Приписали цифры к двум группам: наибольший рост суммы — задание 20 ЕГЭ по профильной математике
Операции над записью числа. 5 примера с ответом и проверкой.
Пример 1
На доске было написано несколько различных натуральных чисел. Эти числа разбили на три группы, в каждой из которых оказалось хотя бы одно число. К каждому числу из первой группы приписали справа цифру 1, к каждому числу из второй группы — цифру 8, а числа из третьей группы оставили без изменений.
а) Могла ли сумма всех этих чисел увеличиться в 4 раз?
б) Могла ли сумма всех этих чисел увеличиться в 15 раз?
в) В какое наибольшее число раз могла увеличиться сумма всех этих чисел?
а) Могла ли сумма всех этих чисел увеличиться в 4 раз?
б) Могла ли сумма всех этих чисел увеличиться в 15 раз?
в) В какое наибольшее число раз могла увеличиться сумма всех этих чисел?
Показать ответ
а) да, например первая группа — 4, вторая — 5, третья — 6, 7, 8
б) нет: приписывание цифры превращает число x в 10x + цифра, поэтому новая сумма равна 10S + p + 8q − 9C, где S — исходная сумма, p и q — количества чисел в первых двух группах, C — сумма третьей группы. Значит увеличение равно 10 + (p + 8q − 9C)/S, а перебор показывает, что больше 11 оно быть не может
в) 11; например первая группа — 2, вторая — 3, 5, 6, 7, третья — 1
Решение
Приписывание цифры d к числу x даёт 10x + d. Пусть в первой группе p чисел, во второй q, сумма третьей группы равна C, а исходная сумма всех чисел равна S. Тогда новая сумма равна
10S + p + 8q − 9C,
и увеличение составляет k = 10 + (p + 8q − 9C)/S.
а) Пример увеличения в 4 раз: первая группа — 4, вторая — 5, третья — 6, 7, 8.
б) Чтобы k было большим, нужна маленькая третья группа и много чисел в первых двух, но каждое новое число увеличивает S; перебор наборов показывает, что максимум равен 11, поэтому 15 невозможно.
в) Наибольшее значение 11 достигается: первая группа — 2, вторая — 3, 5, 6, 7, третья — 1.
Ответ: 11.
10S + p + 8q − 9C,
и увеличение составляет k = 10 + (p + 8q − 9C)/S.
а) Пример увеличения в 4 раз: первая группа — 4, вторая — 5, третья — 6, 7, 8.
б) Чтобы k было большим, нужна маленькая третья группа и много чисел в первых двух, но каждое новое число увеличивает S; перебор наборов показывает, что максимум равен 11, поэтому 15 невозможно.
в) Наибольшее значение 11 достигается: первая группа — 2, вторая — 3, 5, 6, 7, третья — 1.
Ответ: 11.
Пример 2
На доске было написано несколько различных натуральных чисел. Эти числа разбили на три группы, в каждой из которых оказалось хотя бы одно число. К каждому числу из первой группы приписали справа цифру 2, к каждому числу из второй группы — цифру 9, а числа из третьей группы оставили без изменений.
а) Могла ли сумма всех этих чисел увеличиться в 4 раз?
б) Могла ли сумма всех этих чисел увеличиться в 16 раз?
в) В какое наибольшее число раз могла увеличиться сумма всех этих чисел?
а) Могла ли сумма всех этих чисел увеличиться в 4 раз?
б) Могла ли сумма всех этих чисел увеличиться в 16 раз?
в) В какое наибольшее число раз могла увеличиться сумма всех этих чисел?
Показать ответ
а) да, например первая группа — 1, 2, 3, вторая — 6, третья — 5, 7, 8, 9
б) нет: приписывание цифры превращает число x в 10x + цифра, поэтому новая сумма равна 10S + 2p + 9q − 9C, где S — исходная сумма, p и q — количества чисел в первых двух группах, C — сумма третьей группы. Значит увеличение равно 10 + (2p + 9q − 9C)/S, а перебор показывает, что больше 11 оно быть не может
в) 11; например первая группа — 1, вторая — 3, 4, 5, 6, 8, третья — 2
Решение
Приписывание цифры d к числу x даёт 10x + d. Пусть в первой группе p чисел, во второй q, сумма третьей группы равна C, а исходная сумма всех чисел равна S. Тогда новая сумма равна
10S + 2p + 9q − 9C,
и увеличение составляет k = 10 + (2p + 9q − 9C)/S.
а) Пример увеличения в 4 раз: первая группа — 1, 2, 3, вторая — 6, третья — 5, 7, 8, 9.
б) Чтобы k было большим, нужна маленькая третья группа и много чисел в первых двух, но каждое новое число увеличивает S; перебор наборов показывает, что максимум равен 11, поэтому 16 невозможно.
в) Наибольшее значение 11 достигается: первая группа — 1, вторая — 3, 4, 5, 6, 8, третья — 2.
Ответ: 11.
10S + 2p + 9q − 9C,
и увеличение составляет k = 10 + (2p + 9q − 9C)/S.
а) Пример увеличения в 4 раз: первая группа — 1, 2, 3, вторая — 6, третья — 5, 7, 8, 9.
б) Чтобы k было большим, нужна маленькая третья группа и много чисел в первых двух, но каждое новое число увеличивает S; перебор наборов показывает, что максимум равен 11, поэтому 16 невозможно.
в) Наибольшее значение 11 достигается: первая группа — 1, вторая — 3, 4, 5, 6, 8, третья — 2.
Ответ: 11.
Пример 3
На доске было написано несколько различных натуральных чисел. Эти числа разбили на три группы, в каждой из которых оказалось хотя бы одно число. К каждому числу из первой группы приписали справа цифру 3, к каждому числу из второй группы — цифру 7, а числа из третьей группы оставили без изменений.
а) Могла ли сумма всех этих чисел увеличиться в 7 раз?
б) Могла ли сумма всех этих чисел увеличиться в 15 раз?
в) В какое наибольшее число раз могла увеличиться сумма всех этих чисел?
а) Могла ли сумма всех этих чисел увеличиться в 7 раз?
б) Могла ли сумма всех этих чисел увеличиться в 15 раз?
в) В какое наибольшее число раз могла увеличиться сумма всех этих чисел?
Показать ответ
а) да, например первая группа — 3, 4, вторая — 5, 6, 7, третья — 8, 9
б) нет: приписывание цифры превращает число x в 10x + цифра, поэтому новая сумма равна 10S + 3p + 7q − 9C, где S — исходная сумма, p и q — количества чисел в первых двух группах, C — сумма третьей группы. Значит увеличение равно 10 + (3p + 7q − 9C)/S, а перебор показывает, что больше 11 оно быть не может
в) 11; например первая группа — 2, вторая — 3, 4, 5, третья — 1
Решение
Приписывание цифры d к числу x даёт 10x + d. Пусть в первой группе p чисел, во второй q, сумма третьей группы равна C, а исходная сумма всех чисел равна S. Тогда новая сумма равна
10S + 3p + 7q − 9C,
и увеличение составляет k = 10 + (3p + 7q − 9C)/S.
а) Пример увеличения в 7 раз: первая группа — 3, 4, вторая — 5, 6, 7, третья — 8, 9.
б) Чтобы k было большим, нужна маленькая третья группа и много чисел в первых двух, но каждое новое число увеличивает S; перебор наборов показывает, что максимум равен 11, поэтому 15 невозможно.
в) Наибольшее значение 11 достигается: первая группа — 2, вторая — 3, 4, 5, третья — 1.
Ответ: 11.
10S + 3p + 7q − 9C,
и увеличение составляет k = 10 + (3p + 7q − 9C)/S.
а) Пример увеличения в 7 раз: первая группа — 3, 4, вторая — 5, 6, 7, третья — 8, 9.
б) Чтобы k было большим, нужна маленькая третья группа и много чисел в первых двух, но каждое новое число увеличивает S; перебор наборов показывает, что максимум равен 11, поэтому 15 невозможно.
в) Наибольшее значение 11 достигается: первая группа — 2, вторая — 3, 4, 5, третья — 1.
Ответ: 11.
Пример 4
На доске было написано несколько различных натуральных чисел. Эти числа разбили на три группы, в каждой из которых оказалось хотя бы одно число. К каждому числу из первой группы приписали справа цифру 1, к каждому числу из второй группы — цифру 8, а числа из третьей группы оставили без изменений.
а) Могла ли сумма всех этих чисел увеличиться в 8 раз?
б) Могла ли сумма всех этих чисел увеличиться в 14 раз?
в) В какое наибольшее число раз могла увеличиться сумма всех этих чисел?
а) Могла ли сумма всех этих чисел увеличиться в 8 раз?
б) Могла ли сумма всех этих чисел увеличиться в 14 раз?
в) В какое наибольшее число раз могла увеличиться сумма всех этих чисел?
Показать ответ
а) да, например первая группа — 5, 6, 7, вторая — 8, третья — 9
б) нет: приписывание цифры превращает число x в 10x + цифра, поэтому новая сумма равна 10S + p + 8q − 9C, где S — исходная сумма, p и q — количества чисел в первых двух группах, C — сумма третьей группы. Значит увеличение равно 10 + (p + 8q − 9C)/S, а перебор показывает, что больше 11 оно быть не может
в) 11; например первая группа — 2, вторая — 3, 5, 6, 7, третья — 1
Решение
Приписывание цифры d к числу x даёт 10x + d. Пусть в первой группе p чисел, во второй q, сумма третьей группы равна C, а исходная сумма всех чисел равна S. Тогда новая сумма равна
10S + p + 8q − 9C,
и увеличение составляет k = 10 + (p + 8q − 9C)/S.
а) Пример увеличения в 8 раз: первая группа — 5, 6, 7, вторая — 8, третья — 9.
б) Чтобы k было большим, нужна маленькая третья группа и много чисел в первых двух, но каждое новое число увеличивает S; перебор наборов показывает, что максимум равен 11, поэтому 14 невозможно.
в) Наибольшее значение 11 достигается: первая группа — 2, вторая — 3, 5, 6, 7, третья — 1.
Ответ: 11.
10S + p + 8q − 9C,
и увеличение составляет k = 10 + (p + 8q − 9C)/S.
а) Пример увеличения в 8 раз: первая группа — 5, 6, 7, вторая — 8, третья — 9.
б) Чтобы k было большим, нужна маленькая третья группа и много чисел в первых двух, но каждое новое число увеличивает S; перебор наборов показывает, что максимум равен 11, поэтому 14 невозможно.
в) Наибольшее значение 11 достигается: первая группа — 2, вторая — 3, 5, 6, 7, третья — 1.
Ответ: 11.
Пример 5
На доске было написано несколько различных натуральных чисел. Эти числа разбили на три группы, в каждой из которых оказалось хотя бы одно число. К каждому числу из первой группы приписали справа цифру 3, к каждому числу из второй группы — цифру 7, а числа из третьей группы оставили без изменений.
а) Могла ли сумма всех этих чисел увеличиться в 6 раз?
б) Могла ли сумма всех этих чисел увеличиться в 17 раз?
в) В какое наибольшее число раз могла увеличиться сумма всех этих чисел?
а) Могла ли сумма всех этих чисел увеличиться в 6 раз?
б) Могла ли сумма всех этих чисел увеличиться в 17 раз?
в) В какое наибольшее число раз могла увеличиться сумма всех этих чисел?
Показать ответ
а) да, например первая группа — 5, 6, вторая — 7, третья — 8, 9
б) нет: приписывание цифры превращает число x в 10x + цифра, поэтому новая сумма равна 10S + 3p + 7q − 9C, где S — исходная сумма, p и q — количества чисел в первых двух группах, C — сумма третьей группы. Значит увеличение равно 10 + (3p + 7q − 9C)/S, а перебор показывает, что больше 11 оно быть не может
в) 11; например первая группа — 2, вторая — 3, 4, 5, третья — 1
Решение
Приписывание цифры d к числу x даёт 10x + d. Пусть в первой группе p чисел, во второй q, сумма третьей группы равна C, а исходная сумма всех чисел равна S. Тогда новая сумма равна
10S + 3p + 7q − 9C,
и увеличение составляет k = 10 + (3p + 7q − 9C)/S.
а) Пример увеличения в 6 раз: первая группа — 5, 6, вторая — 7, третья — 8, 9.
б) Чтобы k было большим, нужна маленькая третья группа и много чисел в первых двух, но каждое новое число увеличивает S; перебор наборов показывает, что максимум равен 11, поэтому 17 невозможно.
в) Наибольшее значение 11 достигается: первая группа — 2, вторая — 3, 4, 5, третья — 1.
Ответ: 11.
10S + 3p + 7q − 9C,
и увеличение составляет k = 10 + (3p + 7q − 9C)/S.
а) Пример увеличения в 6 раз: первая группа — 5, 6, вторая — 7, третья — 8, 9.
б) Чтобы k было большим, нужна маленькая третья группа и много чисел в первых двух, но каждое новое число увеличивает S; перебор наборов показывает, что максимум равен 11, поэтому 17 невозможно.
в) Наибольшее значение 11 достигается: первая группа — 2, вторая — 3, 4, 5, третья — 1.
Ответ: 11.
Другие темы задания №20
1Каждый следующий в 10 раз больше или меньше: наибольшее число членов2Сумма соседей — одна из трёх: наименьшее число членов3Вдвое меньше либо больше на D: наименьший максимум4Средние без k-го члена: наибольшее M₃5Возрастающая с шагом ≤ 10: наибольшее среднее всех членов6Член больше среднего соседей: наименьшая сумма при n членах7Концы нулевые: наименьший второй член8Числа 1–4 и степенные суммы S₁…S₄9Целые числа: средние всех / положительных / отрицательных10Средние арифметические набора11Средние арифметические набора12Деление на три группы: наименьшее из наибольших средних
Нужен репетитор по математике?
Посмотрите репетиторов, которые ведут занятия в Precettore, или оставьте заявку — подберём сами.
Готовьтесь к ЕГЭ по профильной математике в Precettore
Варианты с автопроверкой, домашние задания от репетитора, онлайн-доска и разбор ошибок — в одном кабинете. Регистрация бесплатная.