Попарно взаимно простые: наименьшая сумма — задание 20 ЕГЭ по профильной математике
Доска: набор чисел с ограничением на сумму. 5 примера с ответом и проверкой.
Пример 1
Шесть различных натуральных чисел таковы, что никакие два из них не имеют общего делителя, большего 1.
а) Может ли сумма этих чисел быть равной 53?
б) Может ли сумма этих чисел быть равной 38?
в) Какова их минимальная сумма?
а) Может ли сумма этих чисел быть равной 53?
б) Может ли сумма этих чисел быть равной 38?
в) Какова их минимальная сумма?
Показать ответ
а) да, например 1, 2, 3, 5, 11, 31
б) нет: среди попарно взаимно простых чисел не более одного чётного, поэтому нечётных чисел либо 6, либо 5, и сумма сравнима с 6 или с 5 по модулю 2. Число 38 сравнимо с 6, значит все 6 чисел нечётны, а наименьшая сумма 6 попарно взаимно простых нечётных чисел равна 40 (набор 1, 3, 5, 7, 11, 13) — больше, чем 38
в) 29; например 1, 2, 3, 5, 7, 11
Решение
Никакие два числа не имеют общего делителя, большего 1, поэтому среди них не более одного чётного.
а) Пример: 1, 2, 3, 5, 11, 31 — числа попарно взаимно просты, их сумма равна 53.
б) Если чётного числа нет, то все 6 слагаемых нечётны и сумма сравнима с 6 по модулю 2; если чётное число одно, то сумма сравнима с 5. Число 38 сравнимо с 6 по модулю 2, поэтому все числа обязаны быть нечётными. Но наименьшая сумма 6 различных попарно взаимно простых нечётных чисел равна 40 (это набор 1, 3, 5, 7, 11, 13), а 38 < 40.
в) Наименьшая сумма достигается на наборе 1, 2, 3, 5, 7, 11 и равна 29: единица взаимно проста со всеми, а остальные числа — различные простые, и заменить любое из них меньшим числом нельзя.
Ответ: 29.
а) Пример: 1, 2, 3, 5, 11, 31 — числа попарно взаимно просты, их сумма равна 53.
б) Если чётного числа нет, то все 6 слагаемых нечётны и сумма сравнима с 6 по модулю 2; если чётное число одно, то сумма сравнима с 5. Число 38 сравнимо с 6 по модулю 2, поэтому все числа обязаны быть нечётными. Но наименьшая сумма 6 различных попарно взаимно простых нечётных чисел равна 40 (это набор 1, 3, 5, 7, 11, 13), а 38 < 40.
в) Наименьшая сумма достигается на наборе 1, 2, 3, 5, 7, 11 и равна 29: единица взаимно проста со всеми, а остальные числа — различные простые, и заменить любое из них меньшим числом нельзя.
Ответ: 29.
Пример 2
Шесть различных натуральных чисел таковы, что никакие два из них не имеют общего делителя, большего 1.
а) Может ли сумма этих чисел быть равной 65?
б) Может ли сумма этих чисел быть равной 32?
в) Какова их минимальная сумма?
а) Может ли сумма этих чисел быть равной 65?
б) Может ли сумма этих чисел быть равной 32?
в) Какова их минимальная сумма?
Показать ответ
а) да, например 1, 2, 3, 5, 23, 31
б) нет: среди попарно взаимно простых чисел не более одного чётного, поэтому нечётных чисел либо 6, либо 5, и сумма сравнима с 6 или с 5 по модулю 2. Число 32 сравнимо с 6, значит все 6 чисел нечётны, а наименьшая сумма 6 попарно взаимно простых нечётных чисел равна 40 (набор 1, 3, 5, 7, 11, 13) — больше, чем 32
в) 29; например 1, 2, 3, 5, 7, 11
Решение
Никакие два числа не имеют общего делителя, большего 1, поэтому среди них не более одного чётного.
а) Пример: 1, 2, 3, 5, 23, 31 — числа попарно взаимно просты, их сумма равна 65.
б) Если чётного числа нет, то все 6 слагаемых нечётны и сумма сравнима с 6 по модулю 2; если чётное число одно, то сумма сравнима с 5. Число 32 сравнимо с 6 по модулю 2, поэтому все числа обязаны быть нечётными. Но наименьшая сумма 6 различных попарно взаимно простых нечётных чисел равна 40 (это набор 1, 3, 5, 7, 11, 13), а 32 < 40.
в) Наименьшая сумма достигается на наборе 1, 2, 3, 5, 7, 11 и равна 29: единица взаимно проста со всеми, а остальные числа — различные простые, и заменить любое из них меньшим числом нельзя.
Ответ: 29.
а) Пример: 1, 2, 3, 5, 23, 31 — числа попарно взаимно просты, их сумма равна 65.
б) Если чётного числа нет, то все 6 слагаемых нечётны и сумма сравнима с 6 по модулю 2; если чётное число одно, то сумма сравнима с 5. Число 32 сравнимо с 6 по модулю 2, поэтому все числа обязаны быть нечётными. Но наименьшая сумма 6 различных попарно взаимно простых нечётных чисел равна 40 (это набор 1, 3, 5, 7, 11, 13), а 32 < 40.
в) Наименьшая сумма достигается на наборе 1, 2, 3, 5, 7, 11 и равна 29: единица взаимно проста со всеми, а остальные числа — различные простые, и заменить любое из них меньшим числом нельзя.
Ответ: 29.
Пример 3
Шесть различных натуральных чисел таковы, что никакие два из них не имеют общего делителя, большего 1.
а) Может ли сумма этих чисел быть равной 63?
б) Может ли сумма этих чисел быть равной 34?
в) Какова их минимальная сумма?
а) Может ли сумма этих чисел быть равной 63?
б) Может ли сумма этих чисел быть равной 34?
в) Какова их минимальная сумма?
Показать ответ
а) да, например 1, 2, 3, 5, 23, 29
б) нет: среди попарно взаимно простых чисел не более одного чётного, поэтому нечётных чисел либо 6, либо 5, и сумма сравнима с 6 или с 5 по модулю 2. Число 34 сравнимо с 6, значит все 6 чисел нечётны, а наименьшая сумма 6 попарно взаимно простых нечётных чисел равна 40 (набор 1, 3, 5, 7, 11, 13) — больше, чем 34
в) 29; например 1, 2, 3, 5, 7, 11
Решение
Никакие два числа не имеют общего делителя, большего 1, поэтому среди них не более одного чётного.
а) Пример: 1, 2, 3, 5, 23, 29 — числа попарно взаимно просты, их сумма равна 63.
б) Если чётного числа нет, то все 6 слагаемых нечётны и сумма сравнима с 6 по модулю 2; если чётное число одно, то сумма сравнима с 5. Число 34 сравнимо с 6 по модулю 2, поэтому все числа обязаны быть нечётными. Но наименьшая сумма 6 различных попарно взаимно простых нечётных чисел равна 40 (это набор 1, 3, 5, 7, 11, 13), а 34 < 40.
в) Наименьшая сумма достигается на наборе 1, 2, 3, 5, 7, 11 и равна 29: единица взаимно проста со всеми, а остальные числа — различные простые, и заменить любое из них меньшим числом нельзя.
Ответ: 29.
а) Пример: 1, 2, 3, 5, 23, 29 — числа попарно взаимно просты, их сумма равна 63.
б) Если чётного числа нет, то все 6 слагаемых нечётны и сумма сравнима с 6 по модулю 2; если чётное число одно, то сумма сравнима с 5. Число 34 сравнимо с 6 по модулю 2, поэтому все числа обязаны быть нечётными. Но наименьшая сумма 6 различных попарно взаимно простых нечётных чисел равна 40 (это набор 1, 3, 5, 7, 11, 13), а 34 < 40.
в) Наименьшая сумма достигается на наборе 1, 2, 3, 5, 7, 11 и равна 29: единица взаимно проста со всеми, а остальные числа — различные простые, и заменить любое из них меньшим числом нельзя.
Ответ: 29.
Пример 4
Шесть различных натуральных чисел таковы, что никакие два из них не имеют общего делителя, большего 1.
а) Может ли сумма этих чисел быть равной 61?
б) Может ли сумма этих чисел быть равной 34?
в) Какова их минимальная сумма?
а) Может ли сумма этих чисел быть равной 61?
б) Может ли сумма этих чисел быть равной 34?
в) Какова их минимальная сумма?
Показать ответ
а) да, например 1, 2, 3, 5, 19, 31
б) нет: среди попарно взаимно простых чисел не более одного чётного, поэтому нечётных чисел либо 6, либо 5, и сумма сравнима с 6 или с 5 по модулю 2. Число 34 сравнимо с 6, значит все 6 чисел нечётны, а наименьшая сумма 6 попарно взаимно простых нечётных чисел равна 40 (набор 1, 3, 5, 7, 11, 13) — больше, чем 34
в) 29; например 1, 2, 3, 5, 7, 11
Решение
Никакие два числа не имеют общего делителя, большего 1, поэтому среди них не более одного чётного.
а) Пример: 1, 2, 3, 5, 19, 31 — числа попарно взаимно просты, их сумма равна 61.
б) Если чётного числа нет, то все 6 слагаемых нечётны и сумма сравнима с 6 по модулю 2; если чётное число одно, то сумма сравнима с 5. Число 34 сравнимо с 6 по модулю 2, поэтому все числа обязаны быть нечётными. Но наименьшая сумма 6 различных попарно взаимно простых нечётных чисел равна 40 (это набор 1, 3, 5, 7, 11, 13), а 34 < 40.
в) Наименьшая сумма достигается на наборе 1, 2, 3, 5, 7, 11 и равна 29: единица взаимно проста со всеми, а остальные числа — различные простые, и заменить любое из них меньшим числом нельзя.
Ответ: 29.
а) Пример: 1, 2, 3, 5, 19, 31 — числа попарно взаимно просты, их сумма равна 61.
б) Если чётного числа нет, то все 6 слагаемых нечётны и сумма сравнима с 6 по модулю 2; если чётное число одно, то сумма сравнима с 5. Число 34 сравнимо с 6 по модулю 2, поэтому все числа обязаны быть нечётными. Но наименьшая сумма 6 различных попарно взаимно простых нечётных чисел равна 40 (это набор 1, 3, 5, 7, 11, 13), а 34 < 40.
в) Наименьшая сумма достигается на наборе 1, 2, 3, 5, 7, 11 и равна 29: единица взаимно проста со всеми, а остальные числа — различные простые, и заменить любое из них меньшим числом нельзя.
Ответ: 29.
Пример 5
Пять различных натуральных чисел таковы, что никакие два из них не имеют общего делителя, большего 1.
а) Может ли сумма этих чисел быть равной 50?
б) Может ли сумма этих чисел быть равной 21?
в) Какова их минимальная сумма?
а) Может ли сумма этих чисел быть равной 50?
б) Может ли сумма этих чисел быть равной 21?
в) Какова их минимальная сумма?
Показать ответ
а) да, например 1, 2, 3, 13, 31
б) нет: среди попарно взаимно простых чисел не более одного чётного, поэтому нечётных чисел либо 5, либо 4, и сумма сравнима с 5 или с 4 по модулю 2. Число 21 сравнимо с 5, значит все 5 чисел нечётны, а наименьшая сумма 5 попарно взаимно простых нечётных чисел равна 27 (набор 1, 3, 5, 7, 11) — больше, чем 21
в) 18; например 1, 2, 3, 5, 7
Решение
Никакие два числа не имеют общего делителя, большего 1, поэтому среди них не более одного чётного.
а) Пример: 1, 2, 3, 13, 31 — числа попарно взаимно просты, их сумма равна 50.
б) Если чётного числа нет, то все 5 слагаемых нечётны и сумма сравнима с 5 по модулю 2; если чётное число одно, то сумма сравнима с 4. Число 21 сравнимо с 5 по модулю 2, поэтому все числа обязаны быть нечётными. Но наименьшая сумма 5 различных попарно взаимно простых нечётных чисел равна 27 (это набор 1, 3, 5, 7, 11), а 21 < 27.
в) Наименьшая сумма достигается на наборе 1, 2, 3, 5, 7 и равна 18: единица взаимно проста со всеми, а остальные числа — различные простые, и заменить любое из них меньшим числом нельзя.
Ответ: 18.
а) Пример: 1, 2, 3, 13, 31 — числа попарно взаимно просты, их сумма равна 50.
б) Если чётного числа нет, то все 5 слагаемых нечётны и сумма сравнима с 5 по модулю 2; если чётное число одно, то сумма сравнима с 4. Число 21 сравнимо с 5 по модулю 2, поэтому все числа обязаны быть нечётными. Но наименьшая сумма 5 различных попарно взаимно простых нечётных чисел равна 27 (это набор 1, 3, 5, 7, 11), а 21 < 27.
в) Наименьшая сумма достигается на наборе 1, 2, 3, 5, 7 и равна 18: единица взаимно проста со всеми, а остальные числа — различные простые, и заменить любое из них меньшим числом нельзя.
Ответ: 18.
Другие темы задания №20
1Каждый следующий в 10 раз больше или меньше: наибольшее число членов2Сумма соседей — одна из трёх: наименьшее число членов3Вдвое меньше либо больше на D: наименьший максимум4Средние без k-го члена: наибольшее M₃5Возрастающая с шагом ≤ 10: наибольшее среднее всех членов6Член больше среднего соседей: наименьшая сумма при n членах7Концы нулевые: наименьший второй член8Числа 1–4 и степенные суммы S₁…S₄9Целые числа: средние всех / положительных / отрицательных10Средние арифметические набора11Средние арифметические набора12Деление на три группы: наименьшее из наибольших средних
Нужен репетитор по математике?
Посмотрите репетиторов, которые ведут занятия в Precettore, или оставьте заявку — подберём сами.
Готовьтесь к ЕГЭ по профильной математике в Precettore
Варианты с автопроверкой, домашние задания от репетитора, онлайн-доска и разбор ошибок — в одном кабинете. Регистрация бесплатная.