Разности: ничего не делится на b−a и не делит b−a — задание 20 ЕГЭ по профильной математике
Доска: набор чисел с ограничением на сумму. 5 примера с ответом и проверкой.
Пример 1
На доске написано N различных натуральных чисел, каждое из которых не превосходит 149. Для любых двух написанных на доске чисел a и b, таких что a < b, ни одно из написанных чисел не делится на b − a, и ни одно из написанных чисел не является делителем числа b − a.
а) Могли ли на доске быть написаны какие-то два числа из чисел 90, 91 и 92?
б) Среди написанных на доске чисел есть 15. Может ли N быть равно 27?
в) Найдите наибольшее значение N.
а) Могли ли на доске быть написаны какие-то два числа из чисел 90, 91 и 92?
б) Среди написанных на доске чисел есть 15. Может ли N быть равно 27?
в) Найдите наибольшее значение N.
Показать ответ
а) нет: у пар 90 и 91, 91 и 92 разность равна 1, а на 1 делится любое написанное число; у пары 90 и 92 разность равна 2, но оба этих числа чётны и делятся на 2
б) нет: если m — наименьшее из написанных чисел, то никакие два написанных числа не дают одинаковый остаток при делении на m (иначе их разность делилась бы на m, а m написано на доске), поэтому N ≤ m. Число 15 написано, значит m ≤ 15 и N ≤ 15 < 27
в) 50; например все нечётные числа от 51 до 149
Решение
Пусть m — наименьшее из написанных чисел.
а) Разность любых двух из чисел 90, 91, 92 равна 1 или 2. Если разность равна 1, то на неё делится любое написанное число. Разность 2 даёт только пара 90 и 92, но оба этих числа чётны, то есть делятся на свою разность. В каждом случае условие нарушено, поэтому двух таких чисел на доске быть не может.
б) Если два написанных числа дают одинаковый остаток при делении на m, то их разность делится на m — но m само написано на доске, что запрещено. Значит все написанные числа дают разные остатки при делении на m, откуда N ≤ m. Так как 15 написано, m ≤ 15, поэтому N ≤ 15, и N = 27 невозможно.
в) Кроме N ≤ m, разность соседних написанных чисел не меньше 2 (разность 1 запрещена), поэтому N ≤ (149 − m)/2 + 1. Перебирая m, получаем N ≤ 50.
Это значение достигается: возьмём все нечётные числа от 51 до 149 — их ровно 50. Все разности чётны, поэтому ни одно из (нечётных) написанных чисел на них не делится; наименьшее чётное кратное написанного числа c равно 2c ≥ 102 и превосходит любую разность (она не больше 98), поэтому ни одно написанное число не является делителем разности.
Ответ: 50.
а) Разность любых двух из чисел 90, 91, 92 равна 1 или 2. Если разность равна 1, то на неё делится любое написанное число. Разность 2 даёт только пара 90 и 92, но оба этих числа чётны, то есть делятся на свою разность. В каждом случае условие нарушено, поэтому двух таких чисел на доске быть не может.
б) Если два написанных числа дают одинаковый остаток при делении на m, то их разность делится на m — но m само написано на доске, что запрещено. Значит все написанные числа дают разные остатки при делении на m, откуда N ≤ m. Так как 15 написано, m ≤ 15, поэтому N ≤ 15, и N = 27 невозможно.
в) Кроме N ≤ m, разность соседних написанных чисел не меньше 2 (разность 1 запрещена), поэтому N ≤ (149 − m)/2 + 1. Перебирая m, получаем N ≤ 50.
Это значение достигается: возьмём все нечётные числа от 51 до 149 — их ровно 50. Все разности чётны, поэтому ни одно из (нечётных) написанных чисел на них не делится; наименьшее чётное кратное написанного числа c равно 2c ≥ 102 и превосходит любую разность (она не больше 98), поэтому ни одно написанное число не является делителем разности.
Ответ: 50.
Пример 2
На доске написано N различных натуральных чисел, каждое из которых не превосходит 79. Для любых двух написанных на доске чисел a и b, таких что a < b, ни одно из написанных чисел не делится на b − a, и ни одно из написанных чисел не является делителем числа b − a.
а) Могли ли на доске быть написаны какие-то два числа из чисел 58, 59 и 60?
б) Среди написанных на доске чисел есть 14. Может ли N быть равно 20?
в) Найдите наибольшее значение N.
а) Могли ли на доске быть написаны какие-то два числа из чисел 58, 59 и 60?
б) Среди написанных на доске чисел есть 14. Может ли N быть равно 20?
в) Найдите наибольшее значение N.
Показать ответ
а) нет: у пар 58 и 59, 59 и 60 разность равна 1, а на 1 делится любое написанное число; у пары 58 и 60 разность равна 2, но оба этих числа чётны и делятся на 2
б) нет: если m — наименьшее из написанных чисел, то никакие два написанных числа не дают одинаковый остаток при делении на m (иначе их разность делилась бы на m, а m написано на доске), поэтому N ≤ m. Число 14 написано, значит m ≤ 14 и N ≤ 14 < 20
в) 27; например все нечётные числа от 27 до 79
Решение
Пусть m — наименьшее из написанных чисел.
а) Разность любых двух из чисел 58, 59, 60 равна 1 или 2. Если разность равна 1, то на неё делится любое написанное число. Разность 2 даёт только пара 58 и 60, но оба этих числа чётны, то есть делятся на свою разность. В каждом случае условие нарушено, поэтому двух таких чисел на доске быть не может.
б) Если два написанных числа дают одинаковый остаток при делении на m, то их разность делится на m — но m само написано на доске, что запрещено. Значит все написанные числа дают разные остатки при делении на m, откуда N ≤ m. Так как 14 написано, m ≤ 14, поэтому N ≤ 14, и N = 20 невозможно.
в) Кроме N ≤ m, разность соседних написанных чисел не меньше 2 (разность 1 запрещена), поэтому N ≤ (79 − m)/2 + 1. Перебирая m, получаем N ≤ 27.
Это значение достигается: возьмём все нечётные числа от 27 до 79 — их ровно 27. Все разности чётны, поэтому ни одно из (нечётных) написанных чисел на них не делится; наименьшее чётное кратное написанного числа c равно 2c ≥ 54 и превосходит любую разность (она не больше 52), поэтому ни одно написанное число не является делителем разности.
Ответ: 27.
а) Разность любых двух из чисел 58, 59, 60 равна 1 или 2. Если разность равна 1, то на неё делится любое написанное число. Разность 2 даёт только пара 58 и 60, но оба этих числа чётны, то есть делятся на свою разность. В каждом случае условие нарушено, поэтому двух таких чисел на доске быть не может.
б) Если два написанных числа дают одинаковый остаток при делении на m, то их разность делится на m — но m само написано на доске, что запрещено. Значит все написанные числа дают разные остатки при делении на m, откуда N ≤ m. Так как 14 написано, m ≤ 14, поэтому N ≤ 14, и N = 20 невозможно.
в) Кроме N ≤ m, разность соседних написанных чисел не меньше 2 (разность 1 запрещена), поэтому N ≤ (79 − m)/2 + 1. Перебирая m, получаем N ≤ 27.
Это значение достигается: возьмём все нечётные числа от 27 до 79 — их ровно 27. Все разности чётны, поэтому ни одно из (нечётных) написанных чисел на них не делится; наименьшее чётное кратное написанного числа c равно 2c ≥ 54 и превосходит любую разность (она не больше 52), поэтому ни одно написанное число не является делителем разности.
Ответ: 27.
Пример 3
На доске написано N различных натуральных чисел, каждое из которых не превосходит 79. Для любых двух написанных на доске чисел a и b, таких что a < b, ни одно из написанных чисел не делится на b − a, и ни одно из написанных чисел не является делителем числа b − a.
а) Могли ли на доске быть написаны какие-то два числа из чисел 32, 33 и 34?
б) Среди написанных на доске чисел есть 11. Может ли N быть равно 20?
в) Найдите наибольшее значение N.
а) Могли ли на доске быть написаны какие-то два числа из чисел 32, 33 и 34?
б) Среди написанных на доске чисел есть 11. Может ли N быть равно 20?
в) Найдите наибольшее значение N.
Показать ответ
а) нет: у пар 32 и 33, 33 и 34 разность равна 1, а на 1 делится любое написанное число; у пары 32 и 34 разность равна 2, но оба этих числа чётны и делятся на 2
б) нет: если m — наименьшее из написанных чисел, то никакие два написанных числа не дают одинаковый остаток при делении на m (иначе их разность делилась бы на m, а m написано на доске), поэтому N ≤ m. Число 11 написано, значит m ≤ 11 и N ≤ 11 < 20
в) 27; например все нечётные числа от 27 до 79
Решение
Пусть m — наименьшее из написанных чисел.
а) Разность любых двух из чисел 32, 33, 34 равна 1 или 2. Если разность равна 1, то на неё делится любое написанное число. Разность 2 даёт только пара 32 и 34, но оба этих числа чётны, то есть делятся на свою разность. В каждом случае условие нарушено, поэтому двух таких чисел на доске быть не может.
б) Если два написанных числа дают одинаковый остаток при делении на m, то их разность делится на m — но m само написано на доске, что запрещено. Значит все написанные числа дают разные остатки при делении на m, откуда N ≤ m. Так как 11 написано, m ≤ 11, поэтому N ≤ 11, и N = 20 невозможно.
в) Кроме N ≤ m, разность соседних написанных чисел не меньше 2 (разность 1 запрещена), поэтому N ≤ (79 − m)/2 + 1. Перебирая m, получаем N ≤ 27.
Это значение достигается: возьмём все нечётные числа от 27 до 79 — их ровно 27. Все разности чётны, поэтому ни одно из (нечётных) написанных чисел на них не делится; наименьшее чётное кратное написанного числа c равно 2c ≥ 54 и превосходит любую разность (она не больше 52), поэтому ни одно написанное число не является делителем разности.
Ответ: 27.
а) Разность любых двух из чисел 32, 33, 34 равна 1 или 2. Если разность равна 1, то на неё делится любое написанное число. Разность 2 даёт только пара 32 и 34, но оба этих числа чётны, то есть делятся на свою разность. В каждом случае условие нарушено, поэтому двух таких чисел на доске быть не может.
б) Если два написанных числа дают одинаковый остаток при делении на m, то их разность делится на m — но m само написано на доске, что запрещено. Значит все написанные числа дают разные остатки при делении на m, откуда N ≤ m. Так как 11 написано, m ≤ 11, поэтому N ≤ 11, и N = 20 невозможно.
в) Кроме N ≤ m, разность соседних написанных чисел не меньше 2 (разность 1 запрещена), поэтому N ≤ (79 − m)/2 + 1. Перебирая m, получаем N ≤ 27.
Это значение достигается: возьмём все нечётные числа от 27 до 79 — их ровно 27. Все разности чётны, поэтому ни одно из (нечётных) написанных чисел на них не делится; наименьшее чётное кратное написанного числа c равно 2c ≥ 54 и превосходит любую разность (она не больше 52), поэтому ни одно написанное число не является делителем разности.
Ответ: 27.
Пример 4
На доске написано N различных натуральных чисел, каждое из которых не превосходит 99. Для любых двух написанных на доске чисел a и b, таких что a < b, ни одно из написанных чисел не делится на b − a, и ни одно из написанных чисел не является делителем числа b − a.
а) Могли ли на доске быть написаны какие-то два числа из чисел 12, 13 и 14?
б) Среди написанных на доске чисел есть 18. Может ли N быть равно 27?
в) Найдите наибольшее значение N.
а) Могли ли на доске быть написаны какие-то два числа из чисел 12, 13 и 14?
б) Среди написанных на доске чисел есть 18. Может ли N быть равно 27?
в) Найдите наибольшее значение N.
Показать ответ
а) нет: у пар 12 и 13, 13 и 14 разность равна 1, а на 1 делится любое написанное число; у пары 12 и 14 разность равна 2, но оба этих числа чётны и делятся на 2
б) нет: если m — наименьшее из написанных чисел, то никакие два написанных числа не дают одинаковый остаток при делении на m (иначе их разность делилась бы на m, а m написано на доске), поэтому N ≤ m. Число 18 написано, значит m ≤ 18 и N ≤ 18 < 27
в) 33; например все нечётные числа от 35 до 99
Решение
Пусть m — наименьшее из написанных чисел.
а) Разность любых двух из чисел 12, 13, 14 равна 1 или 2. Если разность равна 1, то на неё делится любое написанное число. Разность 2 даёт только пара 12 и 14, но оба этих числа чётны, то есть делятся на свою разность. В каждом случае условие нарушено, поэтому двух таких чисел на доске быть не может.
б) Если два написанных числа дают одинаковый остаток при делении на m, то их разность делится на m — но m само написано на доске, что запрещено. Значит все написанные числа дают разные остатки при делении на m, откуда N ≤ m. Так как 18 написано, m ≤ 18, поэтому N ≤ 18, и N = 27 невозможно.
в) Кроме N ≤ m, разность соседних написанных чисел не меньше 2 (разность 1 запрещена), поэтому N ≤ (99 − m)/2 + 1. Перебирая m, получаем N ≤ 33.
Это значение достигается: возьмём все нечётные числа от 35 до 99 — их ровно 33. Все разности чётны, поэтому ни одно из (нечётных) написанных чисел на них не делится; наименьшее чётное кратное написанного числа c равно 2c ≥ 70 и превосходит любую разность (она не больше 64), поэтому ни одно написанное число не является делителем разности.
Ответ: 33.
а) Разность любых двух из чисел 12, 13, 14 равна 1 или 2. Если разность равна 1, то на неё делится любое написанное число. Разность 2 даёт только пара 12 и 14, но оба этих числа чётны, то есть делятся на свою разность. В каждом случае условие нарушено, поэтому двух таких чисел на доске быть не может.
б) Если два написанных числа дают одинаковый остаток при делении на m, то их разность делится на m — но m само написано на доске, что запрещено. Значит все написанные числа дают разные остатки при делении на m, откуда N ≤ m. Так как 18 написано, m ≤ 18, поэтому N ≤ 18, и N = 27 невозможно.
в) Кроме N ≤ m, разность соседних написанных чисел не меньше 2 (разность 1 запрещена), поэтому N ≤ (99 − m)/2 + 1. Перебирая m, получаем N ≤ 33.
Это значение достигается: возьмём все нечётные числа от 35 до 99 — их ровно 33. Все разности чётны, поэтому ни одно из (нечётных) написанных чисел на них не делится; наименьшее чётное кратное написанного числа c равно 2c ≥ 70 и превосходит любую разность (она не больше 64), поэтому ни одно написанное число не является делителем разности.
Ответ: 33.
Пример 5
На доске написано N различных натуральных чисел, каждое из которых не превосходит 99. Для любых двух написанных на доске чисел a и b, таких что a < b, ни одно из написанных чисел не делится на b − a, и ни одно из написанных чисел не является делителем числа b − a.
а) Могли ли на доске быть написаны какие-то два числа из чисел 48, 49 и 50?
б) Среди написанных на доске чисел есть 18. Может ли N быть равно 29?
в) Найдите наибольшее значение N.
а) Могли ли на доске быть написаны какие-то два числа из чисел 48, 49 и 50?
б) Среди написанных на доске чисел есть 18. Может ли N быть равно 29?
в) Найдите наибольшее значение N.
Показать ответ
а) нет: у пар 48 и 49, 49 и 50 разность равна 1, а на 1 делится любое написанное число; у пары 48 и 50 разность равна 2, но оба этих числа чётны и делятся на 2
б) нет: если m — наименьшее из написанных чисел, то никакие два написанных числа не дают одинаковый остаток при делении на m (иначе их разность делилась бы на m, а m написано на доске), поэтому N ≤ m. Число 18 написано, значит m ≤ 18 и N ≤ 18 < 29
в) 33; например все нечётные числа от 35 до 99
Решение
Пусть m — наименьшее из написанных чисел.
а) Разность любых двух из чисел 48, 49, 50 равна 1 или 2. Если разность равна 1, то на неё делится любое написанное число. Разность 2 даёт только пара 48 и 50, но оба этих числа чётны, то есть делятся на свою разность. В каждом случае условие нарушено, поэтому двух таких чисел на доске быть не может.
б) Если два написанных числа дают одинаковый остаток при делении на m, то их разность делится на m — но m само написано на доске, что запрещено. Значит все написанные числа дают разные остатки при делении на m, откуда N ≤ m. Так как 18 написано, m ≤ 18, поэтому N ≤ 18, и N = 29 невозможно.
в) Кроме N ≤ m, разность соседних написанных чисел не меньше 2 (разность 1 запрещена), поэтому N ≤ (99 − m)/2 + 1. Перебирая m, получаем N ≤ 33.
Это значение достигается: возьмём все нечётные числа от 35 до 99 — их ровно 33. Все разности чётны, поэтому ни одно из (нечётных) написанных чисел на них не делится; наименьшее чётное кратное написанного числа c равно 2c ≥ 70 и превосходит любую разность (она не больше 64), поэтому ни одно написанное число не является делителем разности.
Ответ: 33.
а) Разность любых двух из чисел 48, 49, 50 равна 1 или 2. Если разность равна 1, то на неё делится любое написанное число. Разность 2 даёт только пара 48 и 50, но оба этих числа чётны, то есть делятся на свою разность. В каждом случае условие нарушено, поэтому двух таких чисел на доске быть не может.
б) Если два написанных числа дают одинаковый остаток при делении на m, то их разность делится на m — но m само написано на доске, что запрещено. Значит все написанные числа дают разные остатки при делении на m, откуда N ≤ m. Так как 18 написано, m ≤ 18, поэтому N ≤ 18, и N = 29 невозможно.
в) Кроме N ≤ m, разность соседних написанных чисел не меньше 2 (разность 1 запрещена), поэтому N ≤ (99 − m)/2 + 1. Перебирая m, получаем N ≤ 33.
Это значение достигается: возьмём все нечётные числа от 35 до 99 — их ровно 33. Все разности чётны, поэтому ни одно из (нечётных) написанных чисел на них не делится; наименьшее чётное кратное написанного числа c равно 2c ≥ 70 и превосходит любую разность (она не больше 64), поэтому ни одно написанное число не является делителем разности.
Ответ: 33.
Другие темы задания №20
1Каждый следующий в 10 раз больше или меньше: наибольшее число членов2Сумма соседей — одна из трёх: наименьшее число членов3Вдвое меньше либо больше на D: наименьший максимум4Средние без k-го члена: наибольшее M₃5Возрастающая с шагом ≤ 10: наибольшее среднее всех членов6Член больше среднего соседей: наименьшая сумма при n членах7Концы нулевые: наименьший второй член8Числа 1–4 и степенные суммы S₁…S₄9Целые числа: средние всех / положительных / отрицательных10Средние арифметические набора11Средние арифметические набора12Деление на три группы: наименьшее из наибольших средних
Нужен репетитор по математике?
Посмотрите репетиторов, которые ведут занятия в Precettore, или оставьте заявку — подберём сами.
Готовьтесь к ЕГЭ по профильной математике в Precettore
Варианты с автопроверкой, домашние задания от репетитора, онлайн-доска и разбор ошибок — в одном кабинете. Регистрация бесплатная.