Пять чисел с данным произведением: члены прогрессии — задание 20 ЕГЭ по профильной математике
Прогрессии. 5 примера с ответом и проверкой.
Пример 1
Рассматриваются пять различных натуральных чисел, произведение которых равно 5040.
а) Можно ли привести пример таких пяти чисел, если пять из них образуют геометрическую прогрессию?
б) Можно ли привести пример таких пяти чисел, если четыре из них образуют геометрическую прогрессию?
в) Можно ли привести пример таких пяти чисел, если три из них образуют геометрическую прогрессию?
а) Можно ли привести пример таких пяти чисел, если пять из них образуют геометрическую прогрессию?
б) Можно ли привести пример таких пяти чисел, если четыре из них образуют геометрическую прогрессию?
в) Можно ли привести пример таких пяти чисел, если три из них образуют геометрическую прогрессию?
Показать ответ
а) нет: произведение пяти членов геометрической прогрессии равно пятой степени её среднего члена, а 5040 не является пятой степенью натурального числа
б) нет: произведение четырёх членов геометрической прогрессии b, bq, bq², bq³ равно (b²q³)², то есть полному квадрату; значит пятое число c обязано быть таким, что 5040/c — точный квадрат, а для каждого подходящего c четырёх различных натуральных чисел в геометрической прогрессии с нужным произведением не существует
в) да, например 1, 2, 3, 4 и 210: числа 1, 2 и 4 образуют геометрическую прогрессию, а произведение всех пяти равно 5040
Решение
Произведение пяти последовательных членов геометрической прогрессии равно aq25 — пятой степени среднего члена. Так как 5040 не является пятой степенью натурального числа, пункт а) невозможен.
Произведение четырёх членов равно b·bq·bq2·bq3 = b2q32 — полный квадрат. Значит оставшееся пятое число c должно давать точный квадрат 5040/c; перебор таких c показывает, что подходящей четвёрки различных натуральных чисел нет.
Для трёх чисел ограничений почти нет: подходит набор 1, 2, 3, 4 и 210, где 1, 2 и 4 — геометрическая прогрессия.
Произведение четырёх членов равно b·bq·bq2·bq3 = b2q32 — полный квадрат. Значит оставшееся пятое число c должно давать точный квадрат 5040/c; перебор таких c показывает, что подходящей четвёрки различных натуральных чисел нет.
Для трёх чисел ограничений почти нет: подходит набор 1, 2, 3, 4 и 210, где 1, 2 и 4 — геометрическая прогрессия.
Пример 2
Рассматриваются пять различных натуральных чисел, произведение которых равно 4536.
а) Можно ли привести пример таких пяти чисел, если пять из них образуют геометрическую прогрессию?
б) Можно ли привести пример таких пяти чисел, если четыре из них образуют геометрическую прогрессию?
в) Можно ли привести пример таких пяти чисел, если три из них образуют геометрическую прогрессию?
а) Можно ли привести пример таких пяти чисел, если пять из них образуют геометрическую прогрессию?
б) Можно ли привести пример таких пяти чисел, если четыре из них образуют геометрическую прогрессию?
в) Можно ли привести пример таких пяти чисел, если три из них образуют геометрическую прогрессию?
Показать ответ
а) нет: произведение пяти членов геометрической прогрессии равно пятой степени её среднего члена, а 4536 не является пятой степенью натурального числа
б) нет: произведение четырёх членов геометрической прогрессии b, bq, bq², bq³ равно (b²q³)², то есть полному квадрату; значит пятое число c обязано быть таким, что 4536/c — точный квадрат, а для каждого подходящего c четырёх различных натуральных чисел в геометрической прогрессии с нужным произведением не существует
в) да, например 1, 2, 3, 4 и 189: числа 1, 2 и 4 образуют геометрическую прогрессию, а произведение всех пяти равно 4536
Решение
Произведение пяти последовательных членов геометрической прогрессии равно aq25 — пятой степени среднего члена. Так как 4536 не является пятой степенью натурального числа, пункт а) невозможен.
Произведение четырёх членов равно b·bq·bq2·bq3 = b2q32 — полный квадрат. Значит оставшееся пятое число c должно давать точный квадрат 4536/c; перебор таких c показывает, что подходящей четвёрки различных натуральных чисел нет.
Для трёх чисел ограничений почти нет: подходит набор 1, 2, 3, 4 и 189, где 1, 2 и 4 — геометрическая прогрессия.
Произведение четырёх членов равно b·bq·bq2·bq3 = b2q32 — полный квадрат. Значит оставшееся пятое число c должно давать точный квадрат 4536/c; перебор таких c показывает, что подходящей четвёрки различных натуральных чисел нет.
Для трёх чисел ограничений почти нет: подходит набор 1, 2, 3, 4 и 189, где 1, 2 и 4 — геометрическая прогрессия.
Пример 3
Рассматриваются пять различных натуральных чисел, произведение которых равно 3024.
а) Можно ли привести пример таких пяти чисел, если пять из них образуют геометрическую прогрессию?
б) Можно ли привести пример таких пяти чисел, если четыре из них образуют геометрическую прогрессию?
в) Можно ли привести пример таких пяти чисел, если три из них образуют геометрическую прогрессию?
а) Можно ли привести пример таких пяти чисел, если пять из них образуют геометрическую прогрессию?
б) Можно ли привести пример таких пяти чисел, если четыре из них образуют геометрическую прогрессию?
в) Можно ли привести пример таких пяти чисел, если три из них образуют геометрическую прогрессию?
Показать ответ
а) нет: произведение пяти членов геометрической прогрессии равно пятой степени её среднего члена, а 3024 не является пятой степенью натурального числа
б) нет: произведение четырёх членов геометрической прогрессии b, bq, bq², bq³ равно (b²q³)², то есть полному квадрату; значит пятое число c обязано быть таким, что 3024/c — точный квадрат, а для каждого подходящего c четырёх различных натуральных чисел в геометрической прогрессии с нужным произведением не существует
в) да, например 1, 2, 3, 4 и 126: числа 1, 2 и 4 образуют геометрическую прогрессию, а произведение всех пяти равно 3024
Решение
Произведение пяти последовательных членов геометрической прогрессии равно aq25 — пятой степени среднего члена. Так как 3024 не является пятой степенью натурального числа, пункт а) невозможен.
Произведение четырёх членов равно b·bq·bq2·bq3 = b2q32 — полный квадрат. Значит оставшееся пятое число c должно давать точный квадрат 3024/c; перебор таких c показывает, что подходящей четвёрки различных натуральных чисел нет.
Для трёх чисел ограничений почти нет: подходит набор 1, 2, 3, 4 и 126, где 1, 2 и 4 — геометрическая прогрессия.
Произведение четырёх членов равно b·bq·bq2·bq3 = b2q32 — полный квадрат. Значит оставшееся пятое число c должно давать точный квадрат 3024/c; перебор таких c показывает, что подходящей четвёрки различных натуральных чисел нет.
Для трёх чисел ограничений почти нет: подходит набор 1, 2, 3, 4 и 126, где 1, 2 и 4 — геометрическая прогрессия.
Пример 4
Рассматриваются пять различных натуральных чисел, произведение которых равно 2520.
а) Можно ли привести пример таких пяти чисел, если пять из них образуют геометрическую прогрессию?
б) Можно ли привести пример таких пяти чисел, если четыре из них образуют геометрическую прогрессию?
в) Можно ли привести пример таких пяти чисел, если три из них образуют геометрическую прогрессию?
а) Можно ли привести пример таких пяти чисел, если пять из них образуют геометрическую прогрессию?
б) Можно ли привести пример таких пяти чисел, если четыре из них образуют геометрическую прогрессию?
в) Можно ли привести пример таких пяти чисел, если три из них образуют геометрическую прогрессию?
Показать ответ
а) нет: произведение пяти членов геометрической прогрессии равно пятой степени её среднего члена, а 2520 не является пятой степенью натурального числа
б) нет: произведение четырёх членов геометрической прогрессии b, bq, bq², bq³ равно (b²q³)², то есть полному квадрату; значит пятое число c обязано быть таким, что 2520/c — точный квадрат, а для каждого подходящего c четырёх различных натуральных чисел в геометрической прогрессии с нужным произведением не существует
в) да, например 1, 2, 3, 4 и 105: числа 1, 2 и 4 образуют геометрическую прогрессию, а произведение всех пяти равно 2520
Решение
Произведение пяти последовательных членов геометрической прогрессии равно aq25 — пятой степени среднего члена. Так как 2520 не является пятой степенью натурального числа, пункт а) невозможен.
Произведение четырёх членов равно b·bq·bq2·bq3 = b2q32 — полный квадрат. Значит оставшееся пятое число c должно давать точный квадрат 2520/c; перебор таких c показывает, что подходящей четвёрки различных натуральных чисел нет.
Для трёх чисел ограничений почти нет: подходит набор 1, 2, 3, 4 и 105, где 1, 2 и 4 — геометрическая прогрессия.
Произведение четырёх членов равно b·bq·bq2·bq3 = b2q32 — полный квадрат. Значит оставшееся пятое число c должно давать точный квадрат 2520/c; перебор таких c показывает, что подходящей четвёрки различных натуральных чисел нет.
Для трёх чисел ограничений почти нет: подходит набор 1, 2, 3, 4 и 105, где 1, 2 и 4 — геометрическая прогрессия.
Пример 5
Рассматриваются пять различных натуральных чисел, произведение которых равно 1512.
а) Можно ли привести пример таких пяти чисел, если пять из них образуют геометрическую прогрессию?
б) Можно ли привести пример таких пяти чисел, если четыре из них образуют геометрическую прогрессию?
в) Можно ли привести пример таких пяти чисел, если три из них образуют геометрическую прогрессию?
а) Можно ли привести пример таких пяти чисел, если пять из них образуют геометрическую прогрессию?
б) Можно ли привести пример таких пяти чисел, если четыре из них образуют геометрическую прогрессию?
в) Можно ли привести пример таких пяти чисел, если три из них образуют геометрическую прогрессию?
Показать ответ
а) нет: произведение пяти членов геометрической прогрессии равно пятой степени её среднего члена, а 1512 не является пятой степенью натурального числа
б) нет: произведение четырёх членов геометрической прогрессии b, bq, bq², bq³ равно (b²q³)², то есть полному квадрату; значит пятое число c обязано быть таким, что 1512/c — точный квадрат, а для каждого подходящего c четырёх различных натуральных чисел в геометрической прогрессии с нужным произведением не существует
в) да, например 1, 2, 3, 4 и 63: числа 1, 2 и 4 образуют геометрическую прогрессию, а произведение всех пяти равно 1512
Решение
Произведение пяти последовательных членов геометрической прогрессии равно aq25 — пятой степени среднего члена. Так как 1512 не является пятой степенью натурального числа, пункт а) невозможен.
Произведение четырёх членов равно b·bq·bq2·bq3 = b2q32 — полный квадрат. Значит оставшееся пятое число c должно давать точный квадрат 1512/c; перебор таких c показывает, что подходящей четвёрки различных натуральных чисел нет.
Для трёх чисел ограничений почти нет: подходит набор 1, 2, 3, 4 и 63, где 1, 2 и 4 — геометрическая прогрессия.
Произведение четырёх членов равно b·bq·bq2·bq3 = b2q32 — полный квадрат. Значит оставшееся пятое число c должно давать точный квадрат 1512/c; перебор таких c показывает, что подходящей четвёрки различных натуральных чисел нет.
Для трёх чисел ограничений почти нет: подходит набор 1, 2, 3, 4 и 63, где 1, 2 и 4 — геометрическая прогрессия.
Другие темы задания №20
1Каждый следующий в 10 раз больше или меньше: наибольшее число членов2Сумма соседей — одна из трёх: наименьшее число членов3Вдвое меньше либо больше на D: наименьший максимум4Средние без k-го члена: наибольшее M₃5Возрастающая с шагом ≤ 10: наибольшее среднее всех членов6Член больше среднего соседей: наименьшая сумма при n членах7Концы нулевые: наименьший второй член8Числа 1–4 и степенные суммы S₁…S₄9Целые числа: средние всех / положительных / отрицательных10Средние арифметические набора11Средние арифметические набора12Деление на три группы: наименьшее из наибольших средних
Нужен репетитор по математике?
Посмотрите репетиторов, которые ведут занятия в Precettore, или оставьте заявку — подберём сами.
Готовьтесь к ЕГЭ по профильной математике в Precettore
Варианты с автопроверкой, домашние задания от репетитора, онлайн-доска и разбор ошибок — в одном кабинете. Регистрация бесплатная.