Произведение любых двух в промежутке: наибольшая сумма — задание 20 ЕГЭ по профильной математике
Доска: ограничение на попарные произведения. 5 примера с ответом и проверкой.
Пример 1
На доске написано несколько различных натуральных чисел, произведение любых двух из которых больше 68 и меньше 136.
а) Может ли на доске быть 5 чисел?
б) Может ли на доске быть 6 чисел?
в) Какое наибольшее значение может принимать сумма чисел на доске, если их четыре?
а) Может ли на доске быть 5 чисел?
б) Может ли на доске быть 6 чисел?
в) Какое наибольшее значение может принимать сумма чисел на доске, если их четыре?
Показать ответ
а) да, например 8, 9, 10, 11 и 12
б) нет: из a₁ < a₂ и a₁a₂ > 68 следует a₂(a₂ − 1) > 68, то есть второе по величине число не меньше 9; тогда при шести числах два наибольших не меньше 12 и 13, а их произведение не меньше 156 > 136
в) 42; достигается на наборе 9, 10, 11 и 12; больше нельзя — произведение двух наибольших меньше 136, а два младших не превосходят 10 и 9
Решение
Пусть числа набора a1 < a2 < … < a_k. Условие «произведение любых двух больше 68» равносильно a1a2 > 68, а «меньше 136» — условию a_{k−1}a_k < 136: остальные пары зажаты между этими двумя.
Из a1 ≤ a2 − 1 следует a2(a2 − 1) > 68, то есть a2 ≥ 9. Плотный набор {a1, a2, a2+1, …, a2+k−2} — самый выгодный, поэтому k чисел существует ровно тогда, когда (a2 + k − 3)(a2 + k − 2) < 136.
Для k = 5 это 132 < 136 — верно; для k = 6 это 156 < 136 — неверно.
Для наибольшей суммы два младших числа выгодно взять максимальными: a1 = a3 − 2, a2 = a3 − 1, а затем максимизировать a4 при a3a4 < 136. Максимум 42 даёт набор 9, 10, 11 и 12.
Из a1 ≤ a2 − 1 следует a2(a2 − 1) > 68, то есть a2 ≥ 9. Плотный набор {a1, a2, a2+1, …, a2+k−2} — самый выгодный, поэтому k чисел существует ровно тогда, когда (a2 + k − 3)(a2 + k − 2) < 136.
Для k = 5 это 132 < 136 — верно; для k = 6 это 156 < 136 — неверно.
Для наибольшей суммы два младших числа выгодно взять максимальными: a1 = a3 − 2, a2 = a3 − 1, а затем максимизировать a4 при a3a4 < 136. Максимум 42 даёт набор 9, 10, 11 и 12.
Пример 2
На доске написано несколько различных натуральных чисел, произведение любых двух из которых больше 69 и меньше 154.
а) Может ли на доске быть 5 чисел?
б) Может ли на доске быть 6 чисел?
в) Какое наибольшее значение может принимать сумма чисел на доске, если их четыре?
а) Может ли на доске быть 5 чисел?
б) Может ли на доске быть 6 чисел?
в) Какое наибольшее значение может принимать сумма чисел на доске, если их четыре?
Показать ответ
а) да, например 8, 9, 10, 11 и 12
б) нет: из a₁ < a₂ и a₁a₂ > 69 следует a₂(a₂ − 1) > 69, то есть второе по величине число не меньше 9; тогда при шести числах два наибольших не меньше 12 и 13, а их произведение не меньше 156 > 154
в) 43; достигается на наборе 9, 10, 11 и 13; больше нельзя — произведение двух наибольших меньше 154, а два младших не превосходят 10 и 9
Решение
Пусть числа набора a1 < a2 < … < a_k. Условие «произведение любых двух больше 69» равносильно a1a2 > 69, а «меньше 154» — условию a_{k−1}a_k < 154: остальные пары зажаты между этими двумя.
Из a1 ≤ a2 − 1 следует a2(a2 − 1) > 69, то есть a2 ≥ 9. Плотный набор {a1, a2, a2+1, …, a2+k−2} — самый выгодный, поэтому k чисел существует ровно тогда, когда (a2 + k − 3)(a2 + k − 2) < 154.
Для k = 5 это 132 < 154 — верно; для k = 6 это 156 < 154 — неверно.
Для наибольшей суммы два младших числа выгодно взять максимальными: a1 = a3 − 2, a2 = a3 − 1, а затем максимизировать a4 при a3a4 < 154. Максимум 43 даёт набор 9, 10, 11 и 13.
Из a1 ≤ a2 − 1 следует a2(a2 − 1) > 69, то есть a2 ≥ 9. Плотный набор {a1, a2, a2+1, …, a2+k−2} — самый выгодный, поэтому k чисел существует ровно тогда, когда (a2 + k − 3)(a2 + k − 2) < 154.
Для k = 5 это 132 < 154 — верно; для k = 6 это 156 < 154 — неверно.
Для наибольшей суммы два младших числа выгодно взять максимальными: a1 = a3 − 2, a2 = a3 − 1, а затем максимизировать a4 при a3a4 < 154. Максимум 43 даёт набор 9, 10, 11 и 13.
Пример 3
На доске написано несколько различных натуральных чисел, произведение любых двух из которых больше 51 и меньше 129.
а) Может ли на доске быть 5 чисел?
б) Может ли на доске быть 6 чисел?
в) Какое наибольшее значение может принимать сумма чисел на доске, если их четыре?
а) Может ли на доске быть 5 чисел?
б) Может ли на доске быть 6 чисел?
в) Какое наибольшее значение может принимать сумма чисел на доске, если их четыре?
Показать ответ
а) да, например 7, 8, 9, 10 и 11
б) нет: из a₁ < a₂ и a₁a₂ > 51 следует a₂(a₂ − 1) > 51, то есть второе по величине число не меньше 8; тогда при шести числах два наибольших не меньше 11 и 12, а их произведение не меньше 132 > 129
в) 39; достигается на наборе 8, 9, 10 и 12; больше нельзя — произведение двух наибольших меньше 129, а два младших не превосходят 9 и 8
Решение
Пусть числа набора a1 < a2 < … < a_k. Условие «произведение любых двух больше 51» равносильно a1a2 > 51, а «меньше 129» — условию a_{k−1}a_k < 129: остальные пары зажаты между этими двумя.
Из a1 ≤ a2 − 1 следует a2(a2 − 1) > 51, то есть a2 ≥ 8. Плотный набор {a1, a2, a2+1, …, a2+k−2} — самый выгодный, поэтому k чисел существует ровно тогда, когда (a2 + k − 3)(a2 + k − 2) < 129.
Для k = 5 это 110 < 129 — верно; для k = 6 это 132 < 129 — неверно.
Для наибольшей суммы два младших числа выгодно взять максимальными: a1 = a3 − 2, a2 = a3 − 1, а затем максимизировать a4 при a3a4 < 129. Максимум 39 даёт набор 8, 9, 10 и 12.
Из a1 ≤ a2 − 1 следует a2(a2 − 1) > 51, то есть a2 ≥ 8. Плотный набор {a1, a2, a2+1, …, a2+k−2} — самый выгодный, поэтому k чисел существует ровно тогда, когда (a2 + k − 3)(a2 + k − 2) < 129.
Для k = 5 это 110 < 129 — верно; для k = 6 это 132 < 129 — неверно.
Для наибольшей суммы два младших числа выгодно взять максимальными: a1 = a3 − 2, a2 = a3 − 1, а затем максимизировать a4 при a3a4 < 129. Максимум 39 даёт набор 8, 9, 10 и 12.
Пример 4
На доске написано несколько различных натуральных чисел, произведение любых двух из которых больше 123 и меньше 224.
а) Может ли на доске быть 5 чисел?
б) Может ли на доске быть 6 чисел?
в) Какое наибольшее значение может принимать сумма чисел на доске, если их четыре?
а) Может ли на доске быть 5 чисел?
б) Может ли на доске быть 6 чисел?
в) Какое наибольшее значение может принимать сумма чисел на доске, если их четыре?
Показать ответ
а) да, например 11, 12, 13, 14 и 15
б) нет: из a₁ < a₂ и a₁a₂ > 123 следует a₂(a₂ − 1) > 123, то есть второе по величине число не меньше 12; тогда при шести числах два наибольших не меньше 15 и 16, а их произведение не меньше 240 > 224
в) 54; достигается на наборе 12, 13, 14 и 15; больше нельзя — произведение двух наибольших меньше 224, а два младших не превосходят 13 и 12
Решение
Пусть числа набора a1 < a2 < … < a_k. Условие «произведение любых двух больше 123» равносильно a1a2 > 123, а «меньше 224» — условию a_{k−1}a_k < 224: остальные пары зажаты между этими двумя.
Из a1 ≤ a2 − 1 следует a2(a2 − 1) > 123, то есть a2 ≥ 12. Плотный набор {a1, a2, a2+1, …, a2+k−2} — самый выгодный, поэтому k чисел существует ровно тогда, когда (a2 + k − 3)(a2 + k − 2) < 224.
Для k = 5 это 210 < 224 — верно; для k = 6 это 240 < 224 — неверно.
Для наибольшей суммы два младших числа выгодно взять максимальными: a1 = a3 − 2, a2 = a3 − 1, а затем максимизировать a4 при a3a4 < 224. Максимум 54 даёт набор 12, 13, 14 и 15.
Из a1 ≤ a2 − 1 следует a2(a2 − 1) > 123, то есть a2 ≥ 12. Плотный набор {a1, a2, a2+1, …, a2+k−2} — самый выгодный, поэтому k чисел существует ровно тогда, когда (a2 + k − 3)(a2 + k − 2) < 224.
Для k = 5 это 210 < 224 — верно; для k = 6 это 240 < 224 — неверно.
Для наибольшей суммы два младших числа выгодно взять максимальными: a1 = a3 − 2, a2 = a3 − 1, а затем максимизировать a4 при a3a4 < 224. Максимум 54 даёт набор 12, 13, 14 и 15.
Пример 5
На доске написано несколько различных натуральных чисел, произведение любых двух из которых больше 107 и меньше 200.
а) Может ли на доске быть 5 чисел?
б) Может ли на доске быть 6 чисел?
в) Какое наибольшее значение может принимать сумма чисел на доске, если их четыре?
а) Может ли на доске быть 5 чисел?
б) Может ли на доске быть 6 чисел?
в) Какое наибольшее значение может принимать сумма чисел на доске, если их четыре?
Показать ответ
а) да, например 10, 11, 12, 13 и 14
б) нет: из a₁ < a₂ и a₁a₂ > 107 следует a₂(a₂ − 1) > 107, то есть второе по величине число не меньше 11; тогда при шести числах два наибольших не меньше 14 и 15, а их произведение не меньше 210 > 200
в) 51; достигается на наборе 11, 12, 13 и 15; больше нельзя — произведение двух наибольших меньше 200, а два младших не превосходят 12 и 11
Решение
Пусть числа набора a1 < a2 < … < a_k. Условие «произведение любых двух больше 107» равносильно a1a2 > 107, а «меньше 200» — условию a_{k−1}a_k < 200: остальные пары зажаты между этими двумя.
Из a1 ≤ a2 − 1 следует a2(a2 − 1) > 107, то есть a2 ≥ 11. Плотный набор {a1, a2, a2+1, …, a2+k−2} — самый выгодный, поэтому k чисел существует ровно тогда, когда (a2 + k − 3)(a2 + k − 2) < 200.
Для k = 5 это 182 < 200 — верно; для k = 6 это 210 < 200 — неверно.
Для наибольшей суммы два младших числа выгодно взять максимальными: a1 = a3 − 2, a2 = a3 − 1, а затем максимизировать a4 при a3a4 < 200. Максимум 51 даёт набор 11, 12, 13 и 15.
Из a1 ≤ a2 − 1 следует a2(a2 − 1) > 107, то есть a2 ≥ 11. Плотный набор {a1, a2, a2+1, …, a2+k−2} — самый выгодный, поэтому k чисел существует ровно тогда, когда (a2 + k − 3)(a2 + k − 2) < 200.
Для k = 5 это 182 < 200 — верно; для k = 6 это 210 < 200 — неверно.
Для наибольшей суммы два младших числа выгодно взять максимальными: a1 = a3 − 2, a2 = a3 − 1, а затем максимизировать a4 при a3a4 < 200. Максимум 51 даёт набор 11, 12, 13 и 15.
Другие темы задания №20
1Каждый следующий в 10 раз больше или меньше: наибольшее число членов2Сумма соседей — одна из трёх: наименьшее число членов3Вдвое меньше либо больше на D: наименьший максимум4Средние без k-го члена: наибольшее M₃5Возрастающая с шагом ≤ 10: наибольшее среднее всех членов6Член больше среднего соседей: наименьшая сумма при n членах7Концы нулевые: наименьший второй член8Числа 1–4 и степенные суммы S₁…S₄9Целые числа: средние всех / положительных / отрицательных10Средние арифметические набора11Средние арифметические набора12Деление на три группы: наименьшее из наибольших средних
Нужен репетитор по математике?
Посмотрите репетиторов, которые ведут занятия в Precettore, или оставьте заявку — подберём сами.
Готовьтесь к ЕГЭ по профильной математике в Precettore
Варианты с автопроверкой, домашние задания от репетитора, онлайн-доска и разбор ошибок — в одном кабинете. Регистрация бесплатная.