Прибавили цифру десятков: наибольшее отношение — задание 20 ЕГЭ по профильной математике
Трёхзначное число и сумма его цифр. 5 примера с ответом и проверкой.
Пример 1
С трёхзначным числом производят следующую операцию: к нему прибавляют цифру десятков, умноженную на 10, а затем к получившейся сумме прибавляют 9.
а) Могло ли в результате такой операции получиться число 310?
б) Могло ли в результате такой операции получиться число 820?
в) Найдите наибольшее отношение получившегося числа к исходному.
а) Могло ли в результате такой операции получиться число 310?
б) Могло ли в результате такой операции получиться число 820?
в) Найдите наибольшее отношение получившегося числа к исходному.
Показать ответ
а) да, например из числа 301: 301 + 10·0 + 9 = 310
б) нет: полученное число равно 100a + 20b + c + 9, поэтому 820 − 9 = 811 после вычитания 100a должно давать при делении на 20 остаток не больше 9. При a = 8 остаётся 11, при a = 7 остаётся 111; оба дают остаток 11 > 9, а при меньших a остаётся больше 189 = 20·9 + 9
в) 289/190 (при исходном числе 190: 190 → 289)
Решение
Пусть A = 100a + 10b + c. Полученное число равно B = A + 10b + 9 = 100a + 20b + c + 9.
Отношение B/A = 1 + (10b + 9)/A растёт при увеличении b и убывает при увеличении A, поэтому нужно взять наибольшую цифру десятков b = 9 и наименьшее такое число A = 190.
Тогда B = 190 + 90 + 9 = 289, и наибольшее отношение равно 289/190 = 289/190.
Отношение B/A = 1 + (10b + 9)/A растёт при увеличении b и убывает при увеличении A, поэтому нужно взять наибольшую цифру десятков b = 9 и наименьшее такое число A = 190.
Тогда B = 190 + 90 + 9 = 289, и наибольшее отношение равно 289/190 = 289/190.
Пример 2
С трёхзначным числом производят следующую операцию: к нему прибавляют цифру десятков, умноженную на 10, а затем к получившейся сумме прибавляют 9.
а) Могло ли в результате такой операции получиться число 472?
б) Могло ли в результате такой операции получиться число 721?
в) Найдите наибольшее отношение получившегося числа к исходному.
а) Могло ли в результате такой операции получиться число 472?
б) Могло ли в результате такой операции получиться число 721?
в) Найдите наибольшее отношение получившегося числа к исходному.
Показать ответ
а) да, например из числа 433: 433 + 10·3 + 9 = 472
б) нет: полученное число равно 100a + 20b + c + 9, поэтому 721 − 9 = 712 после вычитания 100a должно давать при делении на 20 остаток не больше 9. При a = 7 остаётся 12, при a = 6 остаётся 112; оба дают остаток 12 > 9, а при меньших a остаётся больше 189 = 20·9 + 9
в) 289/190 (при исходном числе 190: 190 → 289)
Решение
Пусть A = 100a + 10b + c. Полученное число равно B = A + 10b + 9 = 100a + 20b + c + 9.
Отношение B/A = 1 + (10b + 9)/A растёт при увеличении b и убывает при увеличении A, поэтому нужно взять наибольшую цифру десятков b = 9 и наименьшее такое число A = 190.
Тогда B = 190 + 90 + 9 = 289, и наибольшее отношение равно 289/190 = 289/190.
Отношение B/A = 1 + (10b + 9)/A растёт при увеличении b и убывает при увеличении A, поэтому нужно взять наибольшую цифру десятков b = 9 и наименьшее такое число A = 190.
Тогда B = 190 + 90 + 9 = 289, и наибольшее отношение равно 289/190 = 289/190.
Пример 3
С трёхзначным числом производят следующую операцию: к нему прибавляют цифру десятков, умноженную на 10, а затем к получившейся сумме прибавляют 1.
а) Могло ли в результате такой операции получиться число 446?
б) Могло ли в результате такой операции получиться число 312?
в) Найдите наибольшее отношение получившегося числа к исходному.
а) Могло ли в результате такой операции получиться число 446?
б) Могло ли в результате такой операции получиться число 312?
в) Найдите наибольшее отношение получившегося числа к исходному.
Показать ответ
а) да, например из числа 425: 425 + 10·2 + 1 = 446
б) нет: полученное число равно 100a + 20b + c + 1, поэтому 312 − 1 = 311 после вычитания 100a должно давать при делении на 20 остаток не больше 9. При a = 3 остаётся 11, при a = 2 остаётся 111; оба дают остаток 11 > 9, а при меньших a остаётся больше 189 = 20·9 + 9
в) 281/190 (при исходном числе 190: 190 → 281)
Решение
Пусть A = 100a + 10b + c. Полученное число равно B = A + 10b + 1 = 100a + 20b + c + 1.
Отношение B/A = 1 + (10b + 1)/A растёт при увеличении b и убывает при увеличении A, поэтому нужно взять наибольшую цифру десятков b = 9 и наименьшее такое число A = 190.
Тогда B = 190 + 90 + 1 = 281, и наибольшее отношение равно 281/190 = 281/190.
Отношение B/A = 1 + (10b + 1)/A растёт при увеличении b и убывает при увеличении A, поэтому нужно взять наибольшую цифру десятков b = 9 и наименьшее такое число A = 190.
Тогда B = 190 + 90 + 1 = 281, и наибольшее отношение равно 281/190 = 281/190.
Пример 4
С трёхзначным числом производят следующую операцию: к нему прибавляют цифру десятков, умноженную на 10, а затем к получившейся сумме прибавляют 4.
а) Могло ли в результате такой операции получиться число 212?
б) Могло ли в результате такой операции получиться число 415?
в) Найдите наибольшее отношение получившегося числа к исходному.
а) Могло ли в результате такой операции получиться число 212?
б) Могло ли в результате такой операции получиться число 415?
в) Найдите наибольшее отношение получившегося числа к исходному.
Показать ответ
а) да, например из числа 158: 158 + 10·5 + 4 = 212
б) нет: полученное число равно 100a + 20b + c + 4, поэтому 415 − 4 = 411 после вычитания 100a должно давать при делении на 20 остаток не больше 9. При a = 4 остаётся 11, при a = 3 остаётся 111; оба дают остаток 11 > 9, а при меньших a остаётся больше 189 = 20·9 + 9
в) 142/95 (при исходном числе 190: 190 → 284)
Решение
Пусть A = 100a + 10b + c. Полученное число равно B = A + 10b + 4 = 100a + 20b + c + 4.
Отношение B/A = 1 + (10b + 4)/A растёт при увеличении b и убывает при увеличении A, поэтому нужно взять наибольшую цифру десятков b = 9 и наименьшее такое число A = 190.
Тогда B = 190 + 90 + 4 = 284, и наибольшее отношение равно 284/190 = 142/95.
Отношение B/A = 1 + (10b + 4)/A растёт при увеличении b и убывает при увеличении A, поэтому нужно взять наибольшую цифру десятков b = 9 и наименьшее такое число A = 190.
Тогда B = 190 + 90 + 4 = 284, и наибольшее отношение равно 284/190 = 142/95.
Пример 5
С трёхзначным числом производят следующую операцию: к нему прибавляют цифру десятков, умноженную на 10, а затем к получившейся сумме прибавляют 1.
а) Могло ли в результате такой операции получиться число 563?
б) Могло ли в результате такой операции получиться число 512?
в) Найдите наибольшее отношение получившегося числа к исходному.
а) Могло ли в результате такой операции получиться число 563?
б) Могло ли в результате такой операции получиться число 512?
в) Найдите наибольшее отношение получившегося числа к исходному.
Показать ответ
а) да, например из числа 532: 532 + 10·3 + 1 = 563
б) нет: полученное число равно 100a + 20b + c + 1, поэтому 512 − 1 = 511 после вычитания 100a должно давать при делении на 20 остаток не больше 9. При a = 5 остаётся 11, при a = 4 остаётся 111; оба дают остаток 11 > 9, а при меньших a остаётся больше 189 = 20·9 + 9
в) 281/190 (при исходном числе 190: 190 → 281)
Решение
Пусть A = 100a + 10b + c. Полученное число равно B = A + 10b + 1 = 100a + 20b + c + 1.
Отношение B/A = 1 + (10b + 1)/A растёт при увеличении b и убывает при увеличении A, поэтому нужно взять наибольшую цифру десятков b = 9 и наименьшее такое число A = 190.
Тогда B = 190 + 90 + 1 = 281, и наибольшее отношение равно 281/190 = 281/190.
Отношение B/A = 1 + (10b + 1)/A растёт при увеличении b и убывает при увеличении A, поэтому нужно взять наибольшую цифру десятков b = 9 и наименьшее такое число A = 190.
Тогда B = 190 + 90 + 1 = 281, и наибольшее отношение равно 281/190 = 281/190.
Другие темы задания №20
1Каждый следующий в 10 раз больше или меньше: наибольшее число членов2Сумма соседей — одна из трёх: наименьшее число членов3Вдвое меньше либо больше на D: наименьший максимум4Средние без k-го члена: наибольшее M₃5Возрастающая с шагом ≤ 10: наибольшее среднее всех членов6Член больше среднего соседей: наименьшая сумма при n членах7Концы нулевые: наименьший второй член8Числа 1–4 и степенные суммы S₁…S₄9Целые числа: средние всех / положительных / отрицательных10Средние арифметические набора11Средние арифметические набора12Деление на три группы: наименьшее из наибольших средних
Нужен репетитор по математике?
Посмотрите репетиторов, которые ведут занятия в Precettore, или оставьте заявку — подберём сами.
Готовьтесь к ЕГЭ по профильной математике в Precettore
Варианты с автопроверкой, домашние задания от репетитора, онлайн-доска и разбор ошибок — в одном кабинете. Регистрация бесплатная.