Перестановка цифр двузначных: наибольшая новая сумма — задание 20 ЕГЭ по профильной математике
Операции над записью числа. 4 примера с ответом и проверкой.
Пример 1
На доске написали несколько не обязательно различных двузначных натуральных чисел без нулей в десятичной записи. Сумма этих чисел оказалась равной 660. Затем в каждом числе поменяли местами первую и вторую цифры (например, число 17 заменили на число 71).
а) Приведите пример исходных чисел, для которых сумма получившихся чисел ровно в 4 раза больше, чем сумма исходных чисел.
б) Могла ли сумма получившихся чисел быть ровно в 3 раза больше, чем сумма исходных чисел?
в) Найдите наибольшее возможное значение суммы получившихся чисел.
а) Приведите пример исходных чисел, для которых сумма получившихся чисел ровно в 4 раза больше, чем сумма исходных чисел.
б) Могла ли сумма получившихся чисел быть ровно в 3 раза больше, чем сумма исходных чисел?
в) Найдите наибольшее возможное значение суммы получившихся чисел.
Показать ответ
а) числа 29 + … + 29 (11 слагаемых), 19 + … + 19 (17 слагаемых), 18: их сумма равна 660, а после перестановки цифр получаются 92 + … + 92 (11 слагаемых), 91 + … + 91 (17 слагаемых), 81 с суммой 2640
б) нет: если A — сумма первых цифр, а B — сумма вторых, то S = 10A + B и S′ = 10B + A, откуда S′ = 10S − 99A; требуемое значение S′ даёт для A нецелое число
в) 3135; достигается на наборе 19 + … + 19 (30 слагаемых), 18 + … + 18 (5 слагаемых) (сумма 660), который после перестановки цифр даёт 91 + … + 91 (30 слагаемых), 81 + … + 81 (5 слагаемых) с суммой 3135
Решение
Пусть A — сумма первых цифр всех чисел, B — сумма вторых. Тогда сумма исходных чисел равна 10A + B = 660, а сумма получившихся равна 10B + A = 10·660 − 99A.
Значит сумма получившихся чисел однозначно определяется величиной A и убывает при её росте.
Если чисел k, то каждая из k первых цифр лежит между 1 и 9, поэтому k ≤ A ≤ 9k, и то же самое верно для B. Эти неравенства и определяют, какие A допустимы.
Наименьшее допустимое A равно 35, что даёт ответ 3135.
Значит сумма получившихся чисел однозначно определяется величиной A и убывает при её росте.
Если чисел k, то каждая из k первых цифр лежит между 1 и 9, поэтому k ≤ A ≤ 9k, и то же самое верно для B. Эти неравенства и определяют, какие A допустимы.
Наименьшее допустимое A равно 35, что даёт ответ 3135.
Пример 2
На доске написали несколько не обязательно различных двузначных натуральных чисел без нулей в десятичной записи. Сумма этих чисел оказалась равной 693. Затем в каждом числе поменяли местами первую и вторую цифры (например, число 17 заменили на число 71).
а) Приведите пример исходных чисел, для которых сумма получившихся чисел ровно в 3 раза больше, чем сумма исходных чисел.
б) Могла ли сумма получившихся чисел быть ровно в 5 раз больше, чем сумма исходных чисел?
в) Найдите наибольшее возможное значение суммы получившихся чисел.
а) Приведите пример исходных чисел, для которых сумма получившихся чисел ровно в 3 раза больше, чем сумма исходных чисел.
б) Могла ли сумма получившихся чисел быть ровно в 5 раз больше, чем сумма исходных чисел?
в) Найдите наибольшее возможное значение суммы получившихся чисел.
Показать ответ
а) числа 39 + 39 + 39, 29 + … + 29 (16 слагаемых), 28 + … + 28 (4 слагаемых): их сумма равна 693, а после перестановки цифр получаются 93 + 93 + 93, 92 + … + 92 (16 слагаемых), 82 + … + 82 (4 слагаемых) с суммой 2079
б) нет: из S′ = 10S − 99A получаем A = 35, а тогда B = 343; но каждая из k цифр не больше 9 и не меньше 1, поэтому нужно одновременно k ≥ A/9 и k ≤ B — а это невозможно
в) 3267; достигается на наборе 29, 19 + … + 19 (34 слагаемых), 18 (сумма 693), который после перестановки цифр даёт 92, 91 + … + 91 (34 слагаемых), 81 с суммой 3267
Решение
Пусть A — сумма первых цифр всех чисел, B — сумма вторых. Тогда сумма исходных чисел равна 10A + B = 693, а сумма получившихся равна 10B + A = 10·693 − 99A.
Значит сумма получившихся чисел однозначно определяется величиной A и убывает при её росте.
Если чисел k, то каждая из k первых цифр лежит между 1 и 9, поэтому k ≤ A ≤ 9k, и то же самое верно для B. Эти неравенства и определяют, какие A допустимы.
Наименьшее допустимое A равно 37, что даёт ответ 3267.
Значит сумма получившихся чисел однозначно определяется величиной A и убывает при её росте.
Если чисел k, то каждая из k первых цифр лежит между 1 и 9, поэтому k ≤ A ≤ 9k, и то же самое верно для B. Эти неравенства и определяют, какие A допустимы.
Наименьшее допустимое A равно 37, что даёт ответ 3267.
Пример 3
На доске написали несколько не обязательно различных двузначных натуральных чисел без нулей в десятичной записи. Сумма этих чисел оказалась равной 594. Затем в каждом числе поменяли местами первую и вторую цифры (например, число 17 заменили на число 71).
а) Приведите пример исходных чисел, для которых сумма получившихся чисел ровно в 3 раза больше, чем сумма исходных чисел.
б) Могла ли сумма получившихся чисел быть ровно в 5 раз больше, чем сумма исходных чисел?
в) Найдите наибольшее возможное значение суммы получившихся чисел.
а) Приведите пример исходных чисел, для которых сумма получившихся чисел ровно в 3 раза больше, чем сумма исходных чисел.
б) Могла ли сумма получившихся чисел быть ровно в 5 раз больше, чем сумма исходных чисел?
в) Найдите наибольшее возможное значение суммы получившихся чисел.
Показать ответ
а) числа 39 + 39, 29 + … + 29 (12 слагаемых), 28 + … + 28 (6 слагаемых): их сумма равна 594, а после перестановки цифр получаются 93 + 93, 92 + … + 92 (12 слагаемых), 82 + … + 82 (6 слагаемых) с суммой 1782
б) нет: из S′ = 10S − 99A получаем A = 30, а тогда B = 294; но каждая из k цифр не больше 9 и не меньше 1, поэтому нужно одновременно k ≥ A/9 и k ≤ B — а это невозможно
в) 2772; достигается на наборе 29, 19 + … + 19 (25 слагаемых), 18 + … + 18 (5 слагаемых) (сумма 594), который после перестановки цифр даёт 92, 91 + … + 91 (25 слагаемых), 81 + … + 81 (5 слагаемых) с суммой 2772
Решение
Пусть A — сумма первых цифр всех чисел, B — сумма вторых. Тогда сумма исходных чисел равна 10A + B = 594, а сумма получившихся равна 10B + A = 10·594 − 99A.
Значит сумма получившихся чисел однозначно определяется величиной A и убывает при её росте.
Если чисел k, то каждая из k первых цифр лежит между 1 и 9, поэтому k ≤ A ≤ 9k, и то же самое верно для B. Эти неравенства и определяют, какие A допустимы.
Наименьшее допустимое A равно 32, что даёт ответ 2772.
Значит сумма получившихся чисел однозначно определяется величиной A и убывает при её росте.
Если чисел k, то каждая из k первых цифр лежит между 1 и 9, поэтому k ≤ A ≤ 9k, и то же самое верно для B. Эти неравенства и определяют, какие A допустимы.
Наименьшее допустимое A равно 32, что даёт ответ 2772.
Пример 4
На доске написали несколько не обязательно различных двузначных натуральных чисел без нулей в десятичной записи. Сумма этих чисел оказалась равной 363. Затем в каждом числе поменяли местами первую и вторую цифры (например, число 17 заменили на число 71).
а) Приведите пример исходных чисел, для которых сумма получившихся чисел ровно в 4 раза больше, чем сумма исходных чисел.
б) Могла ли сумма получившихся чисел быть ровно в 3 раза больше, чем сумма исходных чисел?
в) Найдите наибольшее возможное значение суммы получившихся чисел.
а) Приведите пример исходных чисел, для которых сумма получившихся чисел ровно в 4 раза больше, чем сумма исходных чисел.
б) Могла ли сумма получившихся чисел быть ровно в 3 раза больше, чем сумма исходных чисел?
в) Найдите наибольшее возможное значение суммы получившихся чисел.
Показать ответ
а) числа 29 + … + 29 (6 слагаемых), 19 + … + 19 (9 слагаемых), 18: их сумма равна 363, а после перестановки цифр получаются 92 + … + 92 (6 слагаемых), 91 + … + 91 (9 слагаемых), 81 с суммой 1452
б) нет: если A — сумма первых цифр, а B — сумма вторых, то S = 10A + B и S′ = 10B + A, откуда S′ = 10S − 99A; требуемое значение S′ даёт для A нецелое число
в) 1650; достигается на наборе 29, 19 + … + 19 (10 слагаемых), 18 + … + 18 (8 слагаемых) (сумма 363), который после перестановки цифр даёт 92, 91 + … + 91 (10 слагаемых), 81 + … + 81 (8 слагаемых) с суммой 1650
Решение
Пусть A — сумма первых цифр всех чисел, B — сумма вторых. Тогда сумма исходных чисел равна 10A + B = 363, а сумма получившихся равна 10B + A = 10·363 − 99A.
Значит сумма получившихся чисел однозначно определяется величиной A и убывает при её росте.
Если чисел k, то каждая из k первых цифр лежит между 1 и 9, поэтому k ≤ A ≤ 9k, и то же самое верно для B. Эти неравенства и определяют, какие A допустимы.
Наименьшее допустимое A равно 20, что даёт ответ 1650.
Значит сумма получившихся чисел однозначно определяется величиной A и убывает при её росте.
Если чисел k, то каждая из k первых цифр лежит между 1 и 9, поэтому k ≤ A ≤ 9k, и то же самое верно для B. Эти неравенства и определяют, какие A допустимы.
Наименьшее допустимое A равно 20, что даёт ответ 1650.
Другие темы задания №20
1Каждый следующий в 10 раз больше или меньше: наибольшее число членов2Сумма соседей — одна из трёх: наименьшее число членов3Вдвое меньше либо больше на D: наименьший максимум4Средние без k-го члена: наибольшее M₃5Возрастающая с шагом ≤ 10: наибольшее среднее всех членов6Член больше среднего соседей: наименьшая сумма при n членах7Концы нулевые: наименьший второй член8Числа 1–4 и степенные суммы S₁…S₄9Целые числа: средние всех / положительных / отрицательных10Средние арифметические набора11Средние арифметические набора12Деление на три группы: наименьшее из наибольших средних
Нужен репетитор по математике?
Посмотрите репетиторов, которые ведут занятия в Precettore, или оставьте заявку — подберём сами.
Готовьтесь к ЕГЭ по профильной математике в Precettore
Варианты с автопроверкой, домашние задания от репетитора, онлайн-доска и разбор ошибок — в одном кабинете. Регистрация бесплатная.