Переход учащегося: наибольшее число учащихся школы № 1 — задание 20 ЕГЭ по профильной математике
Две школы, средний балл. 5 примера с ответом и проверкой.
Пример 1
В школах №1 и №2 учащиеся писали тест. Из каждой школы тест писали, по крайней мере, 2 учащихся. Каждый учащийся, писавший тест, набрал натуральное количество баллов. Оказалось, что в каждой школе средний балл за тест был целым числом, причём в школе №2 средний балл равнялся 54. Один из учащихся, писавших тест, перешёл из школы №1 в школу №2, а средние баллы за тест были пересчитаны в обеих школах. В результате средний балл в школе №1 уменьшился на 10 %, средний балл в школе №2 также уменьшился на 10 %.
а) Сколько учащихся могло писать тест в школе №2 изначально?
б) Каждый учащийся школы №2, писавший тест, набрал больше баллов, чем перешедший в неё учащийся школы №1. Какое наибольшее количество баллов мог набрать учащийся школы №2?
в) Какое наибольшее количество учащихся могло писать тест в школе №1 изначально?
а) Сколько учащихся могло писать тест в школе №2 изначально?
б) Каждый учащийся школы №2, писавший тест, набрал больше баллов, чем перешедший в неё учащийся школы №1. Какое наибольшее количество баллов мог набрать учащийся школы №2?
в) Какое наибольшее количество учащихся могло писать тест в школе №1 изначально?
Показать ответ
а) 4: из (54m + x)/(m + 1) = 0,9·54 следует x = 54(9 − m)/10, и это натуральное число только при m = 4 (тогда x = 27)
б) 132; например баллы 28, 28, 28, 132: их сумма 216 даёт средний балл 54, и каждый больше 27
в) 126; например в школе №1 средний балл 2, а баллы такие: 27, 101 и ещё 124 балла по 1
Решение
Пусть перешёл учащийся с баллом x.
а) Для школы №2: (54m + x)/(m + 1) = 0,9·54, откуда x = 54(9 − m)/10. Число x натуральное, поэтому подходит только m = 4, и тогда x = 27.
б) Все баллы школы №2 больше 27, то есть не меньше 28. Сумма баллов равна 54·4 = 216, поэтому наибольший балл не превосходит 216 − 3·28 = 132; это значение достигается на наборе 28, 28, 28, 132.
в) Для школы №1: (An − x)/(n − 1) = 0,9A, откуда 10·27 = A(n + 9), то есть A = 270/(n + 9). Кроме того сумма баллов An должна вмещать балл 27 и хотя бы по одному баллу у остальных: An ≥ 27 + (n − 1). Наибольшее подходящее n равно 126 (при A = 2).
Ответ: 4; 132; 126.
а) Для школы №2: (54m + x)/(m + 1) = 0,9·54, откуда x = 54(9 − m)/10. Число x натуральное, поэтому подходит только m = 4, и тогда x = 27.
б) Все баллы школы №2 больше 27, то есть не меньше 28. Сумма баллов равна 54·4 = 216, поэтому наибольший балл не превосходит 216 − 3·28 = 132; это значение достигается на наборе 28, 28, 28, 132.
в) Для школы №1: (An − x)/(n − 1) = 0,9A, откуда 10·27 = A(n + 9), то есть A = 270/(n + 9). Кроме того сумма баллов An должна вмещать балл 27 и хотя бы по одному баллу у остальных: An ≥ 27 + (n − 1). Наибольшее подходящее n равно 126 (при A = 2).
Ответ: 4; 132; 126.
Пример 2
В школах №1 и №2 учащиеся писали тест. Из каждой школы тест писали, по крайней мере, 2 учащихся. Каждый учащийся, писавший тест, набрал натуральное количество баллов. Оказалось, что в каждой школе средний балл за тест был целым числом, причём в школе №2 средний балл равнялся 56. Один из учащихся, писавших тест, перешёл из школы №1 в школу №2, а средние баллы за тест были пересчитаны в обеих школах. В результате средний балл в школе №1 уменьшился на 10 %, средний балл в школе №2 также уменьшился на 10 %.
а) Сколько учащихся могло писать тест в школе №2 изначально?
б) Каждый учащийся школы №2, писавший тест, набрал больше баллов, чем перешедший в неё учащийся школы №1. Какое наибольшее количество баллов мог набрать учащийся школы №2?
в) Какое наибольшее количество учащихся могло писать тест в школе №1 изначально?
а) Сколько учащихся могло писать тест в школе №2 изначально?
б) Каждый учащийся школы №2, писавший тест, набрал больше баллов, чем перешедший в неё учащийся школы №1. Какое наибольшее количество баллов мог набрать учащийся школы №2?
в) Какое наибольшее количество учащихся могло писать тест в школе №1 изначально?
Показать ответ
а) 4: из (56m + x)/(m + 1) = 0,9·56 следует x = 56(9 − m)/10, и это натуральное число только при m = 4 (тогда x = 28)
б) 137; например баллы 29, 29, 29, 137: их сумма 224 даёт средний балл 56, и каждый больше 28
в) 131; например в школе №1 средний балл 2, а баллы такие: 28, 105 и ещё 129 баллов по 1
Решение
Пусть перешёл учащийся с баллом x.
а) Для школы №2: (56m + x)/(m + 1) = 0,9·56, откуда x = 56(9 − m)/10. Число x натуральное, поэтому подходит только m = 4, и тогда x = 28.
б) Все баллы школы №2 больше 28, то есть не меньше 29. Сумма баллов равна 56·4 = 224, поэтому наибольший балл не превосходит 224 − 3·29 = 137; это значение достигается на наборе 29, 29, 29, 137.
в) Для школы №1: (An − x)/(n − 1) = 0,9A, откуда 10·28 = A(n + 9), то есть A = 280/(n + 9). Кроме того сумма баллов An должна вмещать балл 28 и хотя бы по одному баллу у остальных: An ≥ 28 + (n − 1). Наибольшее подходящее n равно 131 (при A = 2).
Ответ: 4; 137; 131.
а) Для школы №2: (56m + x)/(m + 1) = 0,9·56, откуда x = 56(9 − m)/10. Число x натуральное, поэтому подходит только m = 4, и тогда x = 28.
б) Все баллы школы №2 больше 28, то есть не меньше 29. Сумма баллов равна 56·4 = 224, поэтому наибольший балл не превосходит 224 − 3·29 = 137; это значение достигается на наборе 29, 29, 29, 137.
в) Для школы №1: (An − x)/(n − 1) = 0,9A, откуда 10·28 = A(n + 9), то есть A = 280/(n + 9). Кроме того сумма баллов An должна вмещать балл 28 и хотя бы по одному баллу у остальных: An ≥ 28 + (n − 1). Наибольшее подходящее n равно 131 (при A = 2).
Ответ: 4; 137; 131.
Пример 3
В школах №1 и №2 учащиеся писали тест. Из каждой школы тест писали, по крайней мере, 2 учащихся. Каждый учащийся, писавший тест, набрал натуральное количество баллов. Оказалось, что в каждой школе средний балл за тест был целым числом, причём в школе №2 средний балл равнялся 36. Один из учащихся, писавших тест, перешёл из школы №1 в школу №2, а средние баллы за тест были пересчитаны в обеих школах. В результате средний балл в школе №1 уменьшился на 10 %, средний балл в школе №2 также уменьшился на 10 %.
а) Сколько учащихся могло писать тест в школе №2 изначально?
б) Каждый учащийся школы №2, писавший тест, набрал больше баллов, чем перешедший в неё учащийся школы №1. Какое наибольшее количество баллов мог набрать учащийся школы №2?
в) Какое наибольшее количество учащихся могло писать тест в школе №1 изначально?
а) Сколько учащихся могло писать тест в школе №2 изначально?
б) Каждый учащийся школы №2, писавший тест, набрал больше баллов, чем перешедший в неё учащийся школы №1. Какое наибольшее количество баллов мог набрать учащийся школы №2?
в) Какое наибольшее количество учащихся могло писать тест в школе №1 изначально?
Показать ответ
а) 4: из (36m + x)/(m + 1) = 0,9·36 следует x = 36(9 − m)/10, и это натуральное число только при m = 4 (тогда x = 18)
б) 87; например баллы 19, 19, 19, 87: их сумма 144 даёт средний балл 36, и каждый больше 18
в) 81; например в школе №1 средний балл 2, а баллы такие: 18, 65 и ещё 79 баллов по 1
Решение
Пусть перешёл учащийся с баллом x.
а) Для школы №2: (36m + x)/(m + 1) = 0,9·36, откуда x = 36(9 − m)/10. Число x натуральное, поэтому подходит только m = 4, и тогда x = 18.
б) Все баллы школы №2 больше 18, то есть не меньше 19. Сумма баллов равна 36·4 = 144, поэтому наибольший балл не превосходит 144 − 3·19 = 87; это значение достигается на наборе 19, 19, 19, 87.
в) Для школы №1: (An − x)/(n − 1) = 0,9A, откуда 10·18 = A(n + 9), то есть A = 180/(n + 9). Кроме того сумма баллов An должна вмещать балл 18 и хотя бы по одному баллу у остальных: An ≥ 18 + (n − 1). Наибольшее подходящее n равно 81 (при A = 2).
Ответ: 4; 87; 81.
а) Для школы №2: (36m + x)/(m + 1) = 0,9·36, откуда x = 36(9 − m)/10. Число x натуральное, поэтому подходит только m = 4, и тогда x = 18.
б) Все баллы школы №2 больше 18, то есть не меньше 19. Сумма баллов равна 36·4 = 144, поэтому наибольший балл не превосходит 144 − 3·19 = 87; это значение достигается на наборе 19, 19, 19, 87.
в) Для школы №1: (An − x)/(n − 1) = 0,9A, откуда 10·18 = A(n + 9), то есть A = 180/(n + 9). Кроме того сумма баллов An должна вмещать балл 18 и хотя бы по одному баллу у остальных: An ≥ 18 + (n − 1). Наибольшее подходящее n равно 81 (при A = 2).
Ответ: 4; 87; 81.
Пример 4
В школах №1 и №2 учащиеся писали тест. Из каждой школы тест писали, по крайней мере, 2 учащихся. Каждый учащийся, писавший тест, набрал натуральное количество баллов. Оказалось, что в каждой школе средний балл за тест был целым числом, причём в школе №2 средний балл равнялся 42. Один из учащихся, писавших тест, перешёл из школы №1 в школу №2, а средние баллы за тест были пересчитаны в обеих школах. В результате средний балл в школе №1 уменьшился на 10 %, средний балл в школе №2 также уменьшился на 10 %.
а) Сколько учащихся могло писать тест в школе №2 изначально?
б) Каждый учащийся школы №2, писавший тест, набрал больше баллов, чем перешедший в неё учащийся школы №1. Какое наибольшее количество баллов мог набрать учащийся школы №2?
в) Какое наибольшее количество учащихся могло писать тест в школе №1 изначально?
а) Сколько учащихся могло писать тест в школе №2 изначально?
б) Каждый учащийся школы №2, писавший тест, набрал больше баллов, чем перешедший в неё учащийся школы №1. Какое наибольшее количество баллов мог набрать учащийся школы №2?
в) Какое наибольшее количество учащихся могло писать тест в школе №1 изначально?
Показать ответ
а) 4: из (42m + x)/(m + 1) = 0,9·42 следует x = 42(9 − m)/10, и это натуральное число только при m = 4 (тогда x = 21)
б) 102; например баллы 22, 22, 22, 102: их сумма 168 даёт средний балл 42, и каждый больше 21
в) 96; например в школе №1 средний балл 2, а баллы такие: 21, 77 и ещё 94 балла по 1
Решение
Пусть перешёл учащийся с баллом x.
а) Для школы №2: (42m + x)/(m + 1) = 0,9·42, откуда x = 42(9 − m)/10. Число x натуральное, поэтому подходит только m = 4, и тогда x = 21.
б) Все баллы школы №2 больше 21, то есть не меньше 22. Сумма баллов равна 42·4 = 168, поэтому наибольший балл не превосходит 168 − 3·22 = 102; это значение достигается на наборе 22, 22, 22, 102.
в) Для школы №1: (An − x)/(n − 1) = 0,9A, откуда 10·21 = A(n + 9), то есть A = 210/(n + 9). Кроме того сумма баллов An должна вмещать балл 21 и хотя бы по одному баллу у остальных: An ≥ 21 + (n − 1). Наибольшее подходящее n равно 96 (при A = 2).
Ответ: 4; 102; 96.
а) Для школы №2: (42m + x)/(m + 1) = 0,9·42, откуда x = 42(9 − m)/10. Число x натуральное, поэтому подходит только m = 4, и тогда x = 21.
б) Все баллы школы №2 больше 21, то есть не меньше 22. Сумма баллов равна 42·4 = 168, поэтому наибольший балл не превосходит 168 − 3·22 = 102; это значение достигается на наборе 22, 22, 22, 102.
в) Для школы №1: (An − x)/(n − 1) = 0,9A, откуда 10·21 = A(n + 9), то есть A = 210/(n + 9). Кроме того сумма баллов An должна вмещать балл 21 и хотя бы по одному баллу у остальных: An ≥ 21 + (n − 1). Наибольшее подходящее n равно 96 (при A = 2).
Ответ: 4; 102; 96.
Пример 5
В школах №1 и №2 учащиеся писали тест. Из каждой школы тест писали, по крайней мере, 2 учащихся. Каждый учащийся, писавший тест, набрал натуральное количество баллов. Оказалось, что в каждой школе средний балл за тест был целым числом, причём в школе №2 средний балл равнялся 48. Один из учащихся, писавших тест, перешёл из школы №1 в школу №2, а средние баллы за тест были пересчитаны в обеих школах. В результате средний балл в школе №1 уменьшился на 10 %, средний балл в школе №2 также уменьшился на 10 %.
а) Сколько учащихся могло писать тест в школе №2 изначально?
б) Каждый учащийся школы №2, писавший тест, набрал больше баллов, чем перешедший в неё учащийся школы №1. Какое наибольшее количество баллов мог набрать учащийся школы №2?
в) Какое наибольшее количество учащихся могло писать тест в школе №1 изначально?
а) Сколько учащихся могло писать тест в школе №2 изначально?
б) Каждый учащийся школы №2, писавший тест, набрал больше баллов, чем перешедший в неё учащийся школы №1. Какое наибольшее количество баллов мог набрать учащийся школы №2?
в) Какое наибольшее количество учащихся могло писать тест в школе №1 изначально?
Показать ответ
а) 4: из (48m + x)/(m + 1) = 0,9·48 следует x = 48(9 − m)/10, и это натуральное число только при m = 4 (тогда x = 24)
б) 117; например баллы 25, 25, 25, 117: их сумма 192 даёт средний балл 48, и каждый больше 24
в) 111; например в школе №1 средний балл 2, а баллы такие: 24, 89 и ещё 109 баллов по 1
Решение
Пусть перешёл учащийся с баллом x.
а) Для школы №2: (48m + x)/(m + 1) = 0,9·48, откуда x = 48(9 − m)/10. Число x натуральное, поэтому подходит только m = 4, и тогда x = 24.
б) Все баллы школы №2 больше 24, то есть не меньше 25. Сумма баллов равна 48·4 = 192, поэтому наибольший балл не превосходит 192 − 3·25 = 117; это значение достигается на наборе 25, 25, 25, 117.
в) Для школы №1: (An − x)/(n − 1) = 0,9A, откуда 10·24 = A(n + 9), то есть A = 240/(n + 9). Кроме того сумма баллов An должна вмещать балл 24 и хотя бы по одному баллу у остальных: An ≥ 24 + (n − 1). Наибольшее подходящее n равно 111 (при A = 2).
Ответ: 4; 117; 111.
а) Для школы №2: (48m + x)/(m + 1) = 0,9·48, откуда x = 48(9 − m)/10. Число x натуральное, поэтому подходит только m = 4, и тогда x = 24.
б) Все баллы школы №2 больше 24, то есть не меньше 25. Сумма баллов равна 48·4 = 192, поэтому наибольший балл не превосходит 192 − 3·25 = 117; это значение достигается на наборе 25, 25, 25, 117.
в) Для школы №1: (An − x)/(n − 1) = 0,9A, откуда 10·24 = A(n + 9), то есть A = 240/(n + 9). Кроме того сумма баллов An должна вмещать балл 24 и хотя бы по одному баллу у остальных: An ≥ 24 + (n − 1). Наибольшее подходящее n равно 111 (при A = 2).
Ответ: 4; 117; 111.
Другие темы задания №20
1Каждый следующий в 10 раз больше или меньше: наибольшее число членов2Сумма соседей — одна из трёх: наименьшее число членов3Вдвое меньше либо больше на D: наименьший максимум4Средние без k-го члена: наибольшее M₃5Возрастающая с шагом ≤ 10: наибольшее среднее всех членов6Член больше среднего соседей: наименьшая сумма при n членах7Концы нулевые: наименьший второй член8Числа 1–4 и степенные суммы S₁…S₄9Целые числа: средние всех / положительных / отрицательных10Средние арифметические набора11Средние арифметические набора12Деление на три группы: наименьшее из наибольших средних
Нужен репетитор по математике?
Посмотрите репетиторов, которые ведут занятия в Precettore, или оставьте заявку — подберём сами.
Готовьтесь к ЕГЭ по профильной математике в Precettore
Варианты с автопроверкой, домашние задания от репетитора, онлайн-доска и разбор ошибок — в одном кабинете. Регистрация бесплатная.