, 15, 16, 17, 18, 21, 22 различны и не превосходят 22. Ответ: 8.
б) Пусть k = 9. Выбраны 18 различных натуральных чисел, поэтому их сумма не меньше 1 + 2 + … + 18 = 171. С другой стороны, эта же сумма равна сумме 9 различных сумм пар, каждая из которых не превосходит 22, то есть не больше 22 + 21 + … + 14 = 162. Но 171 > 162 — противоречие. Ответ: нет.
в) То же рассуждение для произвольного k даёт k(2k + 1) ≤ 22k − k(k − 1)/2, откуда k ≤ 8. Значение 8 достигается: пары (1; 16), (2; 14), (3; 15), (4; 11), (5; 9), (6; 7), (8; 13), (10; 12), их суммы 13, 14, 15, 16, 17, 18, 21, 22 различны и не превосходят 22. Ответ: 8.
Пример 3
Из первых 18 натуральных чисел 1, 2, …, 18 выбрали 2k различных чисел. Выбранные числа разбили на пары и посчитали суммы чисел в каждой паре. Оказалось, что все полученные суммы различны и не превосходят 22.
а) Может ли получиться так, что сумма всех 2k выбранных чисел равняется 85 и в каждой паре одно из чисел ровно в три раза больше другого?
б) Может ли число k быть равным 9?
в) Найдите наибольшее возможное значение числа k.
а) Может ли получиться так, что сумма всех 2k выбранных чисел равняется 85 и в каждой паре одно из чисел ровно в три раза больше другого?
б) Может ли число k быть равным 9?
в) Найдите наибольшее возможное значение числа k.
Показать ответ
а) нет: такая пара имеет вид a и 3a, её сумма равна 4a, поэтому сумма всех выбранных чисел делится на 4, а 85 на 4 не делится
б) нет: сумма 18 различных чисел не меньше 1 + 2 + … + 18 = 171, а 9 различных сумм, не превосходящих 22, дают в сумме не больше 22 + 21 + … + 14 = 162 < 171
в) 8; например, пары (1; 16), (2; 14), (3; 15), (4; 11), (5; 9), (6; 7), (8; 13), (10; 12) с суммами 13, 14, 15, 16, 17, 18, 21, 22
Решение
а) Если в паре одно число в три раза больше другого, то пара — это a и 3a, а её сумма равна 4a. Сумма всех выбранных чисел равна сумме сумм пар, значит она делится на 4. Число 85 на 4 не делится. Ответ: нет.
б) Пусть k = 9. Выбраны 18 различных натуральных чисел, поэтому их сумма не меньше 1 + 2 + … + 18 = 171. С другой стороны, эта же сумма равна сумме 9 различных сумм пар, каждая из которых не превосходит 22, то есть не больше 22 + 21 + … + 14 = 162. Но 171 > 162 — противоречие. Ответ: нет.
в) То же рассуждение для произвольного k даёт k(2k + 1) ≤ 22k − k(k − 1)/2, откуда k ≤ 8. Значение 8 достигается: пары (1; 16), (2; 14), (3; 15), (4; 11), (5; 9), (6; 7), (8; 13), (10; 12), их суммы 13, 14, 15, 16, 17, 18, 21, 22 различны и не превосходят 22. Ответ: 8.
б) Пусть k = 9. Выбраны 18 различных натуральных чисел, поэтому их сумма не меньше 1 + 2 + … + 18 = 171. С другой стороны, эта же сумма равна сумме 9 различных сумм пар, каждая из которых не превосходит 22, то есть не больше 22 + 21 + … + 14 = 162. Но 171 > 162 — противоречие. Ответ: нет.
в) То же рассуждение для произвольного k даёт k(2k + 1) ≤ 22k − k(k − 1)/2, откуда k ≤ 8. Значение 8 достигается: пары (1; 16), (2; 14), (3; 15), (4; 11), (5; 9), (6; 7), (8; 13), (10; 12), их суммы 13, 14, 15, 16, 17, 18, 21, 22 различны и не превосходят 22. Ответ: 8.
Пример 4
Из первых 18 натуральных чисел 1, 2, …, 18 выбрали 2k различных чисел. Выбранные числа разбили на пары и посчитали суммы чисел в каждой паре. Оказалось, что все полученные суммы различны и не превосходят 22.
а) Может ли получиться так, что сумма всех 2k выбранных чисел равняется 68 и в каждой паре одно из чисел ровно в четыре раза больше другого?
б) Может ли число k быть равным 9?
в) Найдите наибольшее возможное значение числа k.
а) Может ли получиться так, что сумма всех 2k выбранных чисел равняется 68 и в каждой паре одно из чисел ровно в четыре раза больше другого?
б) Может ли число k быть равным 9?
в) Найдите наибольшее возможное значение числа k.
Показать ответ
а) нет: такая пара имеет вид a и 4a, её сумма равна 5a, поэтому сумма всех выбранных чисел делится на 5, а 68 на 5 не делится
б) нет: сумма 18 различных чисел не меньше 1 + 2 + … + 18 = 171, а 9 различных сумм, не превосходящих 22, дают в сумме не больше 22 + 21 + … + 14 = 162 < 171
в) 8; например, пары (1; 16), (2; 14), (3; 15), (4; 11), (5; 9), (6; 7), (8; 13), (10; 12) с суммами 13, 14, 15, 16, 17, 18, 21, 22
Решение
а) Если в паре одно число в четыре раза больше другого, то пара — это a и 4a, а её сумма равна 5a. Сумма всех выбранных чисел равна сумме сумм пар, значит она делится на 5. Число 68 на 5 не делится. Ответ: нет.
б) Пусть k = 9. Выбраны 18 различных натуральных чисел, поэтому их сумма не меньше 1 + 2 + … + 18 = 171. С другой стороны, эта же сумма равна сумме 9 различных сумм пар, каждая из которых не превосходит 22, то есть не больше 22 + 21 + … + 14 = 162. Но 171 > 162 — противоречие. Ответ: нет.
в) То же рассуждение для произвольного k даёт k(2k + 1) ≤ 22k − k(k − 1)/2, откуда k ≤ 8. Значение 8 достигается: пары (1; 16), (2; 14), (3; 15), (4; 11), (5; 9), (6; 7), (8; 13), (10; 12), их суммы 13, 14, 15, 16, 17, 18, 21, 22 различны и не превосходят 22. Ответ: 8.
б) Пусть k = 9. Выбраны 18 различных натуральных чисел, поэтому их сумма не меньше 1 + 2 + … + 18 = 171. С другой стороны, эта же сумма равна сумме 9 различных сумм пар, каждая из которых не превосходит 22, то есть не больше 22 + 21 + … + 14 = 162. Но 171 > 162 — противоречие. Ответ: нет.
в) То же рассуждение для произвольного k даёт k(2k + 1) ≤ 22k − k(k − 1)/2, откуда k ≤ 8. Значение 8 достигается: пары (1; 16), (2; 14), (3; 15), (4; 11), (5; 9), (6; 7), (8; 13), (10; 12), их суммы 13, 14, 15, 16, 17, 18, 21, 22 различны и не превосходят 22. Ответ: 8.
Пример 5
Из первых 22 натуральных чисел 1, 2, …, 22 выбрали 2k различных чисел. Выбранные числа разбили на пары и посчитали суммы чисел в каждой паре. Оказалось, что все полученные суммы различны и не превосходят 27.
а) Может ли получиться так, что сумма всех 2k выбранных чисел равняется 164 и в каждой паре одно из чисел ровно в два раза больше другого?
б) Может ли число k быть равным 11?
в) Найдите наибольшее возможное значение числа k.
а) Может ли получиться так, что сумма всех 2k выбранных чисел равняется 164 и в каждой паре одно из чисел ровно в два раза больше другого?
б) Может ли число k быть равным 11?
в) Найдите наибольшее возможное значение числа k.
Показать ответ
а) нет: такая пара имеет вид a и 2a, её сумма равна 3a, поэтому сумма всех выбранных чисел делится на 3, а 164 на 3 не делится
б) нет: сумма 22 различных чисел не меньше 1 + 2 + … + 22 = 253, а 11 различных сумм, не превосходящих 27, дают в сумме не больше 27 + 26 + … + 17 = 242 < 253
в) 10; например, пары (1; 20), (2; 18), (3; 19), (4; 15), (5; 13), (6; 11), (7; 9), (8; 16), (10; 17), (12; 14) с суммами 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 24, 26, 27
Решение
а) Если в паре одно число в два раза больше другого, то пара — это a и 2a, а её сумма равна 3a. Сумма всех выбранных чисел равна сумме сумм пар, значит она делится на 3. Число 164 на 3 не делится. Ответ: нет.
б) Пусть k = 11. Выбраны 22 различных натуральных чисел, поэтому их сумма не меньше 1 + 2 + … + 22 = 253. С другой стороны, эта же сумма равна сумме 11 различных сумм пар, каждая из которых не превосходит 27, то есть не больше 27 + 26 + … + 17 = 242. Но 253 > 242 — противоречие. Ответ: нет.
в) То же рассуждение для произвольного k даёт k(2k + 1) ≤ 27k − k(k − 1)/2, откуда k ≤ 10. Значение 10 достигается: пары (1; 20), (2; 18), (3; 19), (4; 15), (5; 13), (6; 11), (7; 9), (8; 16), (10; 17), (12; 14), их суммы 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 24, 26, 27 различны и не превосходят 27. Ответ: 10.
б) Пусть k = 11. Выбраны 22 различных натуральных чисел, поэтому их сумма не меньше 1 + 2 + … + 22 = 253. С другой стороны, эта же сумма равна сумме 11 различных сумм пар, каждая из которых не превосходит 27, то есть не больше 27 + 26 + … + 17 = 242. Но 253 > 242 — противоречие. Ответ: нет.
в) То же рассуждение для произвольного k даёт k(2k + 1) ≤ 27k − k(k − 1)/2, откуда k ≤ 10. Значение 10 достигается: пары (1; 20), (2; 18), (3; 19), (4; 15), (5; 13), (6; 11), (7; 9), (8; 16), (10; 17), (12; 14), их суммы 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 24, 26, 27 различны и не превосходят 27. Ответ: 10.
Другие темы задания №20
1Каждый следующий в 10 раз больше или меньше: наибольшее число членов2Сумма соседей — одна из трёх: наименьшее число членов3Вдвое меньше либо больше на D: наименьший максимум4Средние без k-го члена: наибольшее M₃5Возрастающая с шагом ≤ 10: наибольшее среднее всех членов6Член больше среднего соседей: наименьшая сумма при n членах7Концы нулевые: наименьший второй член8Числа 1–4 и степенные суммы S₁…S₄9Целые числа: средние всех / положительных / отрицательных10Средние арифметические набора11Средние арифметические набора12Деление на три группы: наименьшее из наибольших средних
Нужен репетитор по математике?
Посмотрите репетиторов, которые ведут занятия в Precettore, или оставьте заявку — подберём сами.
Готовьтесь к ЕГЭ по профильной математике в Precettore
Варианты с автопроверкой, домашние задания от репетитора, онлайн-доска и разбор ошибок — в одном кабинете. Регистрация бесплатная.