Произведение любых двух в промежутке: наименьшая сумма — задание 20 ЕГЭ по профильной математике
Доска: ограничение на попарные произведения. 5 примера с ответом и проверкой.
Пример 1
На доске написано несколько различных натуральных чисел, произведение любых двух из которых больше 29 и меньше 76.
а) Может ли на доске быть 5 чисел?
б) Может ли на доске быть 6 чисел?
в) Какое наименьшее значение может принимать сумма чисел на доске, если их четыре?
а) Может ли на доске быть 5 чисел?
б) Может ли на доске быть 6 чисел?
в) Какое наименьшее значение может принимать сумма чисел на доске, если их четыре?
Показать ответ
а) да, например 5, 6, 7, 8 и 9
б) нет: из a₁ < a₂ и a₁a₂ > 29 следует a₂(a₂ − 1) > 29, то есть второе по величине число не меньше 6; тогда при шести числах два наибольших не меньше 9 и 10, а их произведение не меньше 90 > 76
в) 26; достигается на наборе 5, 6, 7 и 8; меньше нельзя — второе по величине число не меньше 6, поэтому три старших числа не меньше 6, 7, 8, а младшее не меньше ⌊29/a₂⌋ + 1
Решение
Пусть числа набора a1 < a2 < … < a_k. Условие «произведение любых двух больше 29» равносильно a1a2 > 29, а «меньше 76» — условию a_{k−1}a_k < 76: остальные пары зажаты между этими двумя.
Из a1 ≤ a2 − 1 следует a2(a2 − 1) > 29, то есть a2 ≥ 6. Плотный набор {a1, a2, a2+1, …, a2+k−2} — самый выгодный, поэтому k чисел существует ровно тогда, когда (a2 + k − 3)(a2 + k − 2) < 76.
Для k = 5 это 72 < 76 — верно; для k = 6 это 90 < 76 — неверно.
Наименьшую сумму четырёх ищем перебором одного параметра a2: младшее число тогда равно ⌊29/a2⌋ + 1, а два старших идут подряд. Минимум 26 даёт набор 5, 6, 7 и 8.
Из a1 ≤ a2 − 1 следует a2(a2 − 1) > 29, то есть a2 ≥ 6. Плотный набор {a1, a2, a2+1, …, a2+k−2} — самый выгодный, поэтому k чисел существует ровно тогда, когда (a2 + k − 3)(a2 + k − 2) < 76.
Для k = 5 это 72 < 76 — верно; для k = 6 это 90 < 76 — неверно.
Наименьшую сумму четырёх ищем перебором одного параметра a2: младшее число тогда равно ⌊29/a2⌋ + 1, а два старших идут подряд. Минимум 26 даёт набор 5, 6, 7 и 8.
Пример 2
На доске написано несколько различных натуральных чисел, произведение любых двух из которых больше 50 и меньше 114.
а) Может ли на доске быть 5 чисел?
б) Может ли на доске быть 6 чисел?
в) Какое наименьшее значение может принимать сумма чисел на доске, если их четыре?
а) Может ли на доске быть 5 чисел?
б) Может ли на доске быть 6 чисел?
в) Какое наименьшее значение может принимать сумма чисел на доске, если их четыре?
Показать ответ
а) да, например 7, 8, 9, 10 и 11
б) нет: из a₁ < a₂ и a₁a₂ > 50 следует a₂(a₂ − 1) > 50, то есть второе по величине число не меньше 8; тогда при шести числах два наибольших не меньше 11 и 12, а их произведение не меньше 132 > 114
в) 34; достигается на наборе 7, 8, 9 и 10; меньше нельзя — второе по величине число не меньше 8, поэтому три старших числа не меньше 8, 9, 10, а младшее не меньше ⌊50/a₂⌋ + 1
Решение
Пусть числа набора a1 < a2 < … < a_k. Условие «произведение любых двух больше 50» равносильно a1a2 > 50, а «меньше 114» — условию a_{k−1}a_k < 114: остальные пары зажаты между этими двумя.
Из a1 ≤ a2 − 1 следует a2(a2 − 1) > 50, то есть a2 ≥ 8. Плотный набор {a1, a2, a2+1, …, a2+k−2} — самый выгодный, поэтому k чисел существует ровно тогда, когда (a2 + k − 3)(a2 + k − 2) < 114.
Для k = 5 это 110 < 114 — верно; для k = 6 это 132 < 114 — неверно.
Наименьшую сумму четырёх ищем перебором одного параметра a2: младшее число тогда равно ⌊50/a2⌋ + 1, а два старших идут подряд. Минимум 34 даёт набор 7, 8, 9 и 10.
Из a1 ≤ a2 − 1 следует a2(a2 − 1) > 50, то есть a2 ≥ 8. Плотный набор {a1, a2, a2+1, …, a2+k−2} — самый выгодный, поэтому k чисел существует ровно тогда, когда (a2 + k − 3)(a2 + k − 2) < 114.
Для k = 5 это 110 < 114 — верно; для k = 6 это 132 < 114 — неверно.
Наименьшую сумму четырёх ищем перебором одного параметра a2: младшее число тогда равно ⌊50/a2⌋ + 1, а два старших идут подряд. Минимум 34 даёт набор 7, 8, 9 и 10.
Пример 3
На доске написано несколько различных натуральных чисел, произведение любых двух из которых больше 28 и меньше 84.
а) Может ли на доске быть 5 чисел?
б) Может ли на доске быть 6 чисел?
в) Какое наименьшее значение может принимать сумма чисел на доске, если их четыре?
а) Может ли на доске быть 5 чисел?
б) Может ли на доске быть 6 чисел?
в) Какое наименьшее значение может принимать сумма чисел на доске, если их четыре?
Показать ответ
а) да, например 5, 6, 7, 8 и 9
б) нет: из a₁ < a₂ и a₁a₂ > 28 следует a₂(a₂ − 1) > 28, то есть второе по величине число не меньше 6; тогда при шести числах два наибольших не меньше 9 и 10, а их произведение не меньше 90 > 84
в) 26; достигается на наборе 5, 6, 7 и 8; меньше нельзя — второе по величине число не меньше 6, поэтому три старших числа не меньше 6, 7, 8, а младшее не меньше ⌊28/a₂⌋ + 1
Решение
Пусть числа набора a1 < a2 < … < a_k. Условие «произведение любых двух больше 28» равносильно a1a2 > 28, а «меньше 84» — условию a_{k−1}a_k < 84: остальные пары зажаты между этими двумя.
Из a1 ≤ a2 − 1 следует a2(a2 − 1) > 28, то есть a2 ≥ 6. Плотный набор {a1, a2, a2+1, …, a2+k−2} — самый выгодный, поэтому k чисел существует ровно тогда, когда (a2 + k − 3)(a2 + k − 2) < 84.
Для k = 5 это 72 < 84 — верно; для k = 6 это 90 < 84 — неверно.
Наименьшую сумму четырёх ищем перебором одного параметра a2: младшее число тогда равно ⌊28/a2⌋ + 1, а два старших идут подряд. Минимум 26 даёт набор 5, 6, 7 и 8.
Из a1 ≤ a2 − 1 следует a2(a2 − 1) > 28, то есть a2 ≥ 6. Плотный набор {a1, a2, a2+1, …, a2+k−2} — самый выгодный, поэтому k чисел существует ровно тогда, когда (a2 + k − 3)(a2 + k − 2) < 84.
Для k = 5 это 72 < 84 — верно; для k = 6 это 90 < 84 — неверно.
Наименьшую сумму четырёх ищем перебором одного параметра a2: младшее число тогда равно ⌊28/a2⌋ + 1, а два старших идут подряд. Минимум 26 даёт набор 5, 6, 7 и 8.
Пример 4
На доске написано несколько различных натуральных чисел, произведение любых двух из которых больше 121 и меньше 226.
а) Может ли на доске быть 5 чисел?
б) Может ли на доске быть 6 чисел?
в) Какое наименьшее значение может принимать сумма чисел на доске, если их четыре?
а) Может ли на доске быть 5 чисел?
б) Может ли на доске быть 6 чисел?
в) Какое наименьшее значение может принимать сумма чисел на доске, если их четыре?
Показать ответ
а) да, например 11, 12, 13, 14 и 15
б) нет: из a₁ < a₂ и a₁a₂ > 121 следует a₂(a₂ − 1) > 121, то есть второе по величине число не меньше 12; тогда при шести числах два наибольших не меньше 15 и 16, а их произведение не меньше 240 > 226
в) 50; достигается на наборе 11, 12, 13 и 14; меньше нельзя — второе по величине число не меньше 12, поэтому три старших числа не меньше 12, 13, 14, а младшее не меньше ⌊121/a₂⌋ + 1
Решение
Пусть числа набора a1 < a2 < … < a_k. Условие «произведение любых двух больше 121» равносильно a1a2 > 121, а «меньше 226» — условию a_{k−1}a_k < 226: остальные пары зажаты между этими двумя.
Из a1 ≤ a2 − 1 следует a2(a2 − 1) > 121, то есть a2 ≥ 12. Плотный набор {a1, a2, a2+1, …, a2+k−2} — самый выгодный, поэтому k чисел существует ровно тогда, когда (a2 + k − 3)(a2 + k − 2) < 226.
Для k = 5 это 210 < 226 — верно; для k = 6 это 240 < 226 — неверно.
Наименьшую сумму четырёх ищем перебором одного параметра a2: младшее число тогда равно ⌊121/a2⌋ + 1, а два старших идут подряд. Минимум 50 даёт набор 11, 12, 13 и 14.
Из a1 ≤ a2 − 1 следует a2(a2 − 1) > 121, то есть a2 ≥ 12. Плотный набор {a1, a2, a2+1, …, a2+k−2} — самый выгодный, поэтому k чисел существует ровно тогда, когда (a2 + k − 3)(a2 + k − 2) < 226.
Для k = 5 это 210 < 226 — верно; для k = 6 это 240 < 226 — неверно.
Наименьшую сумму четырёх ищем перебором одного параметра a2: младшее число тогда равно ⌊121/a2⌋ + 1, а два старших идут подряд. Минимум 50 даёт набор 11, 12, 13 и 14.
Пример 5
На доске написано несколько различных натуральных чисел, произведение любых двух из которых больше 66 и меньше 153.
а) Может ли на доске быть 5 чисел?
б) Может ли на доске быть 6 чисел?
в) Какое наименьшее значение может принимать сумма чисел на доске, если их четыре?
а) Может ли на доске быть 5 чисел?
б) Может ли на доске быть 6 чисел?
в) Какое наименьшее значение может принимать сумма чисел на доске, если их четыре?
Показать ответ
а) да, например 8, 9, 10, 11 и 12
б) нет: из a₁ < a₂ и a₁a₂ > 66 следует a₂(a₂ − 1) > 66, то есть второе по величине число не меньше 9; тогда при шести числах два наибольших не меньше 12 и 13, а их произведение не меньше 156 > 153
в) 38; достигается на наборе 8, 9, 10 и 11; меньше нельзя — второе по величине число не меньше 9, поэтому три старших числа не меньше 9, 10, 11, а младшее не меньше ⌊66/a₂⌋ + 1
Решение
Пусть числа набора a1 < a2 < … < a_k. Условие «произведение любых двух больше 66» равносильно a1a2 > 66, а «меньше 153» — условию a_{k−1}a_k < 153: остальные пары зажаты между этими двумя.
Из a1 ≤ a2 − 1 следует a2(a2 − 1) > 66, то есть a2 ≥ 9. Плотный набор {a1, a2, a2+1, …, a2+k−2} — самый выгодный, поэтому k чисел существует ровно тогда, когда (a2 + k − 3)(a2 + k − 2) < 153.
Для k = 5 это 132 < 153 — верно; для k = 6 это 156 < 153 — неверно.
Наименьшую сумму четырёх ищем перебором одного параметра a2: младшее число тогда равно ⌊66/a2⌋ + 1, а два старших идут подряд. Минимум 38 даёт набор 8, 9, 10 и 11.
Из a1 ≤ a2 − 1 следует a2(a2 − 1) > 66, то есть a2 ≥ 9. Плотный набор {a1, a2, a2+1, …, a2+k−2} — самый выгодный, поэтому k чисел существует ровно тогда, когда (a2 + k − 3)(a2 + k − 2) < 153.
Для k = 5 это 132 < 153 — верно; для k = 6 это 156 < 153 — неверно.
Наименьшую сумму четырёх ищем перебором одного параметра a2: младшее число тогда равно ⌊66/a2⌋ + 1, а два старших идут подряд. Минимум 38 даёт набор 8, 9, 10 и 11.
Другие темы задания №20
1Каждый следующий в 10 раз больше или меньше: наибольшее число членов2Сумма соседей — одна из трёх: наименьшее число членов3Вдвое меньше либо больше на D: наименьший максимум4Средние без k-го члена: наибольшее M₃5Возрастающая с шагом ≤ 10: наибольшее среднее всех членов6Член больше среднего соседей: наименьшая сумма при n членах7Концы нулевые: наименьший второй член8Числа 1–4 и степенные суммы S₁…S₄9Целые числа: средние всех / положительных / отрицательных10Средние арифметические набора11Средние арифметические набора12Деление на три группы: наименьшее из наибольших средних
Нужен репетитор по математике?
Посмотрите репетиторов, которые ведут занятия в Precettore, или оставьте заявку — подберём сами.
Готовьтесь к ЕГЭ по профильной математике в Precettore
Варианты с автопроверкой, домашние задания от репетитора, онлайн-доска и разбор ошибок — в одном кабинете. Регистрация бесплатная.