Письма девушкам: наименьший и наибольший размер группы — задание 20 ЕГЭ по профильной математике
Сюжетные задачи с перебором. 5 примера с ответом и проверкой.
Пример 1
В группе поровну юношей и девушек. Юноши отправляли электронные письма девушкам. Каждый юноша отправил или 4 письма, или 21 письмо, причём и тех, и других юношей было не менее двух. Возможно, что какой-то юноша отправил какой-то девушке несколько писем.
а) Могло ли оказаться так, что каждая девушка получила ровно 16 писем?
б) Какое наименьшее количество девушек могло быть в группе, если известно, что все они получили писем поровну?
в) Пусть все девушки получили различное количество писем (возможно, какая-то девушка не получила писем вообще). Каково наибольшее возможное количество девушек в такой группе?
а) Могло ли оказаться так, что каждая девушка получила ровно 16 писем?
б) Какое наименьшее количество девушек могло быть в группе, если известно, что все они получили писем поровну?
в) Пусть все девушки получили различное количество писем (возможно, какая-то девушка не получила писем вообще). Каково наибольшее возможное количество девушек в такой группе?
Показать ответ
а) да, например в группе 17 юношей и столько же девушек: 5 юношей отправили по 4 письма, а 12 — по 21; всего 272 писем, то есть по 16 на каждую девушку
б) 17: всего писем 4a + 21b = 4N + 17b, поэтому равное деление означает, что N делит 17b. Число 17 простое, а 0 < b < N, поэтому N делится на 17, откуда N ≥ 17; пример — 15 юношей по 4 письма и 2 по 21
в) 41; например 2 юноши по 4 письма и 39 по 21 — всего 827 писем, чего хватает на 41 различное количество (нужно не меньше 820 писем)
Решение
Пусть в группе N юношей и N девушек, из них a отправили по 4 письма и b — по 21, a + b = N, a ≥ 2, b ≥ 2. Всего писем 4a + 21b = 4N + 17b.
а) Условие «каждая получила ровно 16» означает 4N + 17b = 16N: подходит N = 17, b = 12.
б) Равное деление означает, что N делит 17b. Так как 17 — простое число и 0 < b < N, число N обязано делиться на 17. Наименьшее подходящее значение N = 17 (пример: b = 2).
в) Если все количества различны, то сумма писем не меньше 0 + 1 + … + (N − 1) = N(N − 1)/2. С другой стороны, писем не больше 4·2 + 21(N − 2). Из неравенства 4·2 + 21(N − 2) ≥ N(N − 1)/2 получаем N ≤ 41, и это значение достигается.
Ответ: 17; 41.
а) Условие «каждая получила ровно 16» означает 4N + 17b = 16N: подходит N = 17, b = 12.
б) Равное деление означает, что N делит 17b. Так как 17 — простое число и 0 < b < N, число N обязано делиться на 17. Наименьшее подходящее значение N = 17 (пример: b = 2).
в) Если все количества различны, то сумма писем не меньше 0 + 1 + … + (N − 1) = N(N − 1)/2. С другой стороны, писем не больше 4·2 + 21(N − 2). Из неравенства 4·2 + 21(N − 2) ≥ N(N − 1)/2 получаем N ≤ 41, и это значение достигается.
Ответ: 17; 41.
Пример 2
В группе поровну юношей и девушек. Юноши отправляли электронные письма девушкам. Каждый юноша отправил или 4 письма, или 21 письмо, причём и тех, и других юношей было не менее двух. Возможно, что какой-то юноша отправил какой-то девушке несколько писем.
а) Могло ли оказаться так, что каждая девушка получила ровно 6 писем?
б) Какое наименьшее количество девушек могло быть в группе, если известно, что все они получили писем поровну?
в) Пусть все девушки получили различное количество писем (возможно, какая-то девушка не получила писем вообще). Каково наибольшее возможное количество девушек в такой группе?
а) Могло ли оказаться так, что каждая девушка получила ровно 6 писем?
б) Какое наименьшее количество девушек могло быть в группе, если известно, что все они получили писем поровну?
в) Пусть все девушки получили различное количество писем (возможно, какая-то девушка не получила писем вообще). Каково наибольшее возможное количество девушек в такой группе?
Показать ответ
а) да, например в группе 17 юношей и столько же девушек: 15 юношей отправили по 4 письма, а 2 — по 21; всего 102 писем, то есть по 6 на каждую девушку
б) 17: всего писем 4a + 21b = 4N + 17b, поэтому равное деление означает, что N делит 17b. Число 17 простое, а 0 < b < N, поэтому N делится на 17, откуда N ≥ 17; пример — 15 юношей по 4 письма и 2 по 21
в) 41; например 2 юноши по 4 письма и 39 по 21 — всего 827 писем, чего хватает на 41 различное количество (нужно не меньше 820 писем)
Решение
Пусть в группе N юношей и N девушек, из них a отправили по 4 письма и b — по 21, a + b = N, a ≥ 2, b ≥ 2. Всего писем 4a + 21b = 4N + 17b.
а) Условие «каждая получила ровно 6» означает 4N + 17b = 6N: подходит N = 17, b = 2.
б) Равное деление означает, что N делит 17b. Так как 17 — простое число и 0 < b < N, число N обязано делиться на 17. Наименьшее подходящее значение N = 17 (пример: b = 2).
в) Если все количества различны, то сумма писем не меньше 0 + 1 + … + (N − 1) = N(N − 1)/2. С другой стороны, писем не больше 4·2 + 21(N − 2). Из неравенства 4·2 + 21(N − 2) ≥ N(N − 1)/2 получаем N ≤ 41, и это значение достигается.
Ответ: 17; 41.
а) Условие «каждая получила ровно 6» означает 4N + 17b = 6N: подходит N = 17, b = 2.
б) Равное деление означает, что N делит 17b. Так как 17 — простое число и 0 < b < N, число N обязано делиться на 17. Наименьшее подходящее значение N = 17 (пример: b = 2).
в) Если все количества различны, то сумма писем не меньше 0 + 1 + … + (N − 1) = N(N − 1)/2. С другой стороны, писем не больше 4·2 + 21(N − 2). Из неравенства 4·2 + 21(N − 2) ≥ N(N − 1)/2 получаем N ≤ 41, и это значение достигается.
Ответ: 17; 41.
Пример 3
В группе поровну юношей и девушек. Юноши отправляли электронные письма девушкам. Каждый юноша отправил или 4 письма, или 21 письмо, причём и тех, и других юношей было не менее двух. Возможно, что какой-то юноша отправил какой-то девушке несколько писем.
а) Могло ли оказаться так, что каждая девушка получила ровно 19 писем?
б) Какое наименьшее количество девушек могло быть в группе, если известно, что все они получили писем поровну?
в) Пусть все девушки получили различное количество писем (возможно, какая-то девушка не получила писем вообще). Каково наибольшее возможное количество девушек в такой группе?
а) Могло ли оказаться так, что каждая девушка получила ровно 19 писем?
б) Какое наименьшее количество девушек могло быть в группе, если известно, что все они получили писем поровну?
в) Пусть все девушки получили различное количество писем (возможно, какая-то девушка не получила писем вообще). Каково наибольшее возможное количество девушек в такой группе?
Показать ответ
а) да, например в группе 17 юношей и столько же девушек: 2 юноши отправили по 4 письма, а 15 — по 21; всего 323 писем, то есть по 19 на каждую девушку
б) 17: всего писем 4a + 21b = 4N + 17b, поэтому равное деление означает, что N делит 17b. Число 17 простое, а 0 < b < N, поэтому N делится на 17, откуда N ≥ 17; пример — 15 юношей по 4 письма и 2 по 21
в) 41; например 2 юноши по 4 письма и 39 по 21 — всего 827 писем, чего хватает на 41 различное количество (нужно не меньше 820 писем)
Решение
Пусть в группе N юношей и N девушек, из них a отправили по 4 письма и b — по 21, a + b = N, a ≥ 2, b ≥ 2. Всего писем 4a + 21b = 4N + 17b.
а) Условие «каждая получила ровно 19» означает 4N + 17b = 19N: подходит N = 17, b = 15.
б) Равное деление означает, что N делит 17b. Так как 17 — простое число и 0 < b < N, число N обязано делиться на 17. Наименьшее подходящее значение N = 17 (пример: b = 2).
в) Если все количества различны, то сумма писем не меньше 0 + 1 + … + (N − 1) = N(N − 1)/2. С другой стороны, писем не больше 4·2 + 21(N − 2). Из неравенства 4·2 + 21(N − 2) ≥ N(N − 1)/2 получаем N ≤ 41, и это значение достигается.
Ответ: 17; 41.
а) Условие «каждая получила ровно 19» означает 4N + 17b = 19N: подходит N = 17, b = 15.
б) Равное деление означает, что N делит 17b. Так как 17 — простое число и 0 < b < N, число N обязано делиться на 17. Наименьшее подходящее значение N = 17 (пример: b = 2).
в) Если все количества различны, то сумма писем не меньше 0 + 1 + … + (N − 1) = N(N − 1)/2. С другой стороны, писем не больше 4·2 + 21(N − 2). Из неравенства 4·2 + 21(N − 2) ≥ N(N − 1)/2 получаем N ≤ 41, и это значение достигается.
Ответ: 17; 41.
Пример 4
В группе поровну юношей и девушек. Юноши отправляли электронные письма девушкам. Каждый юноша отправил или 4 письма, или 21 письмо, причём и тех, и других юношей было не менее двух. Возможно, что какой-то юноша отправил какой-то девушке несколько писем.
а) Могло ли оказаться так, что каждая девушка получила ровно 17 писем?
б) Какое наименьшее количество девушек могло быть в группе, если известно, что все они получили писем поровну?
в) Пусть все девушки получили различное количество писем (возможно, какая-то девушка не получила писем вообще). Каково наибольшее возможное количество девушек в такой группе?
а) Могло ли оказаться так, что каждая девушка получила ровно 17 писем?
б) Какое наименьшее количество девушек могло быть в группе, если известно, что все они получили писем поровну?
в) Пусть все девушки получили различное количество писем (возможно, какая-то девушка не получила писем вообще). Каково наибольшее возможное количество девушек в такой группе?
Показать ответ
а) да, например в группе 17 юношей и столько же девушек: 4 юноши отправили по 4 письма, а 13 — по 21; всего 289 писем, то есть по 17 на каждую девушку
б) 17: всего писем 4a + 21b = 4N + 17b, поэтому равное деление означает, что N делит 17b. Число 17 простое, а 0 < b < N, поэтому N делится на 17, откуда N ≥ 17; пример — 15 юношей по 4 письма и 2 по 21
в) 41; например 2 юноши по 4 письма и 39 по 21 — всего 827 писем, чего хватает на 41 различное количество (нужно не меньше 820 писем)
Решение
Пусть в группе N юношей и N девушек, из них a отправили по 4 письма и b — по 21, a + b = N, a ≥ 2, b ≥ 2. Всего писем 4a + 21b = 4N + 17b.
а) Условие «каждая получила ровно 17» означает 4N + 17b = 17N: подходит N = 17, b = 13.
б) Равное деление означает, что N делит 17b. Так как 17 — простое число и 0 < b < N, число N обязано делиться на 17. Наименьшее подходящее значение N = 17 (пример: b = 2).
в) Если все количества различны, то сумма писем не меньше 0 + 1 + … + (N − 1) = N(N − 1)/2. С другой стороны, писем не больше 4·2 + 21(N − 2). Из неравенства 4·2 + 21(N − 2) ≥ N(N − 1)/2 получаем N ≤ 41, и это значение достигается.
Ответ: 17; 41.
а) Условие «каждая получила ровно 17» означает 4N + 17b = 17N: подходит N = 17, b = 13.
б) Равное деление означает, что N делит 17b. Так как 17 — простое число и 0 < b < N, число N обязано делиться на 17. Наименьшее подходящее значение N = 17 (пример: b = 2).
в) Если все количества различны, то сумма писем не меньше 0 + 1 + … + (N − 1) = N(N − 1)/2. С другой стороны, писем не больше 4·2 + 21(N − 2). Из неравенства 4·2 + 21(N − 2) ≥ N(N − 1)/2 получаем N ≤ 41, и это значение достигается.
Ответ: 17; 41.
Пример 5
В группе поровну юношей и девушек. Юноши отправляли электронные письма девушкам. Каждый юноша отправил или 4 письма, или 21 письмо, причём и тех, и других юношей было не менее двух. Возможно, что какой-то юноша отправил какой-то девушке несколько писем.
а) Могло ли оказаться так, что каждая девушка получила ровно 15 писем?
б) Какое наименьшее количество девушек могло быть в группе, если известно, что все они получили писем поровну?
в) Пусть все девушки получили различное количество писем (возможно, какая-то девушка не получила писем вообще). Каково наибольшее возможное количество девушек в такой группе?
а) Могло ли оказаться так, что каждая девушка получила ровно 15 писем?
б) Какое наименьшее количество девушек могло быть в группе, если известно, что все они получили писем поровну?
в) Пусть все девушки получили различное количество писем (возможно, какая-то девушка не получила писем вообще). Каково наибольшее возможное количество девушек в такой группе?
Показать ответ
а) да, например в группе 17 юношей и столько же девушек: 6 юношей отправили по 4 письма, а 11 — по 21; всего 255 писем, то есть по 15 на каждую девушку
б) 17: всего писем 4a + 21b = 4N + 17b, поэтому равное деление означает, что N делит 17b. Число 17 простое, а 0 < b < N, поэтому N делится на 17, откуда N ≥ 17; пример — 15 юношей по 4 письма и 2 по 21
в) 41; например 2 юноши по 4 письма и 39 по 21 — всего 827 писем, чего хватает на 41 различное количество (нужно не меньше 820 писем)
Решение
Пусть в группе N юношей и N девушек, из них a отправили по 4 письма и b — по 21, a + b = N, a ≥ 2, b ≥ 2. Всего писем 4a + 21b = 4N + 17b.
а) Условие «каждая получила ровно 15» означает 4N + 17b = 15N: подходит N = 17, b = 11.
б) Равное деление означает, что N делит 17b. Так как 17 — простое число и 0 < b < N, число N обязано делиться на 17. Наименьшее подходящее значение N = 17 (пример: b = 2).
в) Если все количества различны, то сумма писем не меньше 0 + 1 + … + (N − 1) = N(N − 1)/2. С другой стороны, писем не больше 4·2 + 21(N − 2). Из неравенства 4·2 + 21(N − 2) ≥ N(N − 1)/2 получаем N ≤ 41, и это значение достигается.
Ответ: 17; 41.
а) Условие «каждая получила ровно 15» означает 4N + 17b = 15N: подходит N = 17, b = 11.
б) Равное деление означает, что N делит 17b. Так как 17 — простое число и 0 < b < N, число N обязано делиться на 17. Наименьшее подходящее значение N = 17 (пример: b = 2).
в) Если все количества различны, то сумма писем не меньше 0 + 1 + … + (N − 1) = N(N − 1)/2. С другой стороны, писем не больше 4·2 + 21(N − 2). Из неравенства 4·2 + 21(N − 2) ≥ N(N − 1)/2 получаем N ≤ 41, и это значение достигается.
Ответ: 17; 41.
Другие темы задания №20
1Каждый следующий в 10 раз больше или меньше: наибольшее число членов2Сумма соседей — одна из трёх: наименьшее число членов3Вдвое меньше либо больше на D: наименьший максимум4Средние без k-го члена: наибольшее M₃5Возрастающая с шагом ≤ 10: наибольшее среднее всех членов6Член больше среднего соседей: наименьшая сумма при n членах7Концы нулевые: наименьший второй член8Числа 1–4 и степенные суммы S₁…S₄9Целые числа: средние всех / положительных / отрицательных10Средние арифметические набора11Средние арифметические набора12Деление на три группы: наименьшее из наибольших средних
Нужен репетитор по математике?
Посмотрите репетиторов, которые ведут занятия в Precettore, или оставьте заявку — подберём сами.
Готовьтесь к ЕГЭ по профильной математике в Precettore
Варианты с автопроверкой, домашние задания от репетитора, онлайн-доска и разбор ошибок — в одном кабинете. Регистрация бесплатная.