Приписал вместо умножения: наибольшее N — задание 20 ЕГЭ по профильной математике
Операции над записью числа. 5 примера с ответом и проверкой.
Пример 1
Максим должен был умножить двузначное число на трёхзначное число (числа с нуля начинаться не могут). Вместо этого он просто приписал трёхзначное число справа к двузначному, получив пятизначное число, которое оказалось в N раз (N — натуральное число) больше правильного результата.
а) Могло ли N равняться 3?
б) Могло ли N равняться 8?
в) Каково наибольшее возможное значение N?
а) Могло ли N равняться 3?
б) Могло ли N равняться 8?
в) Каково наибольшее возможное значение N?
Показать ответ
а) да: 17 и 340 дают 17340 = 3·17·340
б) нет: из 1000a + b = N·a·b следует N = 1000/b + 1/a; чтобы N было целым, число b(Na − 1) должно равняться 1000a, а так как a и Na − 1 взаимно просты, Na − 1 обязано делить 1000. При N = 8 ни одно значение 8a − 1 (при двузначном a) делителем 1000 не является
в) 9; например 14 и 112: 14112 = 9·14·112
Решение
Пусть a — двузначное число, b — трёхзначное. Приписывание даёт 1000a + b, и по условию 1000a + b = N·a·b, откуда
N = 1000/b + 1/a.
Так как b ≥ 100 и a ≥ 10, получаем N ≤ 10 + 0,1, то есть N ≤ 10.
а) При N = 3 подходят a = 17, b = 340.
б) Равенство 1000a + b = 8ab означает b(8a − 1) = 1000a; числа a и 8a − 1 взаимно просты, поэтому 8a − 1 делит 1000. Перебирая двузначные a, убеждаемся, что таких значений нет.
в) Значение N = 10 невозможно (те же рассуждения: 10a − 1 оканчивается на 9 и не делит 1000), а N = 9 достигается: 14 и 112.
Ответ: 9.
N = 1000/b + 1/a.
Так как b ≥ 100 и a ≥ 10, получаем N ≤ 10 + 0,1, то есть N ≤ 10.
а) При N = 3 подходят a = 17, b = 340.
б) Равенство 1000a + b = 8ab означает b(8a − 1) = 1000a; числа a и 8a − 1 взаимно просты, поэтому 8a − 1 делит 1000. Перебирая двузначные a, убеждаемся, что таких значений нет.
в) Значение N = 10 невозможно (те же рассуждения: 10a − 1 оканчивается на 9 и не делит 1000), а N = 9 достигается: 14 и 112.
Ответ: 9.
Пример 2
Максим должен был умножить двузначное число на трёхзначное число (числа с нуля начинаться не могут). Вместо этого он просто приписал трёхзначное число справа к двузначному, получив пятизначное число, которое оказалось в N раз (N — натуральное число) больше правильного результата.
а) Могло ли N равняться 7?
б) Могло ли N равняться 8?
в) Каково наибольшее возможное значение N?
а) Могло ли N равняться 7?
б) Могло ли N равняться 8?
в) Каково наибольшее возможное значение N?
Показать ответ
а) да: 18 и 144 дают 18144 = 7·18·144
б) нет: из 1000a + b = N·a·b следует N = 1000/b + 1/a; чтобы N было целым, число b(Na − 1) должно равняться 1000a, а так как a и Na − 1 взаимно просты, Na − 1 обязано делить 1000. При N = 8 ни одно значение 8a − 1 (при двузначном a) делителем 1000 не является
в) 9; например 14 и 112: 14112 = 9·14·112
Решение
Пусть a — двузначное число, b — трёхзначное. Приписывание даёт 1000a + b, и по условию 1000a + b = N·a·b, откуда
N = 1000/b + 1/a.
Так как b ≥ 100 и a ≥ 10, получаем N ≤ 10 + 0,1, то есть N ≤ 10.
а) При N = 7 подходят a = 18, b = 144.
б) Равенство 1000a + b = 8ab означает b(8a − 1) = 1000a; числа a и 8a − 1 взаимно просты, поэтому 8a − 1 делит 1000. Перебирая двузначные a, убеждаемся, что таких значений нет.
в) Значение N = 10 невозможно (те же рассуждения: 10a − 1 оканчивается на 9 и не делит 1000), а N = 9 достигается: 14 и 112.
Ответ: 9.
N = 1000/b + 1/a.
Так как b ≥ 100 и a ≥ 10, получаем N ≤ 10 + 0,1, то есть N ≤ 10.
а) При N = 7 подходят a = 18, b = 144.
б) Равенство 1000a + b = 8ab означает b(8a − 1) = 1000a; числа a и 8a − 1 взаимно просты, поэтому 8a − 1 делит 1000. Перебирая двузначные a, убеждаемся, что таких значений нет.
в) Значение N = 10 невозможно (те же рассуждения: 10a − 1 оканчивается на 9 и не делит 1000), а N = 9 достигается: 14 и 112.
Ответ: 9.
Пример 3
Максим должен был умножить двузначное число на трёхзначное число (числа с нуля начинаться не могут). Вместо этого он просто приписал трёхзначное число справа к двузначному, получив пятизначное число, которое оказалось в N раз (N — натуральное число) больше правильного результата.
а) Могло ли N равняться 2?
б) Могло ли N равняться 12?
в) Каково наибольшее возможное значение N?
а) Могло ли N равняться 2?
б) Могло ли N равняться 12?
в) Каково наибольшее возможное значение N?
Показать ответ
а) да: 13 и 520 дают 13520 = 2·13·520
б) нет: из 1000a + b = N·a·b следует N = 1000/b + 1/a; чтобы N было целым, число b(Na − 1) должно равняться 1000a, а так как a и Na − 1 взаимно просты, Na − 1 обязано делить 1000. При N = 12 ни одно значение 12a − 1 (при двузначном a) делителем 1000 не является
в) 9; например 14 и 112: 14112 = 9·14·112
Решение
Пусть a — двузначное число, b — трёхзначное. Приписывание даёт 1000a + b, и по условию 1000a + b = N·a·b, откуда
N = 1000/b + 1/a.
Так как b ≥ 100 и a ≥ 10, получаем N ≤ 10 + 0,1, то есть N ≤ 10.
а) При N = 2 подходят a = 13, b = 520.
б) Равенство 1000a + b = 12ab означает b(12a − 1) = 1000a; числа a и 12a − 1 взаимно просты, поэтому 12a − 1 делит 1000. Перебирая двузначные a, убеждаемся, что таких значений нет.
в) Значение N = 10 невозможно (те же рассуждения: 10a − 1 оканчивается на 9 и не делит 1000), а N = 9 достигается: 14 и 112.
Ответ: 9.
N = 1000/b + 1/a.
Так как b ≥ 100 и a ≥ 10, получаем N ≤ 10 + 0,1, то есть N ≤ 10.
а) При N = 2 подходят a = 13, b = 520.
б) Равенство 1000a + b = 12ab означает b(12a − 1) = 1000a; числа a и 12a − 1 взаимно просты, поэтому 12a − 1 делит 1000. Перебирая двузначные a, убеждаемся, что таких значений нет.
в) Значение N = 10 невозможно (те же рассуждения: 10a − 1 оканчивается на 9 и не делит 1000), а N = 9 достигается: 14 и 112.
Ответ: 9.
Пример 4
Максим должен был умножить двузначное число на трёхзначное число (числа с нуля начинаться не могут). Вместо этого он просто приписал трёхзначное число справа к двузначному, получив пятизначное число, которое оказалось в N раз (N — натуральное число) больше правильного результата.
а) Могло ли N равняться 3?
б) Могло ли N равняться 11?
в) Каково наибольшее возможное значение N?
а) Могло ли N равняться 3?
б) Могло ли N равняться 11?
в) Каково наибольшее возможное значение N?
Показать ответ
а) да: 17 и 340 дают 17340 = 3·17·340
б) нет: из 1000a + b = N·a·b следует N = 1000/b + 1/a; чтобы N было целым, число b(Na − 1) должно равняться 1000a, а так как a и Na − 1 взаимно просты, Na − 1 обязано делить 1000. При N = 11 ни одно значение 11a − 1 (при двузначном a) делителем 1000 не является
в) 9; например 14 и 112: 14112 = 9·14·112
Решение
Пусть a — двузначное число, b — трёхзначное. Приписывание даёт 1000a + b, и по условию 1000a + b = N·a·b, откуда
N = 1000/b + 1/a.
Так как b ≥ 100 и a ≥ 10, получаем N ≤ 10 + 0,1, то есть N ≤ 10.
а) При N = 3 подходят a = 17, b = 340.
б) Равенство 1000a + b = 11ab означает b(11a − 1) = 1000a; числа a и 11a − 1 взаимно просты, поэтому 11a − 1 делит 1000. Перебирая двузначные a, убеждаемся, что таких значений нет.
в) Значение N = 10 невозможно (те же рассуждения: 10a − 1 оканчивается на 9 и не делит 1000), а N = 9 достигается: 14 и 112.
Ответ: 9.
N = 1000/b + 1/a.
Так как b ≥ 100 и a ≥ 10, получаем N ≤ 10 + 0,1, то есть N ≤ 10.
а) При N = 3 подходят a = 17, b = 340.
б) Равенство 1000a + b = 11ab означает b(11a − 1) = 1000a; числа a и 11a − 1 взаимно просты, поэтому 11a − 1 делит 1000. Перебирая двузначные a, убеждаемся, что таких значений нет.
в) Значение N = 10 невозможно (те же рассуждения: 10a − 1 оканчивается на 9 и не делит 1000), а N = 9 достигается: 14 и 112.
Ответ: 9.
Пример 5
Максим должен был умножить двузначное число на трёхзначное число (числа с нуля начинаться не могут). Вместо этого он просто приписал трёхзначное число справа к двузначному, получив пятизначное число, которое оказалось в N раз (N — натуральное число) больше правильного результата.
а) Могло ли N равняться 3?
б) Могло ли N равняться 4?
в) Каково наибольшее возможное значение N?
а) Могло ли N равняться 3?
б) Могло ли N равняться 4?
в) Каково наибольшее возможное значение N?
Показать ответ
а) да: 17 и 340 дают 17340 = 3·17·340
б) нет: из 1000a + b = N·a·b следует N = 1000/b + 1/a; чтобы N было целым, число b(Na − 1) должно равняться 1000a, а так как a и Na − 1 взаимно просты, Na − 1 обязано делить 1000. При N = 4 ни одно значение 4a − 1 (при двузначном a) делителем 1000 не является
в) 9; например 14 и 112: 14112 = 9·14·112
Решение
Пусть a — двузначное число, b — трёхзначное. Приписывание даёт 1000a + b, и по условию 1000a + b = N·a·b, откуда
N = 1000/b + 1/a.
Так как b ≥ 100 и a ≥ 10, получаем N ≤ 10 + 0,1, то есть N ≤ 10.
а) При N = 3 подходят a = 17, b = 340.
б) Равенство 1000a + b = 4ab означает b(4a − 1) = 1000a; числа a и 4a − 1 взаимно просты, поэтому 4a − 1 делит 1000. Перебирая двузначные a, убеждаемся, что таких значений нет.
в) Значение N = 10 невозможно (те же рассуждения: 10a − 1 оканчивается на 9 и не делит 1000), а N = 9 достигается: 14 и 112.
Ответ: 9.
N = 1000/b + 1/a.
Так как b ≥ 100 и a ≥ 10, получаем N ≤ 10 + 0,1, то есть N ≤ 10.
а) При N = 3 подходят a = 17, b = 340.
б) Равенство 1000a + b = 4ab означает b(4a − 1) = 1000a; числа a и 4a − 1 взаимно просты, поэтому 4a − 1 делит 1000. Перебирая двузначные a, убеждаемся, что таких значений нет.
в) Значение N = 10 невозможно (те же рассуждения: 10a − 1 оканчивается на 9 и не делит 1000), а N = 9 достигается: 14 и 112.
Ответ: 9.
Другие темы задания №20
1Каждый следующий в 10 раз больше или меньше: наибольшее число членов2Сумма соседей — одна из трёх: наименьшее число членов3Вдвое меньше либо больше на D: наименьший максимум4Средние без k-го члена: наибольшее M₃5Возрастающая с шагом ≤ 10: наибольшее среднее всех членов6Член больше среднего соседей: наименьшая сумма при n членах7Концы нулевые: наименьший второй член8Числа 1–4 и степенные суммы S₁…S₄9Целые числа: средние всех / положительных / отрицательных10Средние арифметические набора11Средние арифметические набора12Деление на три группы: наименьшее из наибольших средних
Нужен репетитор по математике?
Посмотрите репетиторов, которые ведут занятия в Precettore, или оставьте заявку — подберём сами.
Готовьтесь к ЕГЭ по профильной математике в Precettore
Варианты с автопроверкой, домашние задания от репетитора, онлайн-доска и разбор ошибок — в одном кабинете. Регистрация бесплатная.