Переливания между бочками: наименьшее число переливаний — задание 20 ЕГЭ по профильной математике
Игры и операции с инвариантом. 5 примера с ответом и проверкой.
Пример 1
В нескольких одинаковых бочках налито некоторое количество литров воды (необязательно одинаковое). За один раз можно перелить любое количество воды из одной бочки в другую.
а) Пусть есть четыре бочки, в которых 42, 43, 49, 58 литров. Можно ли не более чем за 4 переливания уравнять количество воды в бочках?
б) Пусть есть 7 бочек. Всегда ли можно уравнять количество воды во всех бочках не более чем за 5 переливаний?
в) За какое наименьшее количество переливаний можно заведомо уравнять количество воды в 24 бочках?
а) Пусть есть четыре бочки, в которых 42, 43, 49, 58 литров. Можно ли не более чем за 4 переливания уравнять количество воды в бочках?
б) Пусть есть 7 бочек. Всегда ли можно уравнять количество воды во всех бочках не более чем за 5 переливаний?
в) За какое наименьшее количество переливаний можно заведомо уравнять количество воды в 24 бочках?
Показать ответ
а) да: среднее равно 48 литров, и хватает 3 переливаний — каждым из них одна бочка доводится ровно до среднего
б) нет: если вся вода налита в одну бочку, а остальные 6 пусты, то каждая пустая бочка должна получить воду хотя бы одним переливанием, поэтому нужно не менее 6 переливаний, а 5 < 6
в) 23
Решение
Пусть бочек n, а всего налито S литров; в конце в каждой должно быть m = S/n.
Сверху: если в бочке больше m, лишнее переливаем в бочку, где меньше m, причём выравниваем ровно одну из них — каждое переливание «закрывает» хотя бы одну бочку, поэтому n бочек уравниваются за n − 1 переливание.
Снизу: если вся вода в одной бочке, а остальные n − 1 пусты, то в каждую пустую нужно хотя бы раз перелить воду, то есть переливаний не меньше n − 1.
а) Среднее равно 48, достаточно 3 переливаний — это не больше 4.
б) Для 7 бочек гарантированно нужно 6 переливаний, а 5 меньше.
в) Для 24 бочек ответ 23.
Ответ: 23.
Сверху: если в бочке больше m, лишнее переливаем в бочку, где меньше m, причём выравниваем ровно одну из них — каждое переливание «закрывает» хотя бы одну бочку, поэтому n бочек уравниваются за n − 1 переливание.
Снизу: если вся вода в одной бочке, а остальные n − 1 пусты, то в каждую пустую нужно хотя бы раз перелить воду, то есть переливаний не меньше n − 1.
а) Среднее равно 48, достаточно 3 переливаний — это не больше 4.
б) Для 7 бочек гарантированно нужно 6 переливаний, а 5 меньше.
в) Для 24 бочек ответ 23.
Ответ: 23.
Пример 2
В нескольких одинаковых бочках налито некоторое количество литров воды (необязательно одинаковое). За один раз можно перелить любое количество воды из одной бочки в другую.
а) Пусть есть четыре бочки, в которых 35, 54, 64, 87 литров. Можно ли не более чем за 4 переливания уравнять количество воды в бочках?
б) Пусть есть 8 бочек. Всегда ли можно уравнять количество воды во всех бочках не более чем за 6 переливаний?
в) За какое наименьшее количество переливаний можно заведомо уравнять количество воды в 26 бочках?
а) Пусть есть четыре бочки, в которых 35, 54, 64, 87 литров. Можно ли не более чем за 4 переливания уравнять количество воды в бочках?
б) Пусть есть 8 бочек. Всегда ли можно уравнять количество воды во всех бочках не более чем за 6 переливаний?
в) За какое наименьшее количество переливаний можно заведомо уравнять количество воды в 26 бочках?
Показать ответ
а) да: среднее равно 60 литров, и хватает 3 переливаний — каждым из них одна бочка доводится ровно до среднего
б) нет: если вся вода налита в одну бочку, а остальные 7 пусты, то каждая пустая бочка должна получить воду хотя бы одним переливанием, поэтому нужно не менее 7 переливаний, а 6 < 7
в) 25
Решение
Пусть бочек n, а всего налито S литров; в конце в каждой должно быть m = S/n.
Сверху: если в бочке больше m, лишнее переливаем в бочку, где меньше m, причём выравниваем ровно одну из них — каждое переливание «закрывает» хотя бы одну бочку, поэтому n бочек уравниваются за n − 1 переливание.
Снизу: если вся вода в одной бочке, а остальные n − 1 пусты, то в каждую пустую нужно хотя бы раз перелить воду, то есть переливаний не меньше n − 1.
а) Среднее равно 60, достаточно 3 переливаний — это не больше 4.
б) Для 8 бочек гарантированно нужно 7 переливаний, а 6 меньше.
в) Для 26 бочек ответ 25.
Ответ: 25.
Сверху: если в бочке больше m, лишнее переливаем в бочку, где меньше m, причём выравниваем ровно одну из них — каждое переливание «закрывает» хотя бы одну бочку, поэтому n бочек уравниваются за n − 1 переливание.
Снизу: если вся вода в одной бочке, а остальные n − 1 пусты, то в каждую пустую нужно хотя бы раз перелить воду, то есть переливаний не меньше n − 1.
а) Среднее равно 60, достаточно 3 переливаний — это не больше 4.
б) Для 8 бочек гарантированно нужно 7 переливаний, а 6 меньше.
в) Для 26 бочек ответ 25.
Ответ: 25.
Пример 3
В нескольких одинаковых бочках налито некоторое количество литров воды (необязательно одинаковое). За один раз можно перелить любое количество воды из одной бочки в другую.
а) Пусть есть четыре бочки, в которых 27, 28, 54, 83 литра. Можно ли не более чем за 4 переливания уравнять количество воды в бочках?
б) Пусть есть 9 бочек. Всегда ли можно уравнять количество воды во всех бочках не более чем за 7 переливаний?
в) За какое наименьшее количество переливаний можно заведомо уравнять количество воды в 24 бочках?
а) Пусть есть четыре бочки, в которых 27, 28, 54, 83 литра. Можно ли не более чем за 4 переливания уравнять количество воды в бочках?
б) Пусть есть 9 бочек. Всегда ли можно уравнять количество воды во всех бочках не более чем за 7 переливаний?
в) За какое наименьшее количество переливаний можно заведомо уравнять количество воды в 24 бочках?
Показать ответ
а) да: среднее равно 48 литров, и хватает 3 переливаний — каждым из них одна бочка доводится ровно до среднего
б) нет: если вся вода налита в одну бочку, а остальные 8 пусты, то каждая пустая бочка должна получить воду хотя бы одним переливанием, поэтому нужно не менее 8 переливаний, а 7 < 8
в) 23
Решение
Пусть бочек n, а всего налито S литров; в конце в каждой должно быть m = S/n.
Сверху: если в бочке больше m, лишнее переливаем в бочку, где меньше m, причём выравниваем ровно одну из них — каждое переливание «закрывает» хотя бы одну бочку, поэтому n бочек уравниваются за n − 1 переливание.
Снизу: если вся вода в одной бочке, а остальные n − 1 пусты, то в каждую пустую нужно хотя бы раз перелить воду, то есть переливаний не меньше n − 1.
а) Среднее равно 48, достаточно 3 переливаний — это не больше 4.
б) Для 9 бочек гарантированно нужно 8 переливаний, а 7 меньше.
в) Для 24 бочек ответ 23.
Ответ: 23.
Сверху: если в бочке больше m, лишнее переливаем в бочку, где меньше m, причём выравниваем ровно одну из них — каждое переливание «закрывает» хотя бы одну бочку, поэтому n бочек уравниваются за n − 1 переливание.
Снизу: если вся вода в одной бочке, а остальные n − 1 пусты, то в каждую пустую нужно хотя бы раз перелить воду, то есть переливаний не меньше n − 1.
а) Среднее равно 48, достаточно 3 переливаний — это не больше 4.
б) Для 9 бочек гарантированно нужно 8 переливаний, а 7 меньше.
в) Для 24 бочек ответ 23.
Ответ: 23.
Пример 4
В нескольких одинаковых бочках налито некоторое количество литров воды (необязательно одинаковое). За один раз можно перелить любое количество воды из одной бочки в другую.
а) Пусть есть четыре бочки, в которых 21, 24, 31, 68 литров. Можно ли не более чем за 4 переливания уравнять количество воды в бочках?
б) Пусть есть 9 бочек. Всегда ли можно уравнять количество воды во всех бочках не более чем за 7 переливаний?
в) За какое наименьшее количество переливаний можно заведомо уравнять количество воды в 24 бочках?
а) Пусть есть четыре бочки, в которых 21, 24, 31, 68 литров. Можно ли не более чем за 4 переливания уравнять количество воды в бочках?
б) Пусть есть 9 бочек. Всегда ли можно уравнять количество воды во всех бочках не более чем за 7 переливаний?
в) За какое наименьшее количество переливаний можно заведомо уравнять количество воды в 24 бочках?
Показать ответ
а) да: среднее равно 36 литров, и хватает 3 переливаний — каждым из них одна бочка доводится ровно до среднего
б) нет: если вся вода налита в одну бочку, а остальные 8 пусты, то каждая пустая бочка должна получить воду хотя бы одним переливанием, поэтому нужно не менее 8 переливаний, а 7 < 8
в) 23
Решение
Пусть бочек n, а всего налито S литров; в конце в каждой должно быть m = S/n.
Сверху: если в бочке больше m, лишнее переливаем в бочку, где меньше m, причём выравниваем ровно одну из них — каждое переливание «закрывает» хотя бы одну бочку, поэтому n бочек уравниваются за n − 1 переливание.
Снизу: если вся вода в одной бочке, а остальные n − 1 пусты, то в каждую пустую нужно хотя бы раз перелить воду, то есть переливаний не меньше n − 1.
а) Среднее равно 36, достаточно 3 переливаний — это не больше 4.
б) Для 9 бочек гарантированно нужно 8 переливаний, а 7 меньше.
в) Для 24 бочек ответ 23.
Ответ: 23.
Сверху: если в бочке больше m, лишнее переливаем в бочку, где меньше m, причём выравниваем ровно одну из них — каждое переливание «закрывает» хотя бы одну бочку, поэтому n бочек уравниваются за n − 1 переливание.
Снизу: если вся вода в одной бочке, а остальные n − 1 пусты, то в каждую пустую нужно хотя бы раз перелить воду, то есть переливаний не меньше n − 1.
а) Среднее равно 36, достаточно 3 переливаний — это не больше 4.
б) Для 9 бочек гарантированно нужно 8 переливаний, а 7 меньше.
в) Для 24 бочек ответ 23.
Ответ: 23.
Пример 5
В нескольких одинаковых бочках налито некоторое количество литров воды (необязательно одинаковое). За один раз можно перелить любое количество воды из одной бочки в другую.
а) Пусть есть четыре бочки, в которых 27, 28, 33, 56 литров. Можно ли не более чем за 4 переливания уравнять количество воды в бочках?
б) Пусть есть 9 бочек. Всегда ли можно уравнять количество воды во всех бочках не более чем за 7 переливаний?
в) За какое наименьшее количество переливаний можно заведомо уравнять количество воды в 26 бочках?
а) Пусть есть четыре бочки, в которых 27, 28, 33, 56 литров. Можно ли не более чем за 4 переливания уравнять количество воды в бочках?
б) Пусть есть 9 бочек. Всегда ли можно уравнять количество воды во всех бочках не более чем за 7 переливаний?
в) За какое наименьшее количество переливаний можно заведомо уравнять количество воды в 26 бочках?
Показать ответ
а) да: среднее равно 36 литров, и хватает 3 переливаний — каждым из них одна бочка доводится ровно до среднего
б) нет: если вся вода налита в одну бочку, а остальные 8 пусты, то каждая пустая бочка должна получить воду хотя бы одним переливанием, поэтому нужно не менее 8 переливаний, а 7 < 8
в) 25
Решение
Пусть бочек n, а всего налито S литров; в конце в каждой должно быть m = S/n.
Сверху: если в бочке больше m, лишнее переливаем в бочку, где меньше m, причём выравниваем ровно одну из них — каждое переливание «закрывает» хотя бы одну бочку, поэтому n бочек уравниваются за n − 1 переливание.
Снизу: если вся вода в одной бочке, а остальные n − 1 пусты, то в каждую пустую нужно хотя бы раз перелить воду, то есть переливаний не меньше n − 1.
а) Среднее равно 36, достаточно 3 переливаний — это не больше 4.
б) Для 9 бочек гарантированно нужно 8 переливаний, а 7 меньше.
в) Для 26 бочек ответ 25.
Ответ: 25.
Сверху: если в бочке больше m, лишнее переливаем в бочку, где меньше m, причём выравниваем ровно одну из них — каждое переливание «закрывает» хотя бы одну бочку, поэтому n бочек уравниваются за n − 1 переливание.
Снизу: если вся вода в одной бочке, а остальные n − 1 пусты, то в каждую пустую нужно хотя бы раз перелить воду, то есть переливаний не меньше n − 1.
а) Среднее равно 36, достаточно 3 переливаний — это не больше 4.
б) Для 9 бочек гарантированно нужно 8 переливаний, а 7 меньше.
в) Для 26 бочек ответ 25.
Ответ: 25.
Другие темы задания №20
1Каждый следующий в 10 раз больше или меньше: наибольшее число членов2Сумма соседей — одна из трёх: наименьшее число членов3Вдвое меньше либо больше на D: наименьший максимум4Средние без k-го члена: наибольшее M₃5Возрастающая с шагом ≤ 10: наибольшее среднее всех членов6Член больше среднего соседей: наименьшая сумма при n членах7Концы нулевые: наименьший второй член8Числа 1–4 и степенные суммы S₁…S₄9Целые числа: средние всех / положительных / отрицательных10Средние арифметические набора11Средние арифметические набора12Деление на три группы: наименьшее из наибольших средних
Нужен репетитор по математике?
Посмотрите репетиторов, которые ведут занятия в Precettore, или оставьте заявку — подберём сами.
Готовьтесь к ЕГЭ по профильной математике в Precettore
Варианты с автопроверкой, домашние задания от репетитора, онлайн-доска и разбор ошибок — в одном кабинете. Регистрация бесплатная.