Премии купюрами: наибольшее число сотрудников — задание 20 ЕГЭ по профильной математике
Сюжетные задачи с перебором. 5 примера с ответом и проверкой.
Пример 1
В одном из заданий на конкурсе бухгалтеров требуется выдать премии сотрудникам некоторого отдела на общую сумму 600000 рублей (размер премии каждого сотрудника — целое число, кратное 1000). Бухгалтеру дают распределение премий, и он должен их выдать без сдачи и размена, имея 100 купюр по 1000 рублей и 100 купюр по 5000 рублей.
а) Удастся ли выполнить задание, если в отделе 50 сотрудников и все должны получить поровну?
б) Удастся ли выполнить задание, если ведущему специалисту надо выдать 40000 рублей, а остальное поделить поровну на 70 сотрудников?
в) При каком наибольшем количестве сотрудников в отделе задание удастся выполнить при любом распределении размеров премий?
а) Удастся ли выполнить задание, если в отделе 50 сотрудников и все должны получить поровну?
б) Удастся ли выполнить задание, если ведущему специалисту надо выдать 40000 рублей, а остальное поделить поровну на 70 сотрудников?
в) При каком наибольшем количестве сотрудников в отделе задание удастся выполнить при любом распределении размеров премий?
Показать ответ
а) да: каждый получает по 12000 рублей, и все купюры расходуются — 50 премий — 2 купюры по 5000 и 2 купюры по 1000
б) нет: премия в 8000 рублей требует не менее 3 купюр по 1000 рублей, поэтому на 70 таких премий нужно не менее 210 купюр по 1000 рублей — больше, чем есть (100)
в) 26
Решение
Так как 100·1000 + 100·5000 = 600000 рублей, бухгалтер обязан израсходовать все купюры. Премию в p тысяч можно выдать, взяв m купюр по 1000, где m ≡ p (mod 5); наименьшее такое m равно остатку p при делении на 5. Значит задание выполнимо тогда и только тогда, когда сумма остатков всех премий (при делении на 5) не превосходит 100.
а) Каждая премия равна 12 тыс., её остаток при делении на 5 равен 2, поэтому сумма остатков 100 ≤ 100 и задание выполнимо: 50 премий — 2 купюры по 5000 и 2 купюры по 1000.
б) Премия 8 тыс. имеет остаток 3, поэтому сумма остатков не меньше 210 > 100 — выполнить нельзя.
в) При N премиях сумма остатков не превосходит 4N и сравнима с 600 по модулю 5. При N = 26 она не больше 100 ≤ 100, а при N = 27 существует распределение с суммой остатков 105 > 100 (например 26 премий по 4000 рублей и одна в 496000 рублей).
Ответ: 26.
а) Каждая премия равна 12 тыс., её остаток при делении на 5 равен 2, поэтому сумма остатков 100 ≤ 100 и задание выполнимо: 50 премий — 2 купюры по 5000 и 2 купюры по 1000.
б) Премия 8 тыс. имеет остаток 3, поэтому сумма остатков не меньше 210 > 100 — выполнить нельзя.
в) При N премиях сумма остатков не превосходит 4N и сравнима с 600 по модулю 5. При N = 26 она не больше 100 ≤ 100, а при N = 27 существует распределение с суммой остатков 105 > 100 (например 26 премий по 4000 рублей и одна в 496000 рублей).
Ответ: 26.
Пример 2
В одном из заданий на конкурсе бухгалтеров требуется выдать премии сотрудникам некоторого отдела на общую сумму 600000 рублей (размер премии каждого сотрудника — целое число, кратное 1000). Бухгалтеру дают распределение премий, и он должен их выдать без сдачи и размена, имея 100 купюр по 1000 рублей и 100 купюр по 5000 рублей.
а) Удастся ли выполнить задание, если в отделе 20 сотрудников и все должны получить поровну?
б) Удастся ли выполнить задание, если ведущему специалисту надо выдать 40000 рублей, а остальное поделить поровну на 70 сотрудников?
в) При каком наибольшем количестве сотрудников в отделе задание удастся выполнить при любом распределении размеров премий?
а) Удастся ли выполнить задание, если в отделе 20 сотрудников и все должны получить поровну?
б) Удастся ли выполнить задание, если ведущему специалисту надо выдать 40000 рублей, а остальное поделить поровну на 70 сотрудников?
в) При каком наибольшем количестве сотрудников в отделе задание удастся выполнить при любом распределении размеров премий?
Показать ответ
а) да: каждый получает по 30000 рублей, и все купюры расходуются — 3 премии — 30 купюр по 1000; 1 премия — 4 купюры по 5000 и 10 купюр по 1000; 16 премий — 6 купюр по 5000
б) нет: премия в 8000 рублей требует не менее 3 купюр по 1000 рублей, поэтому на 70 таких премий нужно не менее 210 купюр по 1000 рублей — больше, чем есть (100)
в) 26
Решение
Так как 100·1000 + 100·5000 = 600000 рублей, бухгалтер обязан израсходовать все купюры. Премию в p тысяч можно выдать, взяв m купюр по 1000, где m ≡ p (mod 5); наименьшее такое m равно остатку p при делении на 5. Значит задание выполнимо тогда и только тогда, когда сумма остатков всех премий (при делении на 5) не превосходит 100.
а) Каждая премия равна 30 тыс., её остаток при делении на 5 равен 0, поэтому сумма остатков 0 ≤ 100 и задание выполнимо: 3 премии — 30 купюр по 1000; 1 премия — 4 купюры по 5000 и 10 купюр по 1000; 16 премий — 6 купюр по 5000.
б) Премия 8 тыс. имеет остаток 3, поэтому сумма остатков не меньше 210 > 100 — выполнить нельзя.
в) При N премиях сумма остатков не превосходит 4N и сравнима с 600 по модулю 5. При N = 26 она не больше 100 ≤ 100, а при N = 27 существует распределение с суммой остатков 105 > 100 (например 26 премий по 4000 рублей и одна в 496000 рублей).
Ответ: 26.
а) Каждая премия равна 30 тыс., её остаток при делении на 5 равен 0, поэтому сумма остатков 0 ≤ 100 и задание выполнимо: 3 премии — 30 купюр по 1000; 1 премия — 4 купюры по 5000 и 10 купюр по 1000; 16 премий — 6 купюр по 5000.
б) Премия 8 тыс. имеет остаток 3, поэтому сумма остатков не меньше 210 > 100 — выполнить нельзя.
в) При N премиях сумма остатков не превосходит 4N и сравнима с 600 по модулю 5. При N = 26 она не больше 100 ≤ 100, а при N = 27 существует распределение с суммой остатков 105 > 100 (например 26 премий по 4000 рублей и одна в 496000 рублей).
Ответ: 26.
Пример 3
В одном из заданий на конкурсе бухгалтеров требуется выдать премии сотрудникам некоторого отдела на общую сумму 600000 рублей (размер премии каждого сотрудника — целое число, кратное 1000). Бухгалтеру дают распределение премий, и он должен их выдать без сдачи и размена, имея 100 купюр по 1000 рублей и 100 купюр по 5000 рублей.
а) Удастся ли выполнить задание, если в отделе 40 сотрудников и все должны получить поровну?
б) Удастся ли выполнить задание, если ведущему специалисту надо выдать 40000 рублей, а остальное поделить поровну на 70 сотрудников?
в) При каком наибольшем количестве сотрудников в отделе задание удастся выполнить при любом распределении размеров премий?
а) Удастся ли выполнить задание, если в отделе 40 сотрудников и все должны получить поровну?
б) Удастся ли выполнить задание, если ведущему специалисту надо выдать 40000 рублей, а остальное поделить поровну на 70 сотрудников?
в) При каком наибольшем количестве сотрудников в отделе задание удастся выполнить при любом распределении размеров премий?
Показать ответ
а) да: каждый получает по 15000 рублей, и все купюры расходуются — 6 премий — 15 купюр по 1000; 1 премия — 1 купюра по 5000 и 10 купюр по 1000; 33 премии — 3 купюры по 5000
б) нет: премия в 8000 рублей требует не менее 3 купюр по 1000 рублей, поэтому на 70 таких премий нужно не менее 210 купюр по 1000 рублей — больше, чем есть (100)
в) 26
Решение
Так как 100·1000 + 100·5000 = 600000 рублей, бухгалтер обязан израсходовать все купюры. Премию в p тысяч можно выдать, взяв m купюр по 1000, где m ≡ p (mod 5); наименьшее такое m равно остатку p при делении на 5. Значит задание выполнимо тогда и только тогда, когда сумма остатков всех премий (при делении на 5) не превосходит 100.
а) Каждая премия равна 15 тыс., её остаток при делении на 5 равен 0, поэтому сумма остатков 0 ≤ 100 и задание выполнимо: 6 премий — 15 купюр по 1000; 1 премия — 1 купюра по 5000 и 10 купюр по 1000; 33 премии — 3 купюры по 5000.
б) Премия 8 тыс. имеет остаток 3, поэтому сумма остатков не меньше 210 > 100 — выполнить нельзя.
в) При N премиях сумма остатков не превосходит 4N и сравнима с 600 по модулю 5. При N = 26 она не больше 100 ≤ 100, а при N = 27 существует распределение с суммой остатков 105 > 100 (например 26 премий по 4000 рублей и одна в 496000 рублей).
Ответ: 26.
а) Каждая премия равна 15 тыс., её остаток при делении на 5 равен 0, поэтому сумма остатков 0 ≤ 100 и задание выполнимо: 6 премий — 15 купюр по 1000; 1 премия — 1 купюра по 5000 и 10 купюр по 1000; 33 премии — 3 купюры по 5000.
б) Премия 8 тыс. имеет остаток 3, поэтому сумма остатков не меньше 210 > 100 — выполнить нельзя.
в) При N премиях сумма остатков не превосходит 4N и сравнима с 600 по модулю 5. При N = 26 она не больше 100 ≤ 100, а при N = 27 существует распределение с суммой остатков 105 > 100 (например 26 премий по 4000 рублей и одна в 496000 рублей).
Ответ: 26.
Пример 4
В одном из заданий на конкурсе бухгалтеров требуется выдать премии сотрудникам некоторого отдела на общую сумму 600000 рублей (размер премии каждого сотрудника — целое число, кратное 1000). Бухгалтеру дают распределение премий, и он должен их выдать без сдачи и размена, имея 100 купюр по 1000 рублей и 100 купюр по 5000 рублей.
а) Удастся ли выполнить задание, если в отделе 24 сотрудника и все должны получить поровну?
б) Удастся ли выполнить задание, если ведущему специалисту надо выдать 40000 рублей, а остальное поделить поровну на 70 сотрудников?
в) При каком наибольшем количестве сотрудников в отделе задание удастся выполнить при любом распределении размеров премий?
а) Удастся ли выполнить задание, если в отделе 24 сотрудника и все должны получить поровну?
б) Удастся ли выполнить задание, если ведущему специалисту надо выдать 40000 рублей, а остальное поделить поровну на 70 сотрудников?
в) При каком наибольшем количестве сотрудников в отделе задание удастся выполнить при любом распределении размеров премий?
Показать ответ
а) да: каждый получает по 25000 рублей, и все купюры расходуются — 4 премии — 25 купюр по 1000; 20 премий — 5 купюр по 5000
б) нет: премия в 8000 рублей требует не менее 3 купюр по 1000 рублей, поэтому на 70 таких премий нужно не менее 210 купюр по 1000 рублей — больше, чем есть (100)
в) 26
Решение
Так как 100·1000 + 100·5000 = 600000 рублей, бухгалтер обязан израсходовать все купюры. Премию в p тысяч можно выдать, взяв m купюр по 1000, где m ≡ p (mod 5); наименьшее такое m равно остатку p при делении на 5. Значит задание выполнимо тогда и только тогда, когда сумма остатков всех премий (при делении на 5) не превосходит 100.
а) Каждая премия равна 25 тыс., её остаток при делении на 5 равен 0, поэтому сумма остатков 0 ≤ 100 и задание выполнимо: 4 премии — 25 купюр по 1000; 20 премий — 5 купюр по 5000.
б) Премия 8 тыс. имеет остаток 3, поэтому сумма остатков не меньше 210 > 100 — выполнить нельзя.
в) При N премиях сумма остатков не превосходит 4N и сравнима с 600 по модулю 5. При N = 26 она не больше 100 ≤ 100, а при N = 27 существует распределение с суммой остатков 105 > 100 (например 26 премий по 4000 рублей и одна в 496000 рублей).
Ответ: 26.
а) Каждая премия равна 25 тыс., её остаток при делении на 5 равен 0, поэтому сумма остатков 0 ≤ 100 и задание выполнимо: 4 премии — 25 купюр по 1000; 20 премий — 5 купюр по 5000.
б) Премия 8 тыс. имеет остаток 3, поэтому сумма остатков не меньше 210 > 100 — выполнить нельзя.
в) При N премиях сумма остатков не превосходит 4N и сравнима с 600 по модулю 5. При N = 26 она не больше 100 ≤ 100, а при N = 27 существует распределение с суммой остатков 105 > 100 (например 26 премий по 4000 рублей и одна в 496000 рублей).
Ответ: 26.
Пример 5
В одном из заданий на конкурсе бухгалтеров требуется выдать премии сотрудникам некоторого отдела на общую сумму 600000 рублей (размер премии каждого сотрудника — целое число, кратное 1000). Бухгалтеру дают распределение премий, и он должен их выдать без сдачи и размена, имея 100 купюр по 1000 рублей и 100 купюр по 5000 рублей.
а) Удастся ли выполнить задание, если в отделе 25 сотрудников и все должны получить поровну?
б) Удастся ли выполнить задание, если ведущему специалисту надо выдать 40000 рублей, а остальное поделить поровну на 70 сотрудников?
в) При каком наибольшем количестве сотрудников в отделе задание удастся выполнить при любом распределении размеров премий?
а) Удастся ли выполнить задание, если в отделе 25 сотрудников и все должны получить поровну?
б) Удастся ли выполнить задание, если ведущему специалисту надо выдать 40000 рублей, а остальное поделить поровну на 70 сотрудников?
в) При каком наибольшем количестве сотрудников в отделе задание удастся выполнить при любом распределении размеров премий?
Показать ответ
а) да: каждый получает по 24000 рублей, и все купюры расходуются — 25 премий — 4 купюры по 5000 и 4 купюры по 1000
б) нет: премия в 8000 рублей требует не менее 3 купюр по 1000 рублей, поэтому на 70 таких премий нужно не менее 210 купюр по 1000 рублей — больше, чем есть (100)
в) 26
Решение
Так как 100·1000 + 100·5000 = 600000 рублей, бухгалтер обязан израсходовать все купюры. Премию в p тысяч можно выдать, взяв m купюр по 1000, где m ≡ p (mod 5); наименьшее такое m равно остатку p при делении на 5. Значит задание выполнимо тогда и только тогда, когда сумма остатков всех премий (при делении на 5) не превосходит 100.
а) Каждая премия равна 24 тыс., её остаток при делении на 5 равен 4, поэтому сумма остатков 100 ≤ 100 и задание выполнимо: 25 премий — 4 купюры по 5000 и 4 купюры по 1000.
б) Премия 8 тыс. имеет остаток 3, поэтому сумма остатков не меньше 210 > 100 — выполнить нельзя.
в) При N премиях сумма остатков не превосходит 4N и сравнима с 600 по модулю 5. При N = 26 она не больше 100 ≤ 100, а при N = 27 существует распределение с суммой остатков 105 > 100 (например 26 премий по 4000 рублей и одна в 496000 рублей).
Ответ: 26.
а) Каждая премия равна 24 тыс., её остаток при делении на 5 равен 4, поэтому сумма остатков 100 ≤ 100 и задание выполнимо: 25 премий — 4 купюры по 5000 и 4 купюры по 1000.
б) Премия 8 тыс. имеет остаток 3, поэтому сумма остатков не меньше 210 > 100 — выполнить нельзя.
в) При N премиях сумма остатков не превосходит 4N и сравнима с 600 по модулю 5. При N = 26 она не больше 100 ≤ 100, а при N = 27 существует распределение с суммой остатков 105 > 100 (например 26 премий по 4000 рублей и одна в 496000 рублей).
Ответ: 26.
Другие темы задания №20
1Каждый следующий в 10 раз больше или меньше: наибольшее число членов2Сумма соседей — одна из трёх: наименьшее число членов3Вдвое меньше либо больше на D: наименьший максимум4Средние без k-го члена: наибольшее M₃5Возрастающая с шагом ≤ 10: наибольшее среднее всех членов6Член больше среднего соседей: наименьшая сумма при n членах7Концы нулевые: наименьший второй член8Числа 1–4 и степенные суммы S₁…S₄9Целые числа: средние всех / положительных / отрицательных10Средние арифметические набора11Средние арифметические набора12Деление на три группы: наименьшее из наибольших средних
Нужен репетитор по математике?
Посмотрите репетиторов, которые ведут занятия в Precettore, или оставьте заявку — подберём сами.
Готовьтесь к ЕГЭ по профильной математике в Precettore
Варианты с автопроверкой, домашние задания от репетитора, онлайн-доска и разбор ошибок — в одном кабинете. Регистрация бесплатная.