Приближение √2 двузначными дробями — задание 20 ЕГЭ по профильной математике
Алгебраическая теория чисел. 5 примера с ответом и проверкой.
Пример 1
Рассматриваются приближения числа √2 обыкновенными дробями.
а) Существуют ли двузначные натуральные числа m и n такие, что |m/n − √2| ≤ 13352?
б) Существуют ли двузначные натуральные числа m и n такие, что |m2/n2 − 2| ≤ 181680?
в) Найдите все возможные значения натурального числа n, при каждом из которых значение выражения |(n + 14)/n − √2| будет наименьшим.
а) Существуют ли двузначные натуральные числа m и n такие, что |m/n − √2| ≤ 13352?
б) Существуют ли двузначные натуральные числа m и n такие, что |m2/n2 − 2| ≤ 181680?
в) Найдите все возможные значения натурального числа n, при каждом из которых значение выражения |(n + 14)/n − √2| будет наименьшим.
Показать ответ
а) да: m = 99, n = 70, так как |99/70 − √2| ≈ 0,00007 ≤ 1/3352
б) нет: число m² − 2n² целое и не равно нулю (иначе √2 = m/n было бы рациональным), поэтому |m²/n² − 2| = |m² − 2n²|/n² ≥ 1/n² ≥ 1/99² = 1/9801 > 1/81680
в) 34
Решение
а) Достаточно предъявить пару: 99/70 = 1,4142857…, а √2 = 1,4142135…, поэтому |99/70 − √2| < 0,0001 ≤ 1/3352.
б) Для натуральных m и n число m2 − 2n2 целое; оно не равно нулю, иначе √2 = m/n было бы рациональным. Значит |m2 − 2n2| ≥ 1 и |m2/n2 − 2| ≥ 1/n2. У двузначного n имеем n ≤ 99, поэтому 1/n2 ≥ 1/9801 > 1/81680 — требуемое неравенство невозможно.
в) |(n + 14)/n − √2| = |14/n − (√2 − 1)|. Функция 14/n убывает, поэтому минимум достигается при n, ближайшем к 14/(√2 − 1) = 14(√2 + 1) ≈ 33.799. Проверка соседних целых даёт n = 34.
б) Для натуральных m и n число m2 − 2n2 целое; оно не равно нулю, иначе √2 = m/n было бы рациональным. Значит |m2 − 2n2| ≥ 1 и |m2/n2 − 2| ≥ 1/n2. У двузначного n имеем n ≤ 99, поэтому 1/n2 ≥ 1/9801 > 1/81680 — требуемое неравенство невозможно.
в) |(n + 14)/n − √2| = |14/n − (√2 − 1)|. Функция 14/n убывает, поэтому минимум достигается при n, ближайшем к 14/(√2 − 1) = 14(√2 + 1) ≈ 33.799. Проверка соседних целых даёт n = 34.
Пример 2
Рассматриваются приближения числа √2 обыкновенными дробями.
а) Существуют ли двузначные натуральные числа m и n такие, что |m/n − √2| ≤ 14191?
б) Существуют ли двузначные натуральные числа m и n такие, что |m2/n2 − 2| ≤ 114024?
в) Найдите все возможные значения натурального числа n, при каждом из которых значение выражения |(n + 12)/n − √2| будет наименьшим.
а) Существуют ли двузначные натуральные числа m и n такие, что |m/n − √2| ≤ 14191?
б) Существуют ли двузначные натуральные числа m и n такие, что |m2/n2 − 2| ≤ 114024?
в) Найдите все возможные значения натурального числа n, при каждом из которых значение выражения |(n + 12)/n − √2| будет наименьшим.
Показать ответ
а) да: m = 99, n = 70, так как |99/70 − √2| ≈ 0,00007 ≤ 1/4191
б) нет: число m² − 2n² целое и не равно нулю (иначе √2 = m/n было бы рациональным), поэтому |m²/n² − 2| = |m² − 2n²|/n² ≥ 1/n² ≥ 1/99² = 1/9801 > 1/14024
в) 29
Решение
а) Достаточно предъявить пару: 99/70 = 1,4142857…, а √2 = 1,4142135…, поэтому |99/70 − √2| < 0,0001 ≤ 1/4191.
б) Для натуральных m и n число m2 − 2n2 целое; оно не равно нулю, иначе √2 = m/n было бы рациональным. Значит |m2 − 2n2| ≥ 1 и |m2/n2 − 2| ≥ 1/n2. У двузначного n имеем n ≤ 99, поэтому 1/n2 ≥ 1/9801 > 1/14024 — требуемое неравенство невозможно.
в) |(n + 12)/n − √2| = |12/n − (√2 − 1)|. Функция 12/n убывает, поэтому минимум достигается при n, ближайшем к 12/(√2 − 1) = 12(√2 + 1) ≈ 28.971. Проверка соседних целых даёт n = 29.
б) Для натуральных m и n число m2 − 2n2 целое; оно не равно нулю, иначе √2 = m/n было бы рациональным. Значит |m2 − 2n2| ≥ 1 и |m2/n2 − 2| ≥ 1/n2. У двузначного n имеем n ≤ 99, поэтому 1/n2 ≥ 1/9801 > 1/14024 — требуемое неравенство невозможно.
в) |(n + 12)/n − √2| = |12/n − (√2 − 1)|. Функция 12/n убывает, поэтому минимум достигается при n, ближайшем к 12/(√2 − 1) = 12(√2 + 1) ≈ 28.971. Проверка соседних целых даёт n = 29.
Пример 3
Рассматриваются приближения числа √2 обыкновенными дробями.
а) Существуют ли двузначные натуральные числа m и n такие, что |m/n − √2| ≤ 11261?
б) Существуют ли двузначные натуральные числа m и n такие, что |m2/n2 − 2| ≤ 183116?
в) Найдите все возможные значения натурального числа n, при каждом из которых значение выражения |(n + 10)/n − √2| будет наименьшим.
а) Существуют ли двузначные натуральные числа m и n такие, что |m/n − √2| ≤ 11261?
б) Существуют ли двузначные натуральные числа m и n такие, что |m2/n2 − 2| ≤ 183116?
в) Найдите все возможные значения натурального числа n, при каждом из которых значение выражения |(n + 10)/n − √2| будет наименьшим.
Показать ответ
а) да: m = 99, n = 70, так как |99/70 − √2| ≈ 0,00007 ≤ 1/1261
б) нет: число m² − 2n² целое и не равно нулю (иначе √2 = m/n было бы рациональным), поэтому |m²/n² − 2| = |m² − 2n²|/n² ≥ 1/n² ≥ 1/99² = 1/9801 > 1/83116
в) 24
Решение
а) Достаточно предъявить пару: 99/70 = 1,4142857…, а √2 = 1,4142135…, поэтому |99/70 − √2| < 0,0001 ≤ 1/1261.
б) Для натуральных m и n число m2 − 2n2 целое; оно не равно нулю, иначе √2 = m/n было бы рациональным. Значит |m2 − 2n2| ≥ 1 и |m2/n2 − 2| ≥ 1/n2. У двузначного n имеем n ≤ 99, поэтому 1/n2 ≥ 1/9801 > 1/83116 — требуемое неравенство невозможно.
в) |(n + 10)/n − √2| = |10/n − (√2 − 1)|. Функция 10/n убывает, поэтому минимум достигается при n, ближайшем к 10/(√2 − 1) = 10(√2 + 1) ≈ 24.142. Проверка соседних целых даёт n = 24.
б) Для натуральных m и n число m2 − 2n2 целое; оно не равно нулю, иначе √2 = m/n было бы рациональным. Значит |m2 − 2n2| ≥ 1 и |m2/n2 − 2| ≥ 1/n2. У двузначного n имеем n ≤ 99, поэтому 1/n2 ≥ 1/9801 > 1/83116 — требуемое неравенство невозможно.
в) |(n + 10)/n − √2| = |10/n − (√2 − 1)|. Функция 10/n убывает, поэтому минимум достигается при n, ближайшем к 10/(√2 − 1) = 10(√2 + 1) ≈ 24.142. Проверка соседних целых даёт n = 24.
Пример 4
Рассматриваются приближения числа √2 обыкновенными дробями.
а) Существуют ли двузначные натуральные числа m и n такие, что |m/n − √2| ≤ 1455?
б) Существуют ли двузначные натуральные числа m и n такие, что |m2/n2 − 2| ≤ 194747?
в) Найдите все возможные значения натурального числа n, при каждом из которых значение выражения |(n + 17)/n − √2| будет наименьшим.
а) Существуют ли двузначные натуральные числа m и n такие, что |m/n − √2| ≤ 1455?
б) Существуют ли двузначные натуральные числа m и n такие, что |m2/n2 − 2| ≤ 194747?
в) Найдите все возможные значения натурального числа n, при каждом из которых значение выражения |(n + 17)/n − √2| будет наименьшим.
Показать ответ
а) да: m = 99, n = 70, так как |99/70 − √2| ≈ 0,00007 ≤ 1/455
б) нет: число m² − 2n² целое и не равно нулю (иначе √2 = m/n было бы рациональным), поэтому |m²/n² − 2| = |m² − 2n²|/n² ≥ 1/n² ≥ 1/99² = 1/9801 > 1/94747
в) 41
Решение
а) Достаточно предъявить пару: 99/70 = 1,4142857…, а √2 = 1,4142135…, поэтому |99/70 − √2| < 0,0001 ≤ 1/455.
б) Для натуральных m и n число m2 − 2n2 целое; оно не равно нулю, иначе √2 = m/n было бы рациональным. Значит |m2 − 2n2| ≥ 1 и |m2/n2 − 2| ≥ 1/n2. У двузначного n имеем n ≤ 99, поэтому 1/n2 ≥ 1/9801 > 1/94747 — требуемое неравенство невозможно.
в) |(n + 17)/n − √2| = |17/n − (√2 − 1)|. Функция 17/n убывает, поэтому минимум достигается при n, ближайшем к 17/(√2 − 1) = 17(√2 + 1) ≈ 41.042. Проверка соседних целых даёт n = 41.
б) Для натуральных m и n число m2 − 2n2 целое; оно не равно нулю, иначе √2 = m/n было бы рациональным. Значит |m2 − 2n2| ≥ 1 и |m2/n2 − 2| ≥ 1/n2. У двузначного n имеем n ≤ 99, поэтому 1/n2 ≥ 1/9801 > 1/94747 — требуемое неравенство невозможно.
в) |(n + 17)/n − √2| = |17/n − (√2 − 1)|. Функция 17/n убывает, поэтому минимум достигается при n, ближайшем к 17/(√2 − 1) = 17(√2 + 1) ≈ 41.042. Проверка соседних целых даёт n = 41.
Пример 5
Рассматриваются приближения числа √2 обыкновенными дробями.
а) Существуют ли двузначные натуральные числа m и n такие, что |m/n − √2| ≤ 11605?
б) Существуют ли двузначные натуральные числа m и n такие, что |m2/n2 − 2| ≤ 110517?
в) Найдите все возможные значения натурального числа n, при каждом из которых значение выражения |(n + 17)/n − √2| будет наименьшим.
а) Существуют ли двузначные натуральные числа m и n такие, что |m/n − √2| ≤ 11605?
б) Существуют ли двузначные натуральные числа m и n такие, что |m2/n2 − 2| ≤ 110517?
в) Найдите все возможные значения натурального числа n, при каждом из которых значение выражения |(n + 17)/n − √2| будет наименьшим.
Показать ответ
а) да: m = 99, n = 70, так как |99/70 − √2| ≈ 0,00007 ≤ 1/1605
б) нет: число m² − 2n² целое и не равно нулю (иначе √2 = m/n было бы рациональным), поэтому |m²/n² − 2| = |m² − 2n²|/n² ≥ 1/n² ≥ 1/99² = 1/9801 > 1/10517
в) 41
Решение
а) Достаточно предъявить пару: 99/70 = 1,4142857…, а √2 = 1,4142135…, поэтому |99/70 − √2| < 0,0001 ≤ 1/1605.
б) Для натуральных m и n число m2 − 2n2 целое; оно не равно нулю, иначе √2 = m/n было бы рациональным. Значит |m2 − 2n2| ≥ 1 и |m2/n2 − 2| ≥ 1/n2. У двузначного n имеем n ≤ 99, поэтому 1/n2 ≥ 1/9801 > 1/10517 — требуемое неравенство невозможно.
в) |(n + 17)/n − √2| = |17/n − (√2 − 1)|. Функция 17/n убывает, поэтому минимум достигается при n, ближайшем к 17/(√2 − 1) = 17(√2 + 1) ≈ 41.042. Проверка соседних целых даёт n = 41.
б) Для натуральных m и n число m2 − 2n2 целое; оно не равно нулю, иначе √2 = m/n было бы рациональным. Значит |m2 − 2n2| ≥ 1 и |m2/n2 − 2| ≥ 1/n2. У двузначного n имеем n ≤ 99, поэтому 1/n2 ≥ 1/9801 > 1/10517 — требуемое неравенство невозможно.
в) |(n + 17)/n − √2| = |17/n − (√2 − 1)|. Функция 17/n убывает, поэтому минимум достигается при n, ближайшем к 17/(√2 − 1) = 17(√2 + 1) ≈ 41.042. Проверка соседних целых даёт n = 41.
Другие темы задания №20
1Каждый следующий в 10 раз больше или меньше: наибольшее число членов2Сумма соседей — одна из трёх: наименьшее число членов3Вдвое меньше либо больше на D: наименьший максимум4Средние без k-го члена: наибольшее M₃5Возрастающая с шагом ≤ 10: наибольшее среднее всех членов6Член больше среднего соседей: наименьшая сумма при n членах7Концы нулевые: наименьший второй член8Числа 1–4 и степенные суммы S₁…S₄9Целые числа: средние всех / положительных / отрицательных10Средние арифметические набора11Средние арифметические набора12Деление на три группы: наименьшее из наибольших средних
Нужен репетитор по математике?
Посмотрите репетиторов, которые ведут занятия в Precettore, или оставьте заявку — подберём сами.
Готовьтесь к ЕГЭ по профильной математике в Precettore
Варианты с автопроверкой, домашние задания от репетитора, онлайн-доска и разбор ошибок — в одном кабинете. Регистрация бесплатная.