Переход учащегося: сколько учащихся и наибольший балл — задание 20 ЕГЭ по профильной математике
Две школы, средний балл. 5 примера с ответом и проверкой.
Пример 1
В школах №1 и №2 учащиеся писали тест. Из каждой школы тест писали, по крайней мере, 2 учащихся. Каждый учащийся, писавший тест, набрал натуральное количество баллов. Оказалось, что в каждой школе средний балл за тест был целым числом, причём в школе №1 средний балл равнялся 16. Один из учащихся, писавших тест, перешёл из школы №1 в школу №2, а средние баллы за тест были пересчитаны в обеих школах. В результате средний балл в школе №1 вырос на 10 %, средний балл в школе №2 также вырос на 10 %.
а) Сколько учащихся могло писать тест в школе №1 изначально?
б) В школе №1 все писавшие тест набрали разное количество баллов. Какое наибольшее количество баллов мог набрать учащийся этой школы?
в) Известно, что изначально в школе №2 писали тест более 10 учащихся. Какое наименьшее количество учащихся могло писать тест в школе №2 изначально?
а) Сколько учащихся могло писать тест в школе №1 изначально?
б) В школе №1 все писавшие тест набрали разное количество баллов. Какое наибольшее количество баллов мог набрать учащийся этой школы?
в) Известно, что изначально в школе №2 писали тест более 10 учащихся. Какое наименьшее количество учащихся могло писать тест в школе №2 изначально?
Показать ответ
а) 6: из (16n − x)/(n − 1) = 1,1·16 следует x = 16(11 − n)/10, и это натуральное число только при n = 6 (тогда x = 8)
б) 78; например баллы 1, 2, 3, 4, 8, 78: их сумма 96 даёт средний балл 16, а переходит учащийся с 8 баллами
в) 29; например в школе №2 было 29 учащихся по 2 балла
Решение
Пусть в школе №1 было n учащихся со средним баллом 16, а перешёл учащийся с баллом x.
а) Из (16n − x)/(n − 1) = 1,1·16 получаем x = 16(11 − n)/10. Число x натуральное, поэтому 11 − n кратно 5 и x ≥ 1: подходит только n = 6, при этом x = 8.
б) Все баллы различны, их сумма равна 16·6 = 96, и среди них есть 8. Чтобы один балл был наибольшим, остальные берём наименьшими: 1, 2, 3, 4 и 8. Тогда наибольший балл равен 96 − 18 = 78.
в) Для школы №2 с m учащимися и средним баллом C: (Cm + 8)/(m + 1) = 1,1C, откуда 10·8 = C(m + 11), то есть C = 80/(m + 11). При m > 10 наименьшее подходящее значение m = 29 (тогда C = 2).
Ответ: 6; 78; 29.
а) Из (16n − x)/(n − 1) = 1,1·16 получаем x = 16(11 − n)/10. Число x натуральное, поэтому 11 − n кратно 5 и x ≥ 1: подходит только n = 6, при этом x = 8.
б) Все баллы различны, их сумма равна 16·6 = 96, и среди них есть 8. Чтобы один балл был наибольшим, остальные берём наименьшими: 1, 2, 3, 4 и 8. Тогда наибольший балл равен 96 − 18 = 78.
в) Для школы №2 с m учащимися и средним баллом C: (Cm + 8)/(m + 1) = 1,1C, откуда 10·8 = C(m + 11), то есть C = 80/(m + 11). При m > 10 наименьшее подходящее значение m = 29 (тогда C = 2).
Ответ: 6; 78; 29.
Пример 2
В школах №1 и №2 учащиеся писали тест. Из каждой школы тест писали, по крайней мере, 2 учащихся. Каждый учащийся, писавший тест, набрал натуральное количество баллов. Оказалось, что в каждой школе средний балл за тест был целым числом, причём в школе №1 средний балл равнялся 12. Один из учащихся, писавших тест, перешёл из школы №1 в школу №2, а средние баллы за тест были пересчитаны в обеих школах. В результате средний балл в школе №1 вырос на 10 %, средний балл в школе №2 также вырос на 10 %.
а) Сколько учащихся могло писать тест в школе №1 изначально?
б) В школе №1 все писавшие тест набрали разное количество баллов. Какое наибольшее количество баллов мог набрать учащийся этой школы?
в) Известно, что изначально в школе №2 писали тест более 10 учащихся. Какое наименьшее количество учащихся могло писать тест в школе №2 изначально?
а) Сколько учащихся могло писать тест в школе №1 изначально?
б) В школе №1 все писавшие тест набрали разное количество баллов. Какое наибольшее количество баллов мог набрать учащийся этой школы?
в) Известно, что изначально в школе №2 писали тест более 10 учащихся. Какое наименьшее количество учащихся могло писать тест в школе №2 изначально?
Показать ответ
а) 6: из (12n − x)/(n − 1) = 1,1·12 следует x = 12(11 − n)/10, и это натуральное число только при n = 6 (тогда x = 6)
б) 56; например баллы 1, 2, 3, 4, 6, 56: их сумма 72 даёт средний балл 12, а переходит учащийся с 6 баллами
в) 19; например в школе №2 было 19 учащихся по 2 балла
Решение
Пусть в школе №1 было n учащихся со средним баллом 12, а перешёл учащийся с баллом x.
а) Из (12n − x)/(n − 1) = 1,1·12 получаем x = 12(11 − n)/10. Число x натуральное, поэтому 11 − n кратно 5 и x ≥ 1: подходит только n = 6, при этом x = 6.
б) Все баллы различны, их сумма равна 12·6 = 72, и среди них есть 6. Чтобы один балл был наибольшим, остальные берём наименьшими: 1, 2, 3, 4 и 6. Тогда наибольший балл равен 72 − 16 = 56.
в) Для школы №2 с m учащимися и средним баллом C: (Cm + 6)/(m + 1) = 1,1C, откуда 10·6 = C(m + 11), то есть C = 60/(m + 11). При m > 10 наименьшее подходящее значение m = 19 (тогда C = 2).
Ответ: 6; 56; 19.
а) Из (12n − x)/(n − 1) = 1,1·12 получаем x = 12(11 − n)/10. Число x натуральное, поэтому 11 − n кратно 5 и x ≥ 1: подходит только n = 6, при этом x = 6.
б) Все баллы различны, их сумма равна 12·6 = 72, и среди них есть 6. Чтобы один балл был наибольшим, остальные берём наименьшими: 1, 2, 3, 4 и 6. Тогда наибольший балл равен 72 − 16 = 56.
в) Для школы №2 с m учащимися и средним баллом C: (Cm + 6)/(m + 1) = 1,1C, откуда 10·6 = C(m + 11), то есть C = 60/(m + 11). При m > 10 наименьшее подходящее значение m = 19 (тогда C = 2).
Ответ: 6; 56; 19.
Пример 3
В школах №1 и №2 учащиеся писали тест. Из каждой школы тест писали, по крайней мере, 2 учащихся. Каждый учащийся, писавший тест, набрал натуральное количество баллов. Оказалось, что в каждой школе средний балл за тест был целым числом, причём в школе №1 средний балл равнялся 14. Один из учащихся, писавших тест, перешёл из школы №1 в школу №2, а средние баллы за тест были пересчитаны в обеих школах. В результате средний балл в школе №1 вырос на 10 %, средний балл в школе №2 также вырос на 10 %.
а) Сколько учащихся могло писать тест в школе №1 изначально?
б) В школе №1 все писавшие тест набрали разное количество баллов. Какое наибольшее количество баллов мог набрать учащийся этой школы?
в) Известно, что изначально в школе №2 писали тест более 10 учащихся. Какое наименьшее количество учащихся могло писать тест в школе №2 изначально?
а) Сколько учащихся могло писать тест в школе №1 изначально?
б) В школе №1 все писавшие тест набрали разное количество баллов. Какое наибольшее количество баллов мог набрать учащийся этой школы?
в) Известно, что изначально в школе №2 писали тест более 10 учащихся. Какое наименьшее количество учащихся могло писать тест в школе №2 изначально?
Показать ответ
а) 6: из (14n − x)/(n − 1) = 1,1·14 следует x = 14(11 − n)/10, и это натуральное число только при n = 6 (тогда x = 7)
б) 67; например баллы 1, 2, 3, 4, 7, 67: их сумма 84 даёт средний балл 14, а переходит учащийся с 7 баллами
в) 24; например в школе №2 было 24 учащихся по 2 балла
Решение
Пусть в школе №1 было n учащихся со средним баллом 14, а перешёл учащийся с баллом x.
а) Из (14n − x)/(n − 1) = 1,1·14 получаем x = 14(11 − n)/10. Число x натуральное, поэтому 11 − n кратно 5 и x ≥ 1: подходит только n = 6, при этом x = 7.
б) Все баллы различны, их сумма равна 14·6 = 84, и среди них есть 7. Чтобы один балл был наибольшим, остальные берём наименьшими: 1, 2, 3, 4 и 7. Тогда наибольший балл равен 84 − 17 = 67.
в) Для школы №2 с m учащимися и средним баллом C: (Cm + 7)/(m + 1) = 1,1C, откуда 10·7 = C(m + 11), то есть C = 70/(m + 11). При m > 10 наименьшее подходящее значение m = 24 (тогда C = 2).
Ответ: 6; 67; 24.
а) Из (14n − x)/(n − 1) = 1,1·14 получаем x = 14(11 − n)/10. Число x натуральное, поэтому 11 − n кратно 5 и x ≥ 1: подходит только n = 6, при этом x = 7.
б) Все баллы различны, их сумма равна 14·6 = 84, и среди них есть 7. Чтобы один балл был наибольшим, остальные берём наименьшими: 1, 2, 3, 4 и 7. Тогда наибольший балл равен 84 − 17 = 67.
в) Для школы №2 с m учащимися и средним баллом C: (Cm + 7)/(m + 1) = 1,1C, откуда 10·7 = C(m + 11), то есть C = 70/(m + 11). При m > 10 наименьшее подходящее значение m = 24 (тогда C = 2).
Ответ: 6; 67; 24.
Пример 4
В школах №1 и №2 учащиеся писали тест. Из каждой школы тест писали, по крайней мере, 2 учащихся. Каждый учащийся, писавший тест, набрал натуральное количество баллов. Оказалось, что в каждой школе средний балл за тест был целым числом, причём в школе №1 средний балл равнялся 22. Один из учащихся, писавших тест, перешёл из школы №1 в школу №2, а средние баллы за тест были пересчитаны в обеих школах. В результате средний балл в школе №1 вырос на 10 %, средний балл в школе №2 также вырос на 10 %.
а) Сколько учащихся могло писать тест в школе №1 изначально?
б) В школе №1 все писавшие тест набрали разное количество баллов. Какое наибольшее количество баллов мог набрать учащийся этой школы?
в) Известно, что изначально в школе №2 писали тест более 10 учащихся. Какое наименьшее количество учащихся могло писать тест в школе №2 изначально?
а) Сколько учащихся могло писать тест в школе №1 изначально?
б) В школе №1 все писавшие тест набрали разное количество баллов. Какое наибольшее количество баллов мог набрать учащийся этой школы?
в) Известно, что изначально в школе №2 писали тест более 10 учащихся. Какое наименьшее количество учащихся могло писать тест в школе №2 изначально?
Показать ответ
а) 6: из (22n − x)/(n − 1) = 1,1·22 следует x = 22(11 − n)/10, и это натуральное число только при n = 6 (тогда x = 11)
б) 111; например баллы 1, 2, 3, 4, 11, 111: их сумма 132 даёт средний балл 22, а переходит учащийся с 11 баллами
в) 11; например в школе №2 было 11 учащихся по 5 баллов
Решение
Пусть в школе №1 было n учащихся со средним баллом 22, а перешёл учащийся с баллом x.
а) Из (22n − x)/(n − 1) = 1,1·22 получаем x = 22(11 − n)/10. Число x натуральное, поэтому 11 − n кратно 5 и x ≥ 1: подходит только n = 6, при этом x = 11.
б) Все баллы различны, их сумма равна 22·6 = 132, и среди них есть 11. Чтобы один балл был наибольшим, остальные берём наименьшими: 1, 2, 3, 4 и 11. Тогда наибольший балл равен 132 − 21 = 111.
в) Для школы №2 с m учащимися и средним баллом C: (Cm + 11)/(m + 1) = 1,1C, откуда 10·11 = C(m + 11), то есть C = 110/(m + 11). При m > 10 наименьшее подходящее значение m = 11 (тогда C = 5).
Ответ: 6; 111; 11.
а) Из (22n − x)/(n − 1) = 1,1·22 получаем x = 22(11 − n)/10. Число x натуральное, поэтому 11 − n кратно 5 и x ≥ 1: подходит только n = 6, при этом x = 11.
б) Все баллы различны, их сумма равна 22·6 = 132, и среди них есть 11. Чтобы один балл был наибольшим, остальные берём наименьшими: 1, 2, 3, 4 и 11. Тогда наибольший балл равен 132 − 21 = 111.
в) Для школы №2 с m учащимися и средним баллом C: (Cm + 11)/(m + 1) = 1,1C, откуда 10·11 = C(m + 11), то есть C = 110/(m + 11). При m > 10 наименьшее подходящее значение m = 11 (тогда C = 5).
Ответ: 6; 111; 11.
Пример 5
В школах №1 и №2 учащиеся писали тест. Из каждой школы тест писали, по крайней мере, 2 учащихся. Каждый учащийся, писавший тест, набрал натуральное количество баллов. Оказалось, что в каждой школе средний балл за тест был целым числом, причём в школе №1 средний балл равнялся 18. Один из учащихся, писавших тест, перешёл из школы №1 в школу №2, а средние баллы за тест были пересчитаны в обеих школах. В результате средний балл в школе №1 вырос на 10 %, средний балл в школе №2 также вырос на 10 %.
а) Сколько учащихся могло писать тест в школе №1 изначально?
б) В школе №1 все писавшие тест набрали разное количество баллов. Какое наибольшее количество баллов мог набрать учащийся этой школы?
в) Известно, что изначально в школе №2 писали тест более 10 учащихся. Какое наименьшее количество учащихся могло писать тест в школе №2 изначально?
а) Сколько учащихся могло писать тест в школе №1 изначально?
б) В школе №1 все писавшие тест набрали разное количество баллов. Какое наибольшее количество баллов мог набрать учащийся этой школы?
в) Известно, что изначально в школе №2 писали тест более 10 учащихся. Какое наименьшее количество учащихся могло писать тест в школе №2 изначально?
Показать ответ
а) 6: из (18n − x)/(n − 1) = 1,1·18 следует x = 18(11 − n)/10, и это натуральное число только при n = 6 (тогда x = 9)
б) 89; например баллы 1, 2, 3, 4, 9, 89: их сумма 108 даёт средний балл 18, а переходит учащийся с 9 баллами
в) 19; например в школе №2 было 19 учащихся по 3 балла
Решение
Пусть в школе №1 было n учащихся со средним баллом 18, а перешёл учащийся с баллом x.
а) Из (18n − x)/(n − 1) = 1,1·18 получаем x = 18(11 − n)/10. Число x натуральное, поэтому 11 − n кратно 5 и x ≥ 1: подходит только n = 6, при этом x = 9.
б) Все баллы различны, их сумма равна 18·6 = 108, и среди них есть 9. Чтобы один балл был наибольшим, остальные берём наименьшими: 1, 2, 3, 4 и 9. Тогда наибольший балл равен 108 − 19 = 89.
в) Для школы №2 с m учащимися и средним баллом C: (Cm + 9)/(m + 1) = 1,1C, откуда 10·9 = C(m + 11), то есть C = 90/(m + 11). При m > 10 наименьшее подходящее значение m = 19 (тогда C = 3).
Ответ: 6; 89; 19.
а) Из (18n − x)/(n − 1) = 1,1·18 получаем x = 18(11 − n)/10. Число x натуральное, поэтому 11 − n кратно 5 и x ≥ 1: подходит только n = 6, при этом x = 9.
б) Все баллы различны, их сумма равна 18·6 = 108, и среди них есть 9. Чтобы один балл был наибольшим, остальные берём наименьшими: 1, 2, 3, 4 и 9. Тогда наибольший балл равен 108 − 19 = 89.
в) Для школы №2 с m учащимися и средним баллом C: (Cm + 9)/(m + 1) = 1,1C, откуда 10·9 = C(m + 11), то есть C = 90/(m + 11). При m > 10 наименьшее подходящее значение m = 19 (тогда C = 3).
Ответ: 6; 89; 19.
Другие темы задания №20
1Каждый следующий в 10 раз больше или меньше: наибольшее число членов2Сумма соседей — одна из трёх: наименьшее число членов3Вдвое меньше либо больше на D: наименьший максимум4Средние без k-го члена: наибольшее M₃5Возрастающая с шагом ≤ 10: наибольшее среднее всех членов6Член больше среднего соседей: наименьшая сумма при n членах7Концы нулевые: наименьший второй член8Числа 1–4 и степенные суммы S₁…S₄9Целые числа: средние всех / положительных / отрицательных10Средние арифметические набора11Средние арифметические набора12Деление на три группы: наименьшее из наибольших средних
Нужен репетитор по математике?
Посмотрите репетиторов, которые ведут занятия в Precettore, или оставьте заявку — подберём сами.
Готовьтесь к ЕГЭ по профильной математике в Precettore
Варианты с автопроверкой, домашние задания от репетитора, онлайн-доска и разбор ошибок — в одном кабинете. Регистрация бесплатная.