Перестановка цифр двузначных: наименьшая новая сумма — задание 20 ЕГЭ по профильной математике
Операции над записью числа. 3 примера с ответом и проверкой.
Пример 1
На доске написали несколько не обязательно различных двузначных натуральных чисел без нулей в десятичной записи. Сумма этих чисел оказалась равной 2970. Затем в каждом числе поменяли местами первую и вторую цифры (например, число 17 заменили на число 71).
а) Приведите пример исходных чисел, для которых сумма получившихся чисел ровно в 2 раза меньше, чем сумма исходных чисел.
б) Могла ли сумма получившихся чисел быть ровно в 4 раза меньше, чем сумма исходных чисел?
в) Найдите наименьшее возможное значение суммы получившихся чисел.
а) Приведите пример исходных чисел, для которых сумма получившихся чисел ровно в 2 раза меньше, чем сумма исходных чисел.
б) Могла ли сумма получившихся чисел быть ровно в 4 раза меньше, чем сумма исходных чисел?
в) Найдите наименьшее возможное значение суммы получившихся чисел.
Показать ответ
а) числа 94 + … + 94 (24 слагаемых), 93 + … + 93 (5 слагаемых), 83 + 83 + 83: их сумма равна 2970, а после перестановки цифр получаются 49 + … + 49 (24 слагаемых), 39 + … + 39 (5 слагаемых), 38 + 38 + 38 с суммой 1485
б) нет: если A — сумма первых цифр, а B — сумма вторых, то S = 10A + B и S′ = 10B + A, откуда S′ = 10S − 99A; требуемое значение S′ даёт для A нецелое число
в) 693; достигается на наборе 92 + … + 92 (7 слагаемых), 91 + … + 91 (22 слагаемых), 81 + … + 81 (4 слагаемых) (сумма 2970), который после перестановки цифр даёт 29 + … + 29 (7 слагаемых), 19 + … + 19 (22 слагаемых), 18 + … + 18 (4 слагаемых) с суммой 693
Решение
Пусть A — сумма первых цифр всех чисел, B — сумма вторых. Тогда сумма исходных чисел равна 10A + B = 2970, а сумма получившихся равна 10B + A = 10·2970 − 99A.
Значит сумма получившихся чисел однозначно определяется величиной A и убывает при её росте.
Если чисел k, то каждая из k первых цифр лежит между 1 и 9, поэтому k ≤ A ≤ 9k, и то же самое верно для B. Эти неравенства и определяют, какие A допустимы.
Наибольшее допустимое A равно 293, что даёт ответ 693.
Значит сумма получившихся чисел однозначно определяется величиной A и убывает при её росте.
Если чисел k, то каждая из k первых цифр лежит между 1 и 9, поэтому k ≤ A ≤ 9k, и то же самое верно для B. Эти неравенства и определяют, какие A допустимы.
Наибольшее допустимое A равно 293, что даёт ответ 693.
Пример 2
На доске написали несколько не обязательно различных двузначных натуральных чисел без нулей в десятичной записи. Сумма этих чисел оказалась равной 3762. Затем в каждом числе поменяли местами первую и вторую цифры (например, число 17 заменили на число 71).
а) Приведите пример исходных чисел, для которых сумма получившихся чисел ровно в 2 раза меньше, чем сумма исходных чисел.
б) Могла ли сумма получившихся чисел быть ровно в 3 раза меньше, чем сумма исходных чисел?
в) Найдите наименьшее возможное значение суммы получившихся чисел.
а) Приведите пример исходных чисел, для которых сумма получившихся чисел ровно в 2 раза меньше, чем сумма исходных чисел.
б) Могла ли сумма получившихся чисел быть ровно в 3 раза меньше, чем сумма исходных чисел?
в) Найдите наименьшее возможное значение суммы получившихся чисел.
Показать ответ
а) числа 94 + … + 94 (29 слагаемых), 93 + … + 93 (4 слагаемых), 83 + … + 83 (8 слагаемых): их сумма равна 3762, а после перестановки цифр получаются 49 + … + 49 (29 слагаемых), 39 + … + 39 (4 слагаемых), 38 + … + 38 (8 слагаемых) с суммой 1881
б) нет: если A — сумма первых цифр, а B — сумма вторых, то S = 10A + B и S′ = 10B + A, откуда S′ = 10S − 99A; требуемое значение S′ даёт для A нецелое число
в) 792; достигается на наборе 91 + … + 91 (36 слагаемых), 81 + … + 81 (6 слагаемых) (сумма 3762), который после перестановки цифр даёт 19 + … + 19 (36 слагаемых), 18 + … + 18 (6 слагаемых) с суммой 792
Решение
Пусть A — сумма первых цифр всех чисел, B — сумма вторых. Тогда сумма исходных чисел равна 10A + B = 3762, а сумма получившихся равна 10B + A = 10·3762 − 99A.
Значит сумма получившихся чисел однозначно определяется величиной A и убывает при её росте.
Если чисел k, то каждая из k первых цифр лежит между 1 и 9, поэтому k ≤ A ≤ 9k, и то же самое верно для B. Эти неравенства и определяют, какие A допустимы.
Наибольшее допустимое A равно 372, что даёт ответ 792.
Значит сумма получившихся чисел однозначно определяется величиной A и убывает при её росте.
Если чисел k, то каждая из k первых цифр лежит между 1 и 9, поэтому k ≤ A ≤ 9k, и то же самое верно для B. Эти неравенства и определяют, какие A допустимы.
Наибольшее допустимое A равно 372, что даёт ответ 792.
Пример 3
На доске написали несколько не обязательно различных двузначных натуральных чисел без нулей в десятичной записи. Сумма этих чисел оказалась равной 3168. Затем в каждом числе поменяли местами первую и вторую цифры (например, число 17 заменили на число 71).
а) Приведите пример исходных чисел, для которых сумма получившихся чисел ровно в 2 раза меньше, чем сумма исходных чисел.
б) Могла ли сумма получившихся чисел быть ровно в 3 раза меньше, чем сумма исходных чисел?
в) Найдите наименьшее возможное значение суммы получившихся чисел.
а) Приведите пример исходных чисел, для которых сумма получившихся чисел ровно в 2 раза меньше, чем сумма исходных чисел.
б) Могла ли сумма получившихся чисел быть ровно в 3 раза меньше, чем сумма исходных чисел?
в) Найдите наименьшее возможное значение суммы получившихся чисел.
Показать ответ
а) числа 94 + … + 94 (26 слагаемых), 93 + … + 93 (6 слагаемых), 83 + 83: их сумма равна 3168, а после перестановки цифр получаются 49 + … + 49 (26 слагаемых), 39 + … + 39 (6 слагаемых), 38 + 38 с суммой 1584
б) нет: если A — сумма первых цифр, а B — сумма вторых, то S = 10A + B и S′ = 10B + A, откуда S′ = 10S − 99A; требуемое значение S′ даёт для A нецелое число
в) 693; достигается на наборе 92 + 92 + 92, 91 + … + 91 (30 слагаемых), 81 + 81 (сумма 3168), который после перестановки цифр даёт 29 + 29 + 29, 19 + … + 19 (30 слагаемых), 18 + 18 с суммой 693
Решение
Пусть A — сумма первых цифр всех чисел, B — сумма вторых. Тогда сумма исходных чисел равна 10A + B = 3168, а сумма получившихся равна 10B + A = 10·3168 − 99A.
Значит сумма получившихся чисел однозначно определяется величиной A и убывает при её росте.
Если чисел k, то каждая из k первых цифр лежит между 1 и 9, поэтому k ≤ A ≤ 9k, и то же самое верно для B. Эти неравенства и определяют, какие A допустимы.
Наибольшее допустимое A равно 313, что даёт ответ 693.
Значит сумма получившихся чисел однозначно определяется величиной A и убывает при её росте.
Если чисел k, то каждая из k первых цифр лежит между 1 и 9, поэтому k ≤ A ≤ 9k, и то же самое верно для B. Эти неравенства и определяют, какие A допустимы.
Наибольшее допустимое A равно 313, что даёт ответ 693.
Другие темы задания №20
1Каждый следующий в 10 раз больше или меньше: наибольшее число членов2Сумма соседей — одна из трёх: наименьшее число членов3Вдвое меньше либо больше на D: наименьший максимум4Средние без k-го члена: наибольшее M₃5Возрастающая с шагом ≤ 10: наибольшее среднее всех членов6Член больше среднего соседей: наименьшая сумма при n членах7Концы нулевые: наименьший второй член8Числа 1–4 и степенные суммы S₁…S₄9Целые числа: средние всех / положительных / отрицательных10Средние арифметические набора11Средние арифметические набора12Деление на три группы: наименьшее из наибольших средних
Нужен репетитор по математике?
Посмотрите репетиторов, которые ведут занятия в Precettore, или оставьте заявку — подберём сами.
Готовьтесь к ЕГЭ по профильной математике в Precettore
Варианты с автопроверкой, домашние задания от репетитора, онлайн-доска и разбор ошибок — в одном кабинете. Регистрация бесплатная.