Первые дни отличаются на задачу: наименьшее число задач — задание 20 ЕГЭ по профильной математике
Вася и Петя решают сборник. 5 примера с ответом и проверкой.
Пример 1
Вася и Петя решали задачи из сборника, и они оба решили все задачи этого сборника. Каждый день Вася решал на одну задачу больше, чем в предыдущий день, а Петя решал на две задачи больше, чем в предыдущий день. Они начали решать задачи в один день, при этом в первый день каждый из них решил хотя бы одну задачу.
а) Могло ли получиться так, что Вася в первый день решил на одну задачу меньше, чем Петя, а Петя решил все задачи из сборника ровно за 9 дней?
б) Могло ли получиться так, что Вася в первый день решил на одну задачу больше, чем Петя, а Петя решил все задачи из сборника ровно за 5 дней?
в) Какое наименьшее количество задач могло быть в сборнике, если каждый из ребят решал задачи более 6 дней, причём в первый день один из мальчиков решил на одну задачу больше, чем другой?
а) Могло ли получиться так, что Вася в первый день решил на одну задачу меньше, чем Петя, а Петя решил все задачи из сборника ровно за 9 дней?
б) Могло ли получиться так, что Вася в первый день решил на одну задачу больше, чем Петя, а Петя решил все задачи из сборника ровно за 5 дней?
в) Какое наименьшее количество задач могло быть в сборнике, если каждый из ребят решал задачи более 6 дней, причём в первый день один из мальчиков решил на одну задачу больше, чем другой?
Показать ответ
а) да, например Петя решал 9 дней по 6, 8, 10, 12, 14, … задач, а Вася — 12 дней по 5, 6, 7, 8, 9, …: в сборнике 126 задач
б) нет: при v = p + 1 равенство av + a(a − 1)/2 = 5p + 20 превращается в линейное уравнение относительно p с коэффициентом (a − 5); для каждого числа дней Васи a оно даёт единственное p, и ни при одном a это p не оказывается натуральным (а при a(a − 1)/2 > N решений нет вовсе)
в) 84; например Вася решал 8 дней по 7, 8, 9, 10, 11, … задач, а Петя — 7 дней по 6, 8, 10, 12, 14, …
Решение
Пусть Вася решал a дней, начав с v задач, а Петя — b дней, начав с p. Тогда
N = av + a(a − 1)/2 = bp + b(b − 1).
а) При b = 9 и v = p − 1 подходит p = 6: Петя решал по 6, 8, 10, 12, 14, … задач, Вася — 12 дней по 5, 6, 7, 8, 9, …, всего 126 задач.
б) Пусть Петя решал ровно 5 дней, тогда N = 5p + 20, а у Васи av + a(a − 1)/2 = N при v = p + 1. Для каждого a это уравнение линейно по p и имеет единственный корень; перебор всех a (при больших a правая часть отрицательна) показывает, что натуральных решений нет.
в) Перебор по N и числам дней даёт наименьшее N = 84: Вася решал 8 дней по 7, 8, 9, 10, 11, … задач, Петя — 7 дней по 6, 8, 10, 12, 14, ….
Ответ: 84.
N = av + a(a − 1)/2 = bp + b(b − 1).
а) При b = 9 и v = p − 1 подходит p = 6: Петя решал по 6, 8, 10, 12, 14, … задач, Вася — 12 дней по 5, 6, 7, 8, 9, …, всего 126 задач.
б) Пусть Петя решал ровно 5 дней, тогда N = 5p + 20, а у Васи av + a(a − 1)/2 = N при v = p + 1. Для каждого a это уравнение линейно по p и имеет единственный корень; перебор всех a (при больших a правая часть отрицательна) показывает, что натуральных решений нет.
в) Перебор по N и числам дней даёт наименьшее N = 84: Вася решал 8 дней по 7, 8, 9, 10, 11, … задач, Петя — 7 дней по 6, 8, 10, 12, 14, ….
Ответ: 84.
Пример 2
Вася и Петя решали задачи из сборника, и они оба решили все задачи этого сборника. Каждый день Вася решал на одну задачу больше, чем в предыдущий день, а Петя решал на две задачи больше, чем в предыдущий день. Они начали решать задачи в один день, при этом в первый день каждый из них решил хотя бы одну задачу.
а) Могло ли получиться так, что Вася в первый день решил на одну задачу меньше, чем Петя, а Петя решил все задачи из сборника ровно за 7 дней?
б) Могло ли получиться так, что Вася в первый день решил на одну задачу больше, чем Петя, а Петя решил все задачи из сборника ровно за 4 дня?
в) Какое наименьшее количество задач могло быть в сборнике, если каждый из ребят решал задачи более 7 дней, причём в первый день один из мальчиков решил на одну задачу больше, чем другой?
а) Могло ли получиться так, что Вася в первый день решил на одну задачу меньше, чем Петя, а Петя решил все задачи из сборника ровно за 7 дней?
б) Могло ли получиться так, что Вася в первый день решил на одну задачу больше, чем Петя, а Петя решил все задачи из сборника ровно за 4 дня?
в) Какое наименьшее количество задач могло быть в сборнике, если каждый из ребят решал задачи более 7 дней, причём в первый день один из мальчиков решил на одну задачу больше, чем другой?
Показать ответ
а) да, например Петя решал 7 дней по 22, 24, 26, 28, 30, … задач, а Вася — 8 дней по 21, 22, 23, 24, 25, …: в сборнике 196 задач
б) нет: при v = p + 1 равенство av + a(a − 1)/2 = 4p + 12 превращается в линейное уравнение относительно p с коэффициентом (a − 4); для каждого числа дней Васи a оно даёт единственное p, и ни при одном a это p не оказывается натуральным (а при a(a − 1)/2 > N решений нет вовсе)
в) 88; например Вася решал 11 дней по 3, 4, 5, 6, 7, … задач, а Петя — 8 дней по 4, 6, 8, 10, 12, …
Решение
Пусть Вася решал a дней, начав с v задач, а Петя — b дней, начав с p. Тогда
N = av + a(a − 1)/2 = bp + b(b − 1).
а) При b = 7 и v = p − 1 подходит p = 22: Петя решал по 22, 24, 26, 28, 30, … задач, Вася — 8 дней по 21, 22, 23, 24, 25, …, всего 196 задач.
б) Пусть Петя решал ровно 4 дня, тогда N = 4p + 12, а у Васи av + a(a − 1)/2 = N при v = p + 1. Для каждого a это уравнение линейно по p и имеет единственный корень; перебор всех a (при больших a правая часть отрицательна) показывает, что натуральных решений нет.
в) Перебор по N и числам дней даёт наименьшее N = 88: Вася решал 11 дней по 3, 4, 5, 6, 7, … задач, Петя — 8 дней по 4, 6, 8, 10, 12, ….
Ответ: 88.
N = av + a(a − 1)/2 = bp + b(b − 1).
а) При b = 7 и v = p − 1 подходит p = 22: Петя решал по 22, 24, 26, 28, 30, … задач, Вася — 8 дней по 21, 22, 23, 24, 25, …, всего 196 задач.
б) Пусть Петя решал ровно 4 дня, тогда N = 4p + 12, а у Васи av + a(a − 1)/2 = N при v = p + 1. Для каждого a это уравнение линейно по p и имеет единственный корень; перебор всех a (при больших a правая часть отрицательна) показывает, что натуральных решений нет.
в) Перебор по N и числам дней даёт наименьшее N = 88: Вася решал 11 дней по 3, 4, 5, 6, 7, … задач, Петя — 8 дней по 4, 6, 8, 10, 12, ….
Ответ: 88.
Пример 3
Вася и Петя решали задачи из сборника, и они оба решили все задачи этого сборника. Каждый день Вася решал на одну задачу больше, чем в предыдущий день, а Петя решал на две задачи больше, чем в предыдущий день. Они начали решать задачи в один день, при этом в первый день каждый из них решил хотя бы одну задачу.
а) Могло ли получиться так, что Вася в первый день решил на одну задачу меньше, чем Петя, а Петя решил все задачи из сборника ровно за 7 дней?
б) Могло ли получиться так, что Вася в первый день решил на одну задачу больше, чем Петя, а Петя решил все задачи из сборника ровно за 5 дней?
в) Какое наименьшее количество задач могло быть в сборнике, если каждый из ребят решал задачи более 6 дней, причём в первый день один из мальчиков решил на одну задачу больше, чем другой?
а) Могло ли получиться так, что Вася в первый день решил на одну задачу меньше, чем Петя, а Петя решил все задачи из сборника ровно за 7 дней?
б) Могло ли получиться так, что Вася в первый день решил на одну задачу больше, чем Петя, а Петя решил все задачи из сборника ровно за 5 дней?
в) Какое наименьшее количество задач могло быть в сборнике, если каждый из ребят решал задачи более 6 дней, причём в первый день один из мальчиков решил на одну задачу больше, чем другой?
Показать ответ
а) да, например Петя решал 7 дней по 22, 24, 26, 28, 30, … задач, а Вася — 8 дней по 21, 22, 23, 24, 25, …: в сборнике 196 задач
б) нет: при v = p + 1 равенство av + a(a − 1)/2 = 5p + 20 превращается в линейное уравнение относительно p с коэффициентом (a − 5); для каждого числа дней Васи a оно даёт единственное p, и ни при одном a это p не оказывается натуральным (а при a(a − 1)/2 > N решений нет вовсе)
в) 84; например Вася решал 8 дней по 7, 8, 9, 10, 11, … задач, а Петя — 7 дней по 6, 8, 10, 12, 14, …
Решение
Пусть Вася решал a дней, начав с v задач, а Петя — b дней, начав с p. Тогда
N = av + a(a − 1)/2 = bp + b(b − 1).
а) При b = 7 и v = p − 1 подходит p = 22: Петя решал по 22, 24, 26, 28, 30, … задач, Вася — 8 дней по 21, 22, 23, 24, 25, …, всего 196 задач.
б) Пусть Петя решал ровно 5 дней, тогда N = 5p + 20, а у Васи av + a(a − 1)/2 = N при v = p + 1. Для каждого a это уравнение линейно по p и имеет единственный корень; перебор всех a (при больших a правая часть отрицательна) показывает, что натуральных решений нет.
в) Перебор по N и числам дней даёт наименьшее N = 84: Вася решал 8 дней по 7, 8, 9, 10, 11, … задач, Петя — 7 дней по 6, 8, 10, 12, 14, ….
Ответ: 84.
N = av + a(a − 1)/2 = bp + b(b − 1).
а) При b = 7 и v = p − 1 подходит p = 22: Петя решал по 22, 24, 26, 28, 30, … задач, Вася — 8 дней по 21, 22, 23, 24, 25, …, всего 196 задач.
б) Пусть Петя решал ровно 5 дней, тогда N = 5p + 20, а у Васи av + a(a − 1)/2 = N при v = p + 1. Для каждого a это уравнение линейно по p и имеет единственный корень; перебор всех a (при больших a правая часть отрицательна) показывает, что натуральных решений нет.
в) Перебор по N и числам дней даёт наименьшее N = 84: Вася решал 8 дней по 7, 8, 9, 10, 11, … задач, Петя — 7 дней по 6, 8, 10, 12, 14, ….
Ответ: 84.
Пример 4
Вася и Петя решали задачи из сборника, и они оба решили все задачи этого сборника. Каждый день Вася решал на одну задачу больше, чем в предыдущий день, а Петя решал на две задачи больше, чем в предыдущий день. Они начали решать задачи в один день, при этом в первый день каждый из них решил хотя бы одну задачу.
а) Могло ли получиться так, что Вася в первый день решил на одну задачу меньше, чем Петя, а Петя решил все задачи из сборника ровно за 7 дней?
б) Могло ли получиться так, что Вася в первый день решил на одну задачу больше, чем Петя, а Петя решил все задачи из сборника ровно за 4 дня?
в) Какое наименьшее количество задач могло быть в сборнике, если каждый из ребят решал задачи более 6 дней, причём в первый день один из мальчиков решил на одну задачу больше, чем другой?
а) Могло ли получиться так, что Вася в первый день решил на одну задачу меньше, чем Петя, а Петя решил все задачи из сборника ровно за 7 дней?
б) Могло ли получиться так, что Вася в первый день решил на одну задачу больше, чем Петя, а Петя решил все задачи из сборника ровно за 4 дня?
в) Какое наименьшее количество задач могло быть в сборнике, если каждый из ребят решал задачи более 6 дней, причём в первый день один из мальчиков решил на одну задачу больше, чем другой?
Показать ответ
а) да, например Петя решал 7 дней по 22, 24, 26, 28, 30, … задач, а Вася — 8 дней по 21, 22, 23, 24, 25, …: в сборнике 196 задач
б) нет: при v = p + 1 равенство av + a(a − 1)/2 = 4p + 12 превращается в линейное уравнение относительно p с коэффициентом (a − 4); для каждого числа дней Васи a оно даёт единственное p, и ни при одном a это p не оказывается натуральным (а при a(a − 1)/2 > N решений нет вовсе)
в) 84; например Вася решал 8 дней по 7, 8, 9, 10, 11, … задач, а Петя — 7 дней по 6, 8, 10, 12, 14, …
Решение
Пусть Вася решал a дней, начав с v задач, а Петя — b дней, начав с p. Тогда
N = av + a(a − 1)/2 = bp + b(b − 1).
а) При b = 7 и v = p − 1 подходит p = 22: Петя решал по 22, 24, 26, 28, 30, … задач, Вася — 8 дней по 21, 22, 23, 24, 25, …, всего 196 задач.
б) Пусть Петя решал ровно 4 дня, тогда N = 4p + 12, а у Васи av + a(a − 1)/2 = N при v = p + 1. Для каждого a это уравнение линейно по p и имеет единственный корень; перебор всех a (при больших a правая часть отрицательна) показывает, что натуральных решений нет.
в) Перебор по N и числам дней даёт наименьшее N = 84: Вася решал 8 дней по 7, 8, 9, 10, 11, … задач, Петя — 7 дней по 6, 8, 10, 12, 14, ….
Ответ: 84.
N = av + a(a − 1)/2 = bp + b(b − 1).
а) При b = 7 и v = p − 1 подходит p = 22: Петя решал по 22, 24, 26, 28, 30, … задач, Вася — 8 дней по 21, 22, 23, 24, 25, …, всего 196 задач.
б) Пусть Петя решал ровно 4 дня, тогда N = 4p + 12, а у Васи av + a(a − 1)/2 = N при v = p + 1. Для каждого a это уравнение линейно по p и имеет единственный корень; перебор всех a (при больших a правая часть отрицательна) показывает, что натуральных решений нет.
в) Перебор по N и числам дней даёт наименьшее N = 84: Вася решал 8 дней по 7, 8, 9, 10, 11, … задач, Петя — 7 дней по 6, 8, 10, 12, 14, ….
Ответ: 84.
Пример 5
Вася и Петя решали задачи из сборника, и они оба решили все задачи этого сборника. Каждый день Вася решал на одну задачу больше, чем в предыдущий день, а Петя решал на две задачи больше, чем в предыдущий день. Они начали решать задачи в один день, при этом в первый день каждый из них решил хотя бы одну задачу.
а) Могло ли получиться так, что Вася в первый день решил на одну задачу меньше, чем Петя, а Петя решил все задачи из сборника ровно за 7 дней?
б) Могло ли получиться так, что Вася в первый день решил на одну задачу больше, чем Петя, а Петя решил все задачи из сборника ровно за 4 дня?
в) Какое наименьшее количество задач могло быть в сборнике, если каждый из ребят решал задачи более 5 дней, причём в первый день один из мальчиков решил на одну задачу больше, чем другой?
а) Могло ли получиться так, что Вася в первый день решил на одну задачу меньше, чем Петя, а Петя решил все задачи из сборника ровно за 7 дней?
б) Могло ли получиться так, что Вася в первый день решил на одну задачу больше, чем Петя, а Петя решил все задачи из сборника ровно за 4 дня?
в) Какое наименьшее количество задач могло быть в сборнике, если каждый из ребят решал задачи более 5 дней, причём в первый день один из мальчиков решил на одну задачу больше, чем другой?
Показать ответ
а) да, например Петя решал 7 дней по 22, 24, 26, 28, 30, … задач, а Вася — 8 дней по 21, 22, 23, 24, 25, …: в сборнике 196 задач
б) нет: при v = p + 1 равенство av + a(a − 1)/2 = 4p + 12 превращается в линейное уравнение относительно p с коэффициентом (a − 4); для каждого числа дней Васи a оно даёт единственное p, и ни при одном a это p не оказывается натуральным (а при a(a − 1)/2 > N решений нет вовсе)
в) 42; например Вася решал 7 дней по 3, 4, 5, 6, 7, … задач, а Петя — 6 дней по 2, 4, 6, 8, 10, …
Решение
Пусть Вася решал a дней, начав с v задач, а Петя — b дней, начав с p. Тогда
N = av + a(a − 1)/2 = bp + b(b − 1).
а) При b = 7 и v = p − 1 подходит p = 22: Петя решал по 22, 24, 26, 28, 30, … задач, Вася — 8 дней по 21, 22, 23, 24, 25, …, всего 196 задач.
б) Пусть Петя решал ровно 4 дня, тогда N = 4p + 12, а у Васи av + a(a − 1)/2 = N при v = p + 1. Для каждого a это уравнение линейно по p и имеет единственный корень; перебор всех a (при больших a правая часть отрицательна) показывает, что натуральных решений нет.
в) Перебор по N и числам дней даёт наименьшее N = 42: Вася решал 7 дней по 3, 4, 5, 6, 7, … задач, Петя — 6 дней по 2, 4, 6, 8, 10, ….
Ответ: 42.
N = av + a(a − 1)/2 = bp + b(b − 1).
а) При b = 7 и v = p − 1 подходит p = 22: Петя решал по 22, 24, 26, 28, 30, … задач, Вася — 8 дней по 21, 22, 23, 24, 25, …, всего 196 задач.
б) Пусть Петя решал ровно 4 дня, тогда N = 4p + 12, а у Васи av + a(a − 1)/2 = N при v = p + 1. Для каждого a это уравнение линейно по p и имеет единственный корень; перебор всех a (при больших a правая часть отрицательна) показывает, что натуральных решений нет.
в) Перебор по N и числам дней даёт наименьшее N = 42: Вася решал 7 дней по 3, 4, 5, 6, 7, … задач, Петя — 6 дней по 2, 4, 6, 8, 10, ….
Ответ: 42.
Другие темы задания №20
1Каждый следующий в 10 раз больше или меньше: наибольшее число членов2Сумма соседей — одна из трёх: наименьшее число членов3Вдвое меньше либо больше на D: наименьший максимум4Средние без k-го члена: наибольшее M₃5Возрастающая с шагом ≤ 10: наибольшее среднее всех членов6Член больше среднего соседей: наименьшая сумма при n членах7Концы нулевые: наименьший второй член8Числа 1–4 и степенные суммы S₁…S₄9Целые числа: средние всех / положительных / отрицательных10Средние арифметические набора11Средние арифметические набора12Деление на три группы: наименьшее из наибольших средних
Нужен репетитор по математике?
Посмотрите репетиторов, которые ведут занятия в Precettore, или оставьте заявку — подберём сами.
Готовьтесь к ЕГЭ по профильной математике в Precettore
Варианты с автопроверкой, домашние задания от репетитора, онлайн-доска и разбор ошибок — в одном кабинете. Регистрация бесплатная.