Последовательные усреднения: наибольшее целое отношение — задание 20 ЕГЭ по профильной математике
Средние арифметические набора. 3 примера с ответом и проверкой.
Пример 1
Саша берёт шесть различных натуральных чисел и проделывает с ними следующие операции: сначала вычисляет среднее арифметическое первых двух чисел, затем среднее арифметическое полученного результата и третьего числа, затем среднее арифметическое полученного результата и четвёртого числа, затем среднее арифметическое полученного результата и пятого числа, затем среднее арифметическое полученного результата и шестого числа. Полученное в конце число обозначено A.
а) Может ли число A равняться среднему арифметическому начальных шести чисел?
б) Может ли число A быть больше среднего арифметического начальных шести чисел в шесть раз?
в) В какое наибольшее целое число раз число A может быть больше среднего арифметического начальных шести чисел?
а) Может ли число A равняться среднему арифметическому начальных шести чисел?
б) Может ли число A быть больше среднего арифметического начальных шести чисел в шесть раз?
в) В какое наибольшее целое число раз число A может быть больше среднего арифметического начальных шести чисел?
Показать ответ
а) да, например 1, 3, 4, 5, 6, 2
б) нет: A = a₁ + a₂ + 2a₃ + 4a₄ + 8a₅ + 16a₆, делённое на 32, то есть A — взвешенная сумма чисел с весами, не превосходящими 1/2, поэтому A < (a₁ + … + a₆)/2 и A/M < 3 < 6
в) 2; например 1, 3, 2, 4, 5, 18
Решение
Раскроем операции: A = (a1 + a2 + 2a3 + 4a4 + 8a5 + 16a6)/32. Все веса не больше 1/2, а их сумма равна 1.
а) Пример, когда A равно среднему M: 1, 3, 4, 5, 6, 2.
б) Так как каждый вес не больше 1/2, то A ≤ (a1 + … + a6)/2, причём равенство невозможно (у первых чисел веса строго меньше). Значит
A/M = 6A/(a1 + … + a6) < 3,
и A не может быть больше M в 6 раз.
в) Из той же оценки целое отношение не превосходит 2, и оно достигается: 1, 3, 2, 4, 5, 18.
Ответ: 2.
а) Пример, когда A равно среднему M: 1, 3, 4, 5, 6, 2.
б) Так как каждый вес не больше 1/2, то A ≤ (a1 + … + a6)/2, причём равенство невозможно (у первых чисел веса строго меньше). Значит
A/M = 6A/(a1 + … + a6) < 3,
и A не может быть больше M в 6 раз.
в) Из той же оценки целое отношение не превосходит 2, и оно достигается: 1, 3, 2, 4, 5, 18.
Ответ: 2.
Пример 2
Саша берёт пять различных натуральных чисел и проделывает с ними следующие операции: сначала вычисляет среднее арифметическое первых двух чисел, затем среднее арифметическое полученного результата и третьего числа, затем среднее арифметическое полученного результата и четвёртого числа, затем среднее арифметическое полученного результата и пятого числа. Полученное в конце число обозначено A.
а) Может ли число A равняться среднему арифметическому начальных пяти чисел?
б) Может ли число A быть больше среднего арифметического начальных пяти чисел в пять раз?
в) В какое наибольшее целое число раз число A может быть больше среднего арифметического начальных пяти чисел?
а) Может ли число A равняться среднему арифметическому начальных пяти чисел?
б) Может ли число A быть больше среднего арифметического начальных пяти чисел в пять раз?
в) В какое наибольшее целое число раз число A может быть больше среднего арифметического начальных пяти чисел?
Показать ответ
а) да, например 1, 3, 4, 5, 2
б) нет: A = a₁ + a₂ + 2a₃ + 4a₄ + 8a₅, делённое на 16, то есть A — взвешенная сумма чисел с весами, не превосходящими 1/2, поэтому A < (a₁ + … + a₅)/2 и A/M < 2 1/2 < 5
в) 2; например 1, 3, 2, 4, 25
Решение
Раскроем операции: A = (a1 + a2 + 2a3 + 4a4 + 8a5)/16. Все веса не больше 1/2, а их сумма равна 1.
а) Пример, когда A равно среднему M: 1, 3, 4, 5, 2.
б) Так как каждый вес не больше 1/2, то A ≤ (a1 + … + a5)/2, причём равенство невозможно (у первых чисел веса строго меньше). Значит
A/M = 5A/(a1 + … + a5) < 2 1/2,
и A не может быть больше M в 5 раз.
в) Из той же оценки целое отношение не превосходит 2, и оно достигается: 1, 3, 2, 4, 25.
Ответ: 2.
а) Пример, когда A равно среднему M: 1, 3, 4, 5, 2.
б) Так как каждый вес не больше 1/2, то A ≤ (a1 + … + a5)/2, причём равенство невозможно (у первых чисел веса строго меньше). Значит
A/M = 5A/(a1 + … + a5) < 2 1/2,
и A не может быть больше M в 5 раз.
в) Из той же оценки целое отношение не превосходит 2, и оно достигается: 1, 3, 2, 4, 25.
Ответ: 2.
Пример 3
Саша берёт семь различных натуральных чисел и проделывает с ними следующие операции: сначала вычисляет среднее арифметическое первых двух чисел, затем среднее арифметическое полученного результата и третьего числа, затем среднее арифметическое полученного результата и четвёртого числа, затем среднее арифметическое полученного результата и пятого числа, затем среднее арифметическое полученного результата и шестого числа, затем среднее арифметическое полученного результата и седьмого числа. Полученное в конце число обозначено A.
а) Может ли число A равняться среднему арифметическому начальных семи чисел?
б) Может ли число A быть больше среднего арифметического начальных семи чисел в семь раз?
в) В какое наибольшее целое число раз число A может быть больше среднего арифметического начальных семи чисел?
а) Может ли число A равняться среднему арифметическому начальных семи чисел?
б) Может ли число A быть больше среднего арифметического начальных семи чисел в семь раз?
в) В какое наибольшее целое число раз число A может быть больше среднего арифметического начальных семи чисел?
Показать ответ
а) да, например 1, 3, 4, 5, 6, 7, 2
б) нет: A = a₁ + a₂ + 2a₃ + 4a₄ + 8a₅ + 16a₆ + 32a₇, делённое на 64, то есть A — взвешенная сумма чисел с весами, не превосходящими 1/2, поэтому A < (a₁ + … + a₇)/2 и A/M < 3 1/2 < 7
в) 3; например 1, 3, 2, 4, 5, 6, 91
Решение
Раскроем операции: A = (a1 + a2 + 2a3 + 4a4 + 8a5 + 16a6 + 32a7)/64. Все веса не больше 1/2, а их сумма равна 1.
а) Пример, когда A равно среднему M: 1, 3, 4, 5, 6, 7, 2.
б) Так как каждый вес не больше 1/2, то A ≤ (a1 + … + a7)/2, причём равенство невозможно (у первых чисел веса строго меньше). Значит
A/M = 7A/(a1 + … + a7) < 3 1/2,
и A не может быть больше M в 7 раз.
в) Из той же оценки целое отношение не превосходит 3, и оно достигается: 1, 3, 2, 4, 5, 6, 91.
Ответ: 3.
а) Пример, когда A равно среднему M: 1, 3, 4, 5, 6, 7, 2.
б) Так как каждый вес не больше 1/2, то A ≤ (a1 + … + a7)/2, причём равенство невозможно (у первых чисел веса строго меньше). Значит
A/M = 7A/(a1 + … + a7) < 3 1/2,
и A не может быть больше M в 7 раз.
в) Из той же оценки целое отношение не превосходит 3, и оно достигается: 1, 3, 2, 4, 5, 6, 91.
Ответ: 3.
Другие темы задания №20
1Каждый следующий в 10 раз больше или меньше: наибольшее число членов2Сумма соседей — одна из трёх: наименьшее число членов3Вдвое меньше либо больше на D: наименьший максимум4Средние без k-го члена: наибольшее M₃5Возрастающая с шагом ≤ 10: наибольшее среднее всех членов6Член больше среднего соседей: наименьшая сумма при n членах7Концы нулевые: наименьший второй член8Числа 1–4 и степенные суммы S₁…S₄9Целые числа: средние всех / положительных / отрицательных10Средние арифметические набора11Средние арифметические набора12Деление на три группы: наименьшее из наибольших средних
Нужен репетитор по математике?
Посмотрите репетиторов, которые ведут занятия в Precettore, или оставьте заявку — подберём сами.
Готовьтесь к ЕГЭ по профильной математике в Precettore
Варианты с автопроверкой, домашние задания от репетитора, онлайн-доска и разбор ошибок — в одном кабинете. Регистрация бесплатная.